考点35 立体几何中的向量方法

考点35立体几何中的向量方法解答题1.(2020·全国卷Ⅰ高考理科·T18)如图,D为圆锥的顶点,O是圆锥底面的圆心,AE为底面直径,AE=AD.△ABC是底面的内接正三角形,P为DO上一点,PO=66(1)证明:PA⊥平面PBC;(2)求二面角B-PC-E的余弦值.【命题意图】本题主要考查线面垂直的证明以及利用向量求二面角的大小,考查学生空间想象能力以及数学运算能力,属于基础题.【解题指南】(1)要证明PA⊥平面PBC,只需证明PA⊥PB,PA⊥PC即可;(2)以O为坐标原点,的方向为y轴正方向建立空间直角坐标系,分别算出平面PCB的法向量为n,平面PCE的法向量为m,利用公式cosm,n=n·m|【解析】(1)设DO=a,由题设可得PO=66a,AO=33a,AB=PA=PB=PC=22因此PA2+PB2=AB2,从而PA⊥PB.又PA2+PC2=AC2,从而PA⊥PC.所以PA⊥平面PBC.(2)以O为坐标原点,的方向为y轴正方向,为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz.由题设可得E(0,1,0),A(0,-1,0),C-3P0,所以=-32,-12,设m=(x,y,z)是平面PCE的法向量,则,即-y+22z=0由(1)知=0,1,22是平面PCB的一个法向量,记n=,则cos<n,m>=n所以二面角B-PC-E的余弦值为252.(2020·全国卷Ⅲ理科·T19)(12分)如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.(1)证明:点C1在平面AEF内;(2)若AB=2,AD=1,AA1=3,求二面角A-EF-A1的正弦值.【命题意图】本题考查点在平面的证明,同时也考查了利用空间向量法求解二面角,考查推理能力与计算能力.【解析】(1)在棱CC1上取点G,使得C1G=12CG,连接DG,FG,C1E,C1F因为C1G=12CG,BF=2FB1所以CG=23CC1=23BB1=BF且CG∥所以,四边形BCGF为平行四边形,所以BCGF,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,ADBC,所以ADGF,所以四边形ADGF为平行四边形.则AFDG,同理可证四边形DEC1G为平行四边形,所以C1EDG,所以C1EAF,则四边形AEC1F为平行四边形,因此点C1在平面AEF内.(2)以点C1为坐标原点,C1D1、C1B1、C1C所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A2,1,3、A12,1,=0,-1,-1,==0,-1,2,=设平面AEF的法向量为m=x1由,得-y1取z1=-1,得x1=y1=1,则m=1,设平面A1EF的法向量为n=x2由,得-y2+2z2=0-2x2+z2=0,取z2=2,得cos<m,n>=m·nmn=设二面角A-EF-A1的平面角为θ,则cosθ=7所以sinθ=1-cos2因此,二面角A-EF-A1的正弦值为4273.(2020·新高考全国Ⅰ卷)如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD,设平面PAD与平面PBC的交线为l.(1)证明:l⊥平面PDC;(2)已知PD=AD=1,Q为l上的点,求PB与平面QCD所成角的正弦值的最大值.【命题意图】本题主要考查空间线面垂直关系及线面角的求解,考查空间想象力与基本计算能力,体现了直观想象与逻辑推理的核心素养.【解析】(1)因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥AD.又底面ABCD为正方形,所以AD⊥DC,又DC∩PD=D,DC,PD⊂平面PDC,所以AD⊥平面PDC.因为AD∥BC,AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AD∥平面PBC,由平面PAD与平面PBC的交线为l,可得l∥AD.因此l⊥平面PDC.(2)以D为坐标原点,的方向为x轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系.则D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),=(0,1,0),=(1,1,-1).由(1)可设Q(a,0,1),则=(a,0,1),设n=(x,y,z)是平面QCD的一个法向量,则即ax+z=0,y=0.可取n=(-1,0,a).所以cosn,==-1-a3·1+a2.设PB与平面QCD所成角为θ,则sinθ=33×|a+1|1+a2=3【规律总结】利用向量法求线面角的方法(1)分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(锐角或直角时)或其补角(钝角时);(2)通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角或钝角的补角,取其余角就是斜线与平面所成的角.4.(2020·北京高考·T16)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BB1的中点.(1)求证:BC1∥平面AD1E;(2)求直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值.【命题意图】考查线面平行的判定,线面角的求法.【解析】不妨设棱长AB=2,如图建系,则A(0,0,0),B(0,2,0),C(2,2,0),D(2,0,0),A1(0,0,2),B1(0,2,2),C1(2,2,2),D1(2,0,2),E(0,2,1),(1)=(2,0,2),=(2,0,2),=(0,2,1),设平面AD1E的法向量m=(x,y,z),则即2x+2z=0,2y-1,2),·m=0,⊥m,又因为BC1⊄平面AD1E,所以BC1∥平面AD1E;(2)=(0,0,2),所以cos<,m>==42×3=23,所以直线AA1与平面AD1E所成角的正弦值为235.(2020·天津高考·T17)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AC⊥BC,AC=BC=2,CC1=3,点D,E分别在棱AA1和棱CC1上,且AD=1,CE=2,M为棱A1B1的中点.(1)求证:C1M⊥B1D;(2)求二面角B-B1E-D的正弦值;(3)求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值.【命题意图】本题考查利用空间向量法证明线线垂直,求二面角和线面角的正弦值,考查推理能力与运算能力,属于中档题.【解题指南】以C为原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.(1)计算出向量和的坐标,得出·=0,即可证明出C1M⊥B1D;(2)可知平面BB1E的一个法向量为,计算出平面B1ED的一个法向量为n,利用空间向量法计算出二面角B-B1E-D的余弦值,利用同角三角函数的基本关系可求解结果;(3)利用空间向量法可求得直线AB与平面DB1E所成角的正弦值.【解析】依题意,以C为原点,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,可得C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,3),A1(2,0,3),B1(0,2,3),D(2,0,1),E(0,0,2),M(1,1,3).(1)依题意,=(1,1,0),=(2,-2,-2),从而·=2-2+0=0,所以C1M⊥B1D.(2)依题意,=(2,0,0)是平面BB1E的一个法向量,=(0,2,1),=(2,0,-1).设n=(x,y,z)为平面DB1E的一个法向量,则即2不妨设x=1,可得n=(1,-1,2).cos<,n>==22×6=66所以sin<,n>==306.所以,二面角B-B1E-D的正弦值为306(3)依题意,=(-2,2,0).由(2)知n=(1,-1,2)为平面DB1E的一个法向量,于是cos<,n>==-422×6=-所以,直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为336.(2020·江苏高考·T22)在三棱锥A-BCD中,已知CB=CD=5,BD=2,O为BD的中点,AO⊥平面BCD,AO=2,E为AC的中点.(1)求直线AB与DE所成角的余弦值;(2)若点F在BC上,满足BF=14BC,设二面角F-DE-C的大小为θ,求sinθ的值【命题意图】本题主要考查利用空间向量法求异面直线所成的角及二面角.重点考查如何建立空间直角坐标系,求出相应点的坐标,再利用公式求角.【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,2),B(1,0,0),C(0,2,0),D(-1,0,0),E(0,1,1).(1)=1,0,-2,=则cos<,>==1515.故直线AB与D