分数计算技巧

同品⅛⅛rd 分数计算技巧对于分数的混合运算，除了掌握常规的四则运算法则外，还应该掌握一些特殊的运算技巧。分数计算技巧也是数学竞赛中的考点之一。1.凑整法与整数运算中的“凑整法”相同，在分数运算中，充分利用四则运算法则和运算律(如交换律、结合律、分配律)，使部分的和、差、积、商成为整数、整十数……,从而使运算得到简化。⅛⅛:计算华；+,.十：*+3；产冷春13 2 1 7JSλC=[(3-÷l-)÷(6-+S-)]×(2 )X+均役-各=-20×2-20×=40-7=33o例2：时算4∣X25+32y÷4+0.25X-125解；Jgjζ=4×Ξ5+∣×25+32÷4+∣÷4+0.25x4×31=100+5÷S÷∣+31=144^2.约分法mi.∣te⅛ 6209 1069333337例M计算2 乂 ÷ IOOB228691060Ξ6209 1069333337X + 1001322S6910602_26235χ10693χ10602~10013ΞΞ869X33337.-■：1 1 1 1 1 1 1 -15xQXllx私 ©x©X次 ^x2xl^x31= 1Z~×^ ^ T× ^ ； ~ITxXWXSl失乂S×7乂11』_5×3×2=7苫11_30^77例4计算99XQ-1)X(I-I)X(1-1)X-X(I-A)解.廉式=99XgX例5、十黄IX2X3+2乂4乂6+7乂14区21份」计异1m3久5十比6MIO十7齐2735解：._1X2X3+25X(1X2X3)+75X(1X2X3)尿氏~1X3×5+Ξ3X(1×3×5)+73×(1×3X5J_(1×Ξ×3)×(1+23+73)^(1×3×5)×(l+23+73)_1×2×3_2=1×3×5=53.裂项法将每个分数都分解成两个分数之差，并且使中间的分数相互抵消，从而简化运算。ι467例7在自然数1〜100中找出10个不同的数，使这10个数的倒数的和等于1。解：这道题看上去比较复杂，要求10个分子为1、而分母不同的分数的和等于1，似乎无从下手。但如果巧用1∕n-1∕(n+1)=1∕n(n+1)来做，就非常简单了。因为I=L-十99；―十：—…，所以可根据题中所求,添上括号口此题要求的是IO个数的倒数和为1,于是做成；i=OW吟+(HGT)+(—；)+G-黯弓1111111111=+ + +++÷÷÷ +——1×Ξ2×33×44×55×66×77式日MXQ9×10IO1111111111=_+_+ + ⅛ -4- + 4-÷ + .26122。3042"729010所以，要求的10个数是：2、6、12、20、30、42、56、72、90、10。本题的解不是唯一的，例如由1/10+1/30=1/9+1/45可知，用9和45可以替换上面解答中的10和30，同样符合要求。4.代数法.⅛≡计算(1+;+：+3m(J+;+ξ.+∣)^A+∙∣+：+：+；)《(!■+；*])-解： .一» 111通分计算太麻烦，不可取，注意到每个括号中都有5十弓十最

不步设T斗g：：=A，则原式=Q十A)KeA+^)-Cl+A+∣)×A=A÷^+A2+ɪʌ-A-A2-2A5_1=5"5.分组法55例9计算1+N+J+7-+9—+11—+13—+15--FU-6 12 20 30 42 56 12 90原式二C1÷3÷5÷7÷9÷11+13÷15+175+1+176x77x8S×3612203042兄129。11

一÷一解：利用加法交换律和结合律，先将同分母的分数相加。分母为n的分数之和为--T——--ɪ 丘] ]-÷-+ + =-×[1+Ξ+■■■+(n-1)]nn nn1[1+∣ftι-lʌi]χ(n-1)n(n-Tin-1

一X = = n 2 2n2原式中分母为2—2。的分数之和依次为1234…192jΞ^2,2,,T…1234原式二5十一十一十一十…■£j19T2221/，・、三号手∙Q∙+¾⅛3-⅛4.⅛斗好)!!_■」X190=9'-26．一些典型例题解：观察这些分数的分母都是连续自然数的和，我们可以先求出分母来，再进行裂项计算。，2、计算:11-1÷1-23-÷"-4+」1997199819991 十十11+1999Ξ+ΞOOO3+Ξ001十•，■十 十 999+29971000+299S1111分子二W7+T998+1999199日分母=1÷1÷1÷...4231999J1+1+工+一+

23999= 十 十…十 10001001 1999Ill 1 + -I- +,一+ -I-

2000Ξ0022004 3996399S + 十・一十 10001001 1999J原式=—2× 十 十…十 10001001 199911 -I- -1---4',.1000IOCH1999J3、⅛∣⅛⅛Ξ3—133—143—1

计算：ʒ-。——X

Ξ3÷l33+l42+l20053-1M2005'+123-l35-l43-l 20053-1W—KF一X=一x--x ;一£十1寸十143+l 20053+1(2—1)(3十2十1),43-1)(3±十3十1)“(4—I)©[十4十I)^(2005-1)(20052+2005+1)(2+1)(Ξ2-Ξ+1)X(3+l)(32-3+l)M(4+l)02-4÷1)”一，(2005+1)(20052-2005+1)1×7 Ξ×133×Ξ1 4×31 5χ43 Ξ003×401SOΞ1 2004x40220Wl3×3 4×75×B 6×Ξ1 7×31 "Ξ005χ4014013 Ξ006χ401S0211x2x40220313x2005x2006134067720110151%11111=2X[1111]11、2—+3-—ΞΞ005-ΞΞ005-1x2004÷Ξx(2Jl32-lψ-lΞOO53-1JJΞ005j+1

20052-12Ξ005-2004+2Mj」⅛vlx32x43x522005—2004—↑--+ɪ-ɪ+ɪ-ɪ+...+20001-1+ʌ-2200520062005j-1Ξ004x200620。320052004Ξ006j2005j+l1111113241.....2011015-2005-2006乙UUUU- 40ΞΞ030TMMIo07513

二19999 20110156、计算:il04+3Ξ4ι×ιΞΞ4+324ιx∣34++3Ξ4∣×ι464+324jI Fτ. J' Jl 1∣!44+3241x∣,164+324∣xι,2Ξ4+324∣x1404+3241iIO4+324IXI224+324IXI344+324IXI464+324II'44+3Ξ4'I×[164+3Ξ4j×PS4÷3Ξ4j×l'4O4÷3Ξ4I∣104+1Ξ2÷Ξ×102×1≡-2x102×1S∣×iΞΞ4÷3Ξ4ix.34*+324∣xι464+3Ξ4ι^∣44+182+Ξx42xl8-2x42xl≡∣x∣16*+324∣x∣284+324∣×∣404+324i` 『七 F∖ F∣102+lS∣2-602l×∣ΞΞ4+324∣x∣344+3Ξ4∣>i∣464÷3Ξ4∣lι ʃ ʌ 'i. ， ⅛ π;∣42+lSi2-Ξ4alx∣164+324∣×∣Ξ84+324∣×∣404+324ιX f I JI Γ1 Γ_178×58×634×370×137Ξ×970×Ξ41Qχl858^5≡xl0×370xl7Ξ×970×634×lΞ5S×137S_2410^10二Ξ41练习题L计算;工计算:3.计算:z117Jll2、 1t66654si995^oɪ,-ɔɪ3,41--l I-.l I 13 17221Illll_+-+一十一+—3153563991157 9 111326122030424.计算:1I+21÷4÷-+≡1£11+1995—199619971 2 3 1994 19953-+5-÷7-+-+3989——+3991——5.计算:199619973 4 5.」西567+345×5666.计异： = .567X345÷222 r7>ψj⅛.-d-1 6 1 5 \ 4 .d -1 3 1 2_T.^∏-:71—X—十61—X—+51—×—+41—x—十31—×—— ,6 7 5 6 4 5 3 4 2 3 3840•日F

9.11-1÷十417117759915^26q1×Ξ十121994 -T2 ÷4 1406 3Ξ11 2479H13

-I- - 2X3220301994十 十3×442199419941994+l+