考点5 函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性

考点5函数的单调性与最值、函数的奇偶性与周期性1.(2022·北京高考·T4)已知函数f(x)=11+2x,则对任意实数x,有(A.f(-x)+f(x)=0 B.f(-x)-f(x)=0C.f(-x)+f(x)=1 D.f(-x)-f(x)=1【命题意图】考查函数的奇偶性、对称性,中档题.【解析】选C.因为f(x)=11+2x,所以f(-x)=11+2-x=2x2x+1,f(2.(2022·新高考Ⅱ卷)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),f(1)=1,则∑k=122f(k)=(A.-3B.-2C.0D.1【命题意图】本题考查抽象函数以及函数周期性的运用,考查运算求解能力.【解析】选A.因为f(x+y)+f(x-y)=f(x)f(y),令x=1,y=0可得,2f(1)=f(1)f(0),所以f(0)=2,令x=0可得,f(y)+f(-y)=2f(y),即f(y)=f(-y),所以函数f(x)为偶函数,令y=1得,f(x+1)+f(x-1)=f(x)f(1)=f(x),即有f(x+2)+f(x)=f(x+1),从而可知f(x+2)=-f(x-1),f(x-1)=-f(x-4),故f(x+2)=f(x-4),即f(x)=f(x+6),所以函数f(x)的一个周期为6,因为f(2)=f(1)-f(0)=1-2=-1,f(3)=f(2)-f(1)=-1-1=-2,f(4)=f(-2)=f(2)=-1,f(5)=f(-1)=f(1)=1,f(6)=f(0)=2,所以一个周期内的f(1)+f(2)+…+f(6)=0.由于22除以6余4,所以∑k=122f(k)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=1-1-2-13.(2022·全国甲卷文科)(同2022·全国甲卷理科T5)函数y=3x-3-xcosx在区间-【命题意图】本题考查函数的奇偶性以及函数的图象的判断.【解析】选A.令fx=3x-3-xcosx则f-x=3-x-3xcos-x=-(3x-所以fx为奇函数,排除B,D;又当x∈0,π2时,3x-3-x>0,cos所以fx>0,排除C.4.(2022·全国乙卷理科·T12)已知函数f(x),g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2-x)=5,g(x)-f(x-4)=7.若y=g(x)的图象关于直线x=2对称,g(2)=4,则∑k=122f(k)=(A.-21 B.-22 C.-23 D.-24【命题意图】考查函数的对称性,转化与化归思想、数学运算求解能力.【解析】选D.因为y=g(x)的图象关于直线x=2对称,所以g(2-x)=g(x+2),因为g(x)-f(x-4)=7,所以g(x+2)-f(x-2)=7,即g(x+2)=7+f(x-2),因为f(x)+g(2-x)=5,所以f(x)+g(x+2)=5,代入得f(x)+[7+f(x-2)]=5,即f(x)+f(x-2)=-2,所以f(3)+f(5)+…+f(21)=(-2)×5=-10,f(4)+f(6)+…+f(22)=(-2)×5=-10.因为f(x)+g(2-x)=5,所以f(0)+g(2)=5,即f(0)=1,所以f(2)=-2-f(0)=-3.因为g(x)-f(x-4)=7,所以g(x+4)-f(x)=7,又因为f(x)+g(2-x)=5,联立得,g(2-x)+g(x+4)=12,所以y=g(x)的图象关于点(3,6)中心对称,因为函数g(x)的定义域为R,所以g(3)=6,因为f(x)+g(x+2)=5,所以f(1)=5-g(3)=-1.所以∑k=122f(k)=f(1)+f(2)+[f(3)+f(5)+…+f(21)]+[f(4)+f(6)+…+f(22)]=-1-3-10-10【误区警示】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽,考生需要根据已知条件进行恰当的转化,然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.5.(2022·全国乙卷文科·T16)若f(x)=lna+11−x+b是奇函数,则a=【命题意图】考查函数奇偶性的定义及其内涵,考查学生分析问题、解决问题的能力.【解析】因为函数f(x)=lna+11−由a+11−x≠0可得,(1-x)(a+1-ax)≠0,所以x≠±1,所以a+1a=-1,解得:a=-12,即函数的定义域为(-∞,-再由f(0)=0可得,b=ln2.即f(x)=ln-12+11−x+ln2=ln1+x1−x,在定义域内满足答案:-126.(2022·北京高考·T14)设函数f(x)=-ax+1,x<a,(x-2)2,x【命题意图】考查分段函数,函数单调性和最值,图像的应用,综合性较强.【解析】由已知,函数最值与单调性有关,故可以考虑以a=0,2为分界点研究函数的性质.①若a<0,则对于第一段f(x)=-ax+1,x<a,单调递增,有f(x)∈(-∞,-a2+1),所以f(x)没有最小值,不符合题意;②若a=0,则第一段为f(x)=1,x<0;第二段为f(x)=(x-2)2,x≥0,由二次函数性质得f(x)∈[0,+∞).所以f(x)的值域为[0,+∞).第一个空可以填0.③若0<a≤2,则对于第一段f(x)=-ax+1,x<a,单调递减,有f(x)∈(-a2+1,+∞);第二段为f(x)=(x-2)2,x≥a,由二次函数性质得f(x)∈[0,+∞).“f(x)存在最小值”,等价于-a2+1≥0,解得0<a≤1.④若a>2,对于第一段f(x)=-ax+1,x<a,单调递减,有f(x)∈(-a2+1,+∞);第二段为f(x)=(x-2)2,x≥a,由二次函数性质得f(x)∈[(a-2)2,+∞).“f(x)存在最小值”,等价于-a2+1≥(a-2)2,此不等式无解.综上,a的取值范围是[0,1],所以a的最大值是1.答案:0(答案不唯一)17.(2022·浙江高考数学科·T14)(6分)已知函数f(x)=-x2+2,x≤1,x+1x-1,x>1,则ff12=;若当x∈[a,b【命题意图】本题考查函数及分段函数的概念、分段函数的求值及最值.意在考查考生的运算求解能力.【解析】因为f12=-122+2=74,所以ff12=f74=74+174-1=3728.当x≤1时,由1≤f(x)≤3可得1≤-x2+2≤3,所以-1≤x≤1,当x>1时,由1≤f(x)≤3可得1≤x+1x-1≤3,所以1<x≤2+3,1≤f(x)≤3等价于-1≤x≤2+3,所以[a,b]⊆[-1,2+3],所