吉林省长春市于坨子中学高三数学文期末试卷含解析

吉林省长春市于坨子中学高三数学文期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的17.钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（

）（A）充分条件

（B）必要条件（C）充分必要条件

（D）既非充分又非必要条件参考答案：A2.在△ABC中，||=||，||=||=3，则=（）A．3 B．﹣3 C． D．﹣参考答案：C【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意，画出图形，利用向量的平行四边形法则得到对角线长度的关系，求出OC，得到△ABC的形状即可求得．【解答】解：由平面向量的平行四边形法则得到，在△ABC中，||=||，||=||=3，如图，设|OC|=x，则|OA|=x，所以|AO|2+|OC|2=|AC|2即3x2+x2=9，解得x=，所以|BC|=3，所以△ABC为等边三角形，所以=3×3×=；故选：C．3.已知向量，向量，函数，则下列说法正确的是A．是奇函数

B．的一条对称轴为直线

C．的最小正周期为

D．在上为减函数参考答案：D4.i为虚数单位，若，则|z|=(

)A．1 B． C． D．2参考答案：A【考点】复数求模．【专题】数系的扩充和复数．【分析】利用复数模的运算性质，将已知关系式等号两端取模，即可即可求得答案【解答】解：∵，∴|||z|=||，即2|z|=2，∴|z|=1，故选：A．【点评】本题考查了复数求模、熟练应用模的运算性质是关键，属于基础题．5.已知在等差数列中,,公差,若,其中为该数列的前项和,则的最小值为A.60

B.62

C.70

D.72参考答案：B6.设等差数列的前项和为，若，则等于（

）A．18

B．36

C．45

D．60参考答案：C7.图1中的阴影部分由底为，高为的等腰三角形及高为和的两矩形所构成．设函数是图1中阴影部分介于平行线及之间的那一部分的面积，则函数的图象大致为（

）

参考答案：C略8.是定义在上的奇函数，其图象如图所示，令,则下列关于函数的叙述正确的是A．若,则函数的图象关于原点对称B．若,则方程有大于2的实根C．若,则方程有两个实根D．若,则方程有两个实根参考答案：B9.已知数列的前项和为，则A．

B．

C．

D．参考答案：D10.下列函数中满足在（﹣∞，0）上单调递减的偶函数是（）A． B．y=|log2（﹣x）| C． D．y=sin|x|参考答案：C【考点】49：指数函数的图象与性质．【分析】根据基本函数的性质依次判断即可得答案．【解答】解：对于A：根据指数函数的性质，的图象是y=图象把y轴的右边图象翻折后得左边图象，在（﹣∞，0）上单调递增函数，∴A不对．对于B：根据图象，y=|log2（﹣x）|，在（﹣∞，﹣1）是减函数，（﹣1，0）是增函数，∴B不对．对于C：根据幂函数的性质可知：是偶函数，指数，（0，+∞）是增函数．（﹣∞，0）上单调递减．∴C对．对于D：根据正弦函数的性质可知：y=sin|x|的图象是由sinx在y轴的右边图象翻折后得左边图象．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.设,其中或1，并记,对于给定的构造无穷数列如下：，，，（1）若109，则

(用数字作答）；（2）给定一个正整数，若，则满足的的最小值为_____________.参考答案：(1)91,(2)12.已知向量=（1，2），=（1，0），=（3，4），若λ为实数，（+λ）⊥，则λ的值为．参考答案：﹣【考点】平面向量数量积的运算．【分析】求出+λ和的坐标，根据向量垂直列出方程解出λ．【解答】解：+λ=（1+λ，2λ），∵（+λ）⊥，∴（+λ）?=0，即3（1+λ）+8λ=0，解得λ=﹣．故答案为﹣．13.等差数列的前项和为，若，，，则

．参考答案：2114.已知，是虚数单位，，．若是纯虚数，则

，的最小值是

．参考答案：－1,215.已知是定义在上的奇函数，且以3为周期，若，，则实数a的取值范围是_______________.参考答案：16.已知，则的值为

。参考答案：17.若△ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为________________。参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知是自然对数的底数,.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）当时,求证：.参考答案：(1)；(2)证明见解析.考点：导数在研究函数的单调性和最值极值等方面的综合运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数的两个函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问求解时借助导数的几何意义,从而求得函数在处的切线的斜率,进而求得切线的方程为；第二问的推证中借助导数,运用导数与函数单调性的关系运用分类整合的数学思想进行分类进行推证,从而使得问题简捷巧妙获证.19.已知函数.（1）求的最小正周期；（2）若将的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，求函数g（x）的解析式，并求时，g（x）的最大值和最小值.参考答案：解：（1）

=所以的最小正周期为（2）∵将将的图象向右平移个单位，得到函数的图象.∴

∵∴当取得最大值2.

当取得最小值—1.略20.已知b＞，c＞0，函数的图像与函数的图像相切．(1)设，求；(2)设(其中x＞)在上是增函数，求c的最小值；⑶是否存在常数c，使得函数在内有极值点？若存在，求出c的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案：（Ⅰ）．（Ⅱ）依题设，∴．∵在上是增函数，∴≥0在上恒成立，又x＞，c＞0，∴上式等价于≥0在上恒成立，即≤，而由（Ⅰ）可知≤，∴≥．又函数在上的最大值为2，∴≥2，解得c≥4，即c的最小值为4．

21.（本小题满分13分）如图，在四面体ABCD中，△ABC是等边三角形，平面ABC⊥平面ABD，点M为棱AB的中点，AB=2，AD=，∠BAD=90°．（Ⅰ）求证：AD⊥BC；（Ⅱ）求异面直线BC与MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直线CD与平面ABD所成角的正弦值．参考答案：本小题主要考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、平面与平面垂直等基础知识．考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力．满分13分．（Ⅰ）由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，可得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC．（Ⅱ）解：取棱AC的中点N，连接MN，ND．又因为M为棱AB的中点，故MN∥BC．所以∠DMN（或其补角）为异面直线BC与MD所成的角．在Rt△DAM中，AM=1，故DM=．因为AD⊥平面ABC，故AD⊥AC．在Rt△DAN中，AN=1，故DN=．在等腰三角形DMN中，MN=1，可得．所以，异面直线BC与MD所成角的余弦值为．（Ⅲ）解：连接CM．因为△ABC为等边三角形，M为边AB的中点，故CM⊥AB，CM=．又因为平面ABC⊥平面ABD，而CM平面ABC，故CM⊥平面ABD．所以，∠CDM为直线CD与平面ABD所成的角．在Rt△CAD中，CD==4．在Rt△CMD中，．所以，直线CD与平面ABD所成角的正弦值为．

22.目前我国很多城市出现了雾霾天气，已经给广大人民的健康带来影响，其中汽车尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，很多城市提倡绿色出行方式，实施机动车尾号限行．某市为了解民众对“车辆限行”的态度，随机调查了50人，并半调查结果制成如表：年龄（岁）[15，25）[25，35）[35，45）[45，55）[55，65）[65，75）频数510151055赞成人数469634（1）若从年龄在[55，65）的被调查者中随机选取2人进行跟踪调查，求恰有1名不赞成“车辆限行”的概率；（2）把年龄在[15，45）称为中青年，年龄在[45，75）称为中老年，请根据上表完成2×2列联表，并说明民众对“车辆限行”的态度与年龄是否有关联．态度年龄赞成不赞成总计中青年

中老年

总计

参考公式和数据：x2=X2≤2.706＞2.706＞3.841＞6.635A、B关联性无关联90%95%99%参考答案：【考点】独立性检验的应用．【专题】应用题；概率与统计．【分析】（1）从这5人中任取2人的所有情况共C52=10种情况，恰有1名不赞成“车辆限行”C31C21=6种情况，即可求出恰有1名不赞成“车辆限行”的概率；（2）根据所给做出的列联表，做出观测值，把观测值同临界值进行比较得到结论．【解答】解：（1）从这5人中任取2人的所有情况