人教A版高中数学 必修2 第四章《直线与圆的方程》专题培优讲义

人教A版高中数学必修2第四章《直线与圆的方程》专题培优讲义一、标准方程：1.求标准方程的方法——关键是求出圆心和半径①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材例2②利用平面几何性质。往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）条件方程形式圆心在原点过原点圆心在轴上圆心在轴上圆心在轴上且过原点圆心在轴上且过原点与轴相切与轴相切与两坐标轴都相切二、一般方程1.表示圆方程，则2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材例43.常可用来求有关参数的范围三、点与圆的位置关系1.判断方法：点到圆心的距离与半径的大小关系点在圆内；点在圆上；点在圆外2.涉及最值：（1）圆外一点，圆上一动点，讨论的最值：；（2）圆内一点，圆上一动点，讨论的最值：；思考：过此点作最短的弦？（此弦垂直）四、直线与圆的位置关系1.判断方法（为圆心到直线的距离）（1）相离没有公共点（2）相切只有一个公共点（3）相交有两个公共点这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围.2.直线与圆相切（1）知识要点：①基本图形；②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等。问题：直线与圆相切意味着什么？答：圆心到直线的距离恰好等于半径（2）常见题型——求过定点的切线方程①切线条数：点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无；②求切线方程的方法及注意点=1\*romani）点在圆外如定点，圆：，[]第一步：设切线方程；第二步：通过，从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对存在有效，当不存在时，应补上——千万不要漏了！如：过点作圆的切线，求切线方程.答案：和=2\*romanii）点在圆上若点在圆上，则切线方程为：会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目.若点在圆上，则切线方程为：碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.③求切线长：利用基本图形，求切点坐标：利用两个关系列出两个方程3.直线与圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题垂径定理及勾股定理——常用★★★弦长公式：（暂作了解，无需掌握）（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内.（3）关于点的个数问题4.直线与圆相离会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）例1、若圆上有且仅有两个点到直线的距离为1，则半径的取值范围是_________________.例2、已知向量若与的夹角为，则直线与圆的位置关系是（）A．相交但不过圆心B．相交过圆心C．相切D．相离【针对性练习】1、已知圆和点,若点在圆上且的面积为,则满足条件的点的个数是（）2、若圆始终平分圆的周长,则实数应满足的关系是()A．B．C．D．3、在平面内,与点距离为1,与点距离为2的直线共有()条B.2条C.3条D.4条4、直线与圆交于、两点，且、关于直线对称，则弦的长为。五、对称问题例1、若圆，关于直线对称，则实数的值为____.例2、已知直线：与圆：，问：是否存在实数使自发出的光线被直线反射后与圆相切于点？若存在，求出的值；若不存在，试说明理由.【针对性练习】1、已知点是圆:上任意一点，点关于直线的对称点在圆上，则实数_________.2、圆关于直线对称的曲线方程是________________.3、已知圆：与圆：关于直线对称，则直线的方程为_______________.4、圆关于点对称的曲线方程是__________________.六、最值问题方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程例题1.已知实数，满足方程，求：（1）的最大值和最小值；——看作斜率（2）的最小值；——截距（线性规划）（3）的最大值和最小值.——两点间的距离的平方【针对性练习】1、已知中，，，，点是内切圆上一点，求以，，为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.（提示：数形结合和参数方程两种方法均可！）2、设为圆上的任一点，欲使不等式恒成立，则的取值范围是____________.（数形结合和参数方程两种方法均可！）xxyO r M M0 x七、圆的参数方程（选修4-4），为参数，这就是圆心在原点、半径为r的圆的参数方程说明：（1）参数θ的几何意义是OM与x轴正方向的夹角。（2）随着选取的参数不同，参数方程形式也有不同，但表示的曲线是相同的。（3）在建立曲线的参数方程时，要注明参数及参数的取值范围。，为参数，这就是圆心为、半径为r的圆的参数方程。（一）、圆的参数方程探求例1、已知两条曲线的参数方程：(为参数)和(t为参数)（1）、判断这两条曲线的形状；（2）、求这两条曲线的交点坐标。（二）、最值问题：利用圆的几何性质和圆的参数方程求最值（数形结合）例2、已知点P（x，y）是圆上动点，求：（1）的最值，（2）的最值，（3）P到直线的距离d的最值。【针对性练习】1、过点(2,1)的直线中,被圆x2+y2-2x+4y=0截得的弦：为最长的直线方程是_________；为最短的直线方程是__________；2、若实数x,y满足x2+y2-2x+4y=0，则x-2y的最大值为。3、方程(t为参数)所表示的一族圆的圆心轨迹是（）A．一个定点B．一个椭圆C．一条抛物线D．一条直线4、已知，则的最大值是6。5、曲线的一个参数方程为八、相关应用例1、若直线（，），始终平分圆的周长，则的取值范围是______________.例2、已知圆：，问：是否存在斜率为1的直线，使被圆截得的弦为，以为直径的圆经过原点，若存在，写出直线的方程，若不存在，说明理由.提示：或弦长公式.答案：或【针对性练习】1、已知圆，直线，。（1）证明：不论取什么实数，直线与圆恒交于两点；（2）求直线被圆截得的弦长最小时的方程.2、若直线与曲线恰有一个公共点，则的取值范围.3、已知圆与直线交于，两点，为坐标原点，问：是否存在实数，使，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.九、圆与圆的位置关系1.判断方法：几何法（为圆心距）（1）外离（2）外切（3）相交（4）内切（5）内含2.两圆公共弦所在直线方程圆：，圆：，则为两相交圆公共弦方程.补充说明：若与相切，则表示其中一条公切线方程；若与相离，则表示连心线的中垂线方程.3圆系问题（1）过两圆：和：交点的圆系方程为（）说明：（1）上述圆系不包括；2）当时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）（2）过直线与圆交点的圆系方程为（3）有关圆系的简单应用（4）两圆公切线的条数问题=1\*GB3①相内切时，有一条公切线；=2\*GB3②相外切时，有三条公切线；=3\*GB3③相交时，有两条公切线；=4\*GB3④相离时，有四条公切线十、轨迹方程（1）定义法（圆的定义）：略（2）直接法：通过已知条件直接得出某种等量关系，利用这种等量关系，建立起动点坐标的关系式——轨迹方程.（3）相关点法（平移转换法）：一点（动点）随另一点（主动点）的变动而变动。特点为：主动点一定在某一已知的方程所表示的（固定）轨迹上运动.例1、如图，已知定点，点是圆上的动点，的平分线交于，当点在圆上移动时，求动点的轨迹方程.例2、已知圆：，点，、是圆上的两个动点，、、呈逆时针方向排列，且，求的重心的轨迹方程.法1：，为定长且等于设，则取的中点为，，（1），故由（1）得：法2：（参数法）设，由，则设，则，由得：参数法的本质是将动点坐标中的和都用第三个变量（即参数）表示，通过消参得到动点轨迹方程，通过参数的范围得出，的范围.（4）求轨迹方程常用到得知识=1\*GB3①重心，=2\*GB3②中点，=3\*GB3③内角平分线定理：=4\*GB3④定比分点公式：，则，=5\*GB3⑤韦达定理.《直线与圆的方程》综合练习举例例题1、已知两圆；，直线，求经过圆的交点且和直线相切的圆的方程。解：设所求圆的方程为，即：，得：圆心坐标为；半径，所求圆与直线相切，圆心到直线的距离，解得，舍去所求圆的方程为：小结：要熟练掌握过两圆交点的圆系的方程及公共弦的直线方程（）例题2、如果实数、满足，求的最大值、的最小值。解：（1）问题可转化为求圆上点到原点的连线的斜率的最大值。设过原点的直线方程为，由图形性质知当直线斜率取最值时，直线与圆相切。得：，，（2）满足，。注意学习掌握解（2）中利用圆的参数方程将关于x,y的二元函数转化为关于角的一元函数，从而方便求解的技巧。例题3、已知圆和直线，（1）若圆上有且只有4个点到直线的的距离等于1，求半径的取值范围；（2）若圆上有且只有3个点到直线的的距离等于1，求半径的取值范围；（3）若圆上有且只有2个点到直线的的距离等于1，求半径的取值范围；解一：与直线平行且距离为1的直线有两条，分别为：，，注意掌握平行直线的表示方法及其距离计算。圆心到直线的的距离为,到直线的的距离为,则：（1）圆上有且只有4个点到直线的的距离等于1（2）圆上有且只有3个点到直线的的距离等于1（3）圆上有且只有2个点到直线的的距离等于1解二：圆心到直线的距离，则：（1）圆上有且只有4个点到直线的的距离等于1，（2）圆上有且只有3个点到直线的的距离等于1，（3）圆上有且只有2个点到直线的的距离等于1小结：解法1采用将问题转化为直线与圆的交点个数来解决，具有直观明了的优点，对解决这类问题特别有效；解法2的着眼点是观察从劣弧的点到直线l的最大距离,请仔细体会。例题4、已知为原点，定点，点是圆上一动点。（1）求线段中点的轨迹方程；（2）设的平分线交于，求点的轨迹方程。解：（1）设中点，则，代入圆的方程得。QPRO（2）设，其中，，由，QPRO，代入圆方程并化简得：。当y=0时，即在轴上时，的平分线无意义。小结：（1）本题的解法称作相关点转移法求轨迹，其核心是找到未知与已知动点之间的坐标关系；（2）处理“角平分线”问题，一般有以下途径：=1\*GB3①转化为对称问题=2\*GB3②利用角平分线性质，转化为比例关系=3\*GB3③利用夹角相等。例题5、如图所示，过圆与轴正半轴的交点A作圆的切线，M为上任意一点，再过M作圆的另一切线，切点为Q，当点M在直线上移动时，求三角形MAQ的垂心的轨迹方程。解：设边上的高为边上的高为，连接当时，在上，,当时，垂心为点B，也满足方程，而点M与点N重合时，不能使A，M，Q构成三角形。的垂心的轨迹方程为：。例题6、已知函数（1）在曲线上存在两点关于直线对称，求的取值范围；（2）在直线上取