初中数学常见8种最值问题

最值问题，也就是最大值和最小值问题。它是初中数学竞赛中的罕见问题。这类问题出现的试题，内容丰富，知识点多，涉及面广，解法灵活多样，而且具有一定的难度。本文以例介绍一些罕见的求解方法，供读者参考。之樊仲川亿创作配方法例1.（2005年全国初中数学联赛武汉CASIO杯选拔赛）帝+4勾+犷-4x+2y-4可取得的最小值为。解：原式匚口与尸+5-2/+①+球-io由此可知，当卜=2,y=-1时，有最小值匚问。设参数法例2.（《中等数学》奥林匹克训练题）已知实数正满足三三。则国的最大值为。解：设/+丁=3易矢口”Q从而，曲［归一I由此可知，正是关于t的方程，一“十衿一m=。的两个实根。于是，有△=/一9'》2。解得E。故E的最大值为2。一」十1_"2例3. （2004年全国初中联赛武汉选拔赛）若 2 3则产产可可取得的最小值为（）

A.3B.2D.6A.3B.2D.6解：设从而可知，当「 回时，H上可取得最小值回。故选（B）。选主元法例4.（2004年全国初中数学竞赛）实数E目满足天土,+工=5, +jkz+zz亘。贝Uz的最大值是。解：由\+y+-5得1=5T西。代入叵亘三消去y并整理成以恒为主元的二次方程三三巨EE二三三，由x为实数，则判别式厘①。即艺五至三三回，整理得史三亟三王江解得卜工屋!。所以，z的最大值是回夹逼法例5.（2003年北京市初二数学竞赛复赛）江刁是非负实数，而且满足区4您』”5,2”方一无=1。设帆=3口十3一无卜记因为m的最小值，y为m的最大值。则互］ 。解：由%+2上+匕=5,+4+」-3匕=1得（a=7c-3解得版二TTic由不司是非负实数，得从而，解得亡£n。又飒=%+占-7匚=女-2,J--<故|7 11|于是，卜一2W因此，U构造方程法例6.（2000年山东省初中数学竞赛）已知矩形A的边长为a和b,如果总有另一矩形B使得矩形B与矩形A的周长之比与面积之比都等于k，试求k的最小值。解：设矩形B的边长为x和y，由题设可得亘王羽丑叵三殛。从而x和y可以看作是关于t的一元二次方程巴亘匹匹亘的两个实数根，则匠三三可三朝因为叵4所以叵w返且，D4.解得匚空正］Aab所以k的最小值是后史四.由某字母所取的最值确定代数式的最值例7.（2006年全国初中数学竞赛）已知巨目为整数，且"右=2DQ6,c-=2005。若“矶则开E的最大值为解：由区三颂3得|三三①叵］，代入旧豆=2006|得出+己=4011

而由1+击=2。06和它固可知"工1口口2的整数。所以，当9W时,第+启”|取得最大值，为皿12+4口11=5所以，当9W时,七.借助几何图形法例8.（2004年四川省初中数学联赛）函数〃⑴=，干十加-以十41的最小值是。解：显然，若三#则匹三二3。因而，当匹3取最小值时，必定有三斗如图1，作线段AB=4，匹/亶匹回，且AC=1，BD=2。对于AB上的任一点O，令OA二x，则那么，问题转化为在AB上求一点O,使OC+OD最小。图1设点C关于AB的对称点为E，则DE与AB的交点即为点O,止匕时，|68"=0。4*=友］。作EF//AB与DB的延长线交于F。在邈巫昭中，易知空卫三三回，所以，\"£=5。因此，函数［⑴=占为十四一璜于十4|的最小值为5。八.比较法例9.（2002年全国初中数学竞赛）某项工程，如果有甲、乙两

m m一一•2——、,、 一，， 一..一一一一."一、队承包2天完成，需付180000兀；由乙、丙两队承包包天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包比天完成，需付160000元。现在工程由一个队单独承包，在包管一周完成的前提下，哪个队承包费用最少？

解：设甲、乙、丙单独承包各需汇、4工天完成解得匕叫又设甲、乙、丙单独工作一天，各需付叵N习元，则JLS=455001v=29