初中数学破题致胜微方法(等腰直角三角形中的手拉手模型)等腰直角三角形与正方形手拉手1_第1页
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文档简介

#等腰直角三角形与正方形手拉手例：已知，在△中，N ,点在直线上一动点(点不与、重合)，以为边作正方形 E连接，()如图，当点在线段上时，求证：① ②，()如图，当点在线段的延长线上时，其他条件不变，线段与的上述关系是否还成立？请直接写出结论即可(不必证明)；()如图，当点在线段的反向延长线上，且点、在直线的两端，其他条件不变，线段与的上述关系是否还成立？若成立，请证明你的结论；若不成立，请说明理由.分析：()根据等腰直角三角形的性质求出/°=，4正5方形的性质可得°然后利用同角的余角相等求出/,再利用“边角边”证明△ 和全连等，根据全等三角形对应边相等可得，全等三角形的对应角相等可得/,然后求出/再9根0据垂直的定义证明即可；结论仍然成立；同()可证△全连等，根据全等三角形对应边相等可得,全等三角形对应角相等可得/°同()可证△全连等，根据全等三角形对应边相等可得,全等三角形对应角相等可得/°1然后求出/°=，9再0根据垂直的定义证明即,.,.Z解：()•・,.,.Z•・•四边形 是正方形，・♦.A°,VZDZ°,0ZD°,AZD十 \AB:°在^和△中，｛/BAD=ZCAF，二△ 9△,所以①,ZF^AD=AFAZFZ° ° °,.,.②F()当点在线段延长线上时，线段与的上述关系仍然成立；()当点在线段的反向延长线上，且点、在直线的两侧，线段与的上述关系仍然成立理由：同理可证，△ /△ ,A,ZZ° °,VZ°,AZFF° ° °,A±总结：两个等腰直角三角形共直角顶点为手拉手模型之一，如图，其中有等腰直角三角形和正方形共直角顶点，相当于两个等腰直角三角形“手拉手”，因为正方形其中一个对角线与两边就可形成等腰直角三角形，所以有全等三角形及其性质的应用练习：在^中，为边作正方形,Z 90。练习：在^中，为边作正方形，使点与点在直线的异侧，射线与射线相交于点.()若点在线段上，如图①依题意补全图；②判断与的数量关系与位置关系，并加以证明；()若点在线段的延长线上，且为中点，连接，,，则的长为,并简述求长的思路.

长为,并简述求长的思路.解 ①补全图形，如图所示.图②BC和CG的数量关系：BC=CG，位置关系：BC1CG.证明如图.VAB=AC,/BAC=90。,二/B=ZACB=45o,Z1+Z2=90。.•・•射线BA、CF的延长线相交于点G，二/CAG=/BAC=90。.V四边形ADEF为正方形，・•./DAF=Z2+Z3=90。，AD=AF..・.Z1=Z3..•.△ABD/△ACF..•./B=/ACF=45。..・./B=ZG=45。，/BCG=90。..•.BC=CG,BC1CG.GE=<10.思路如下：由G为CF中点画出图形，如图所示.与②同理，可得 ,BC=CG,BC1CG.由AB="霓，G为中点，可得6。=。6=依=。。=2；过点A作AM_LBD于M，过点石作£N，bG于N，可证△AMD经AFNE,可得4加=四=1,N£为bG的垂直

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