江苏省扬州市邗江区宝应县仪征市高一下学期期中学业质量监测数学试题（教师版）

扬州市邗江区、宝应县、仪征市2021年第二学期期中学业质量监测注注意事项考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求本试卷共6页，包含单项选择题（共8题）、多项选择题（共4题）、填空题（共4题）、解答题（共6题），满分为150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卡交回。答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的毫米签字笔填写在答题卡上。作答试题必须用书写黑色字迹的毫米签字笔写在答题卡上的指定位置，在其它位置作答一律无效。如有作图需要，可用2B铅笔作答，并请加黑、加粗，描写清楚。1．下列复数中，纯虚数是（）AA．B．－iC．(2i)2D．5i+82．＋cos60°=（）BA．B．－C．D．3．一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形，若，那么原△ABO的面积是（）CA．B．C． D．4．已知向量a=(3，4)，b=(8，6)，=(2，k)，且a∙c=b∙c，则k的值为（）DA．－4B．4C．5D．5．已知：α，β均为锐角，tanα=，tanβ=，则α+β＝（）BA． B． C． D．6．“全民健身活动周”中，某长跑运动员沿公路向正北方向前进时,看见正西方向有两个相距1500m的地标恰好与它在一条直线上，继续前进3分钟后,看见一地标在他的南偏西60°方向上，另一地标在他的南偏西75°方向上，则他跑步的速度是（A．125米/分B．125米/分C．250米/分D．250米/7．设向量a，b，c满足|a|=|b|=1，a∙b=－，a－c，b－c的夹角为60°，则|c|的最大值等于（）AA．2 B． C． D．18．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，∠ABC=120o，直线BD交AC于点D，将△ABC分成两部分，且∠CBD=3∠ABD，BD=1，则a＋2c的最小值为（）DA．B．4C．4D．9．设向量a，b满足|a|=|b|=1，且|b－2a|=，则以下结论正确是（）ACA．a⊥b B．|a＋b|=2 C．|a－b|=D．向量a，b夹角为60o10．设f(α)=sinxα＋cosxα，x∈{n|n=2k，k∈N＋}，下列结论正确的是（）ABCDA．x=2时，f(α)的取值范围为{1}，B．x=4时，f(α)的取值范围为[,1]，C．x=6时，f(α)的取值范围为[,1]，D．对于x∈{n|n=2k，k∈N＋}，f(α)的取值范围为[,1]，11．在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知(b＋c)：(c＋a)：(a＋b)=4：5：6，下列结论正确的是（）ABDA．cosB+cosC=，B．若AD为BC边上的角平分线，则eq\O(AD,\s\up8())=eq\O(AB,\s\up8())＋eq\O(AC,\s\up8())，C．BC边上的中线长为，D．若b＋c=△ABC的外接圆半径是，12．瑞士数学家欧拉是史上最伟大的数学家之一，他发现了被人们称为“世界上最完美的公式”——欧拉公式：eiθ=cosθ＋isinθ（其中i是虚数单位，e是自然对数的底数），它也满足实数范围内指数的运算性质，下列结论正确的是（）ABCA．|4e5i|=4，B．i2020+2021i=，C．若复数eiθ∙的虚部为，θ∈(0,π)，则(eiθ)2的实部为，D．已知z1=，z2=eiθ，复数z1，z2在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，则三角形OZ1Z2面积的最大值为.13．已知a,b∈R，i是虚数单位．若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2=▲.3＋4i14．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱BC，CC1的中点，则异面直线EF与B1D1所成的角为▲.（第14题图）（第14题图）15．已知sin(α－)=QUOTEsin(α-π12)=13，α∈(0,π)，则tan(2α－)=▲.16．践行“劳动教育”系列活动中，某班学生被分配剪“六芒星”彩纸，如图，“六芒星”是由两个边长为3的全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行，点A，B是“六芒星”（如图）的两个顶点，动点P在“六芒星”上（内部以及边界），若eq\O(OP,\s\up8())=xeq\O(OA,\s\up8())＋yeq\O(OB,\s\up8())，当x＋y取得最大值时，eq\O(OP,\s\up8())∙eq\O(OA,\s\up8())的值是▲.四、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（本小题满分10分）已知复数z满足z∙eq\o(z,\s\up4(–))=2，且z的虚部为－1，z在复平面内所对应的点在第四象限.（1）求z；（2）若z，z2在复平面上对应的点分别为A，B，O为坐标原点，求∠OAB.【解析】（1）设复数z=x－i（x，y∈R），因为z∙eq\o(z,\s\up4(–))=2，，所以x2＋1=2，得x=1或x=－1，……………2分又z在复平面内所对应的点在第四象限，所以z=1－i；……………4分（2）z2=(1－i)2=－2i，……………6分所以A(1,－1)，B(0,－2)，O(0,0)，eq\o(AO,\s\up10(→))=(－1,1)，eq\o(AB,\s\up10(→))=(－1,－1)，…8分所以cos∠OAB=eq\f(\o(AO,\s\up10(→))∙\o(AB,\s\up10(→)),|\o(AO,\s\up10(→))||\o(AO,\s\up10(→))|)=0，所以∠OAB=eq\f(π,2).……………10分18．（本小题满分12分）已知cos(eq\f(π,6)＋α)∙cos(eq\f(π,3)－α)=－eq\f(1,4)，α∈(eq\f(π,3)，eq\f(π,2)).（1）求sin2α的值；（2）求tanα－eq\f(1,tanα)的值．【解析】（1）∵cos(eq\f(π,6)＋α)·cos(eq\f(π,3)－α)＝coseq\f(π,6)＋α·sin(eq\f(π,6)＋α)＝eq\f(1,2)sin(2α＋eq\f(π,3))＝－eq\f(1,4)，………2分∴sin(2α＋eq\f(π,3))＝－eq\f(1,2).∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))，∴2α＋eq\f(π,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(π，\f(4π,3)))，……………6分∴cos(2α＋eq\f(π,3))＝－eq\f(\r(3),2)，∴sin2α＝sin[(2α＋eq\f(π,3))－eq\f(π,3)]＝sin(2α＋eq\f(π,3))coseq\f(π,3)－cos(2α＋eq\f(π,3))sineq\f(π,3)＝eq\f(1,2).……………8分（2）∵α∈(eq\f(π,3)，eq\f(π,2))，∴2α∈(eq\f(2π,3)，π)，又由(1)知sin2α＝eq\f(1,2)，∴cos2α＝－eq\f(\r(3),2).……………10分∴tanα－eq\f(1,tanα)＝eq\f(sinα,cosα)－eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(sin2α－cos2α,sinαcosα)＝eq\f(－2cos2α,sin2α)＝－2×eq\f(－\f(\r(3),2),\f(1,2))＝2eq\r(3).………12分19．（本小题满分12分）已知向量a=(cos，sin)，b=(cos，－sin)，且x∈(0，)．（1）求a∙b及|a＋b|；（2）若f(x)=a∙b－2λ|a＋b|的最小值为－，求正实数λ的值．【解析】（1）a∙b=coscos－sinsin=cos2xa＋b=(cos＋cos，sin－sin)……………2分|a＋b|2=(cos＋cos)2＋(sin－sin)2=2+2cos2x=4cos2x．……………4分又x∈(0，)，则cosx≥0，因此|a＋b|=2cosx．……………6分（2）由（1）知f(x)=cos2x﹣4λcosx＝2cos2x﹣4λcosx﹣1，则f(x)=2(cosx﹣λ)2﹣1﹣2λ2，cosx∈[0，1]，……………8分①当0＜λ＜1时，当cosx=λ时，f(x)有最小值﹣1﹣2λ2=－，解得λ=．…………10分②当λ≥1时，当cosx=1时，f(x)有最小值1﹣4λ=－，解得λ=（舍去），综上可得λ=．……………12分20．（本小题满分12分）如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．（1）求|eq\O(AB,\s\up8())|；（2）已知点D是AB上一点，满足eq\O(AD,\s\up8())=λeq\O(AB,\s\up8())，点E是边CB上一点，满足eq\O(BE,\s\up8())=λeq\O(BC,\s\up8())．①当λ=时，求eq\O(AE,\s\up8())∙eq\O(CD,\s\up8())；②是否存在非零实数λ，使得eq\O(AE,\s\up8())⊥eq\O(CD,\s\up8())？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．AABCDE【解析】（1）|eq\O(AB,\s\up8())|=……………2分（2）①λ=时，eq\O(AD,\s\up8())=eq\O(AB,\s\up8())，eq\O(BE,\s\up8())=eq\O(BC,\s\up8())，则D、E分别是BC，AB的中点，∴eq\O(AE,\s\up8())=eq\O(AC,\s\up8())+eq\O(CE,\s\up8())=eq\O(AC,\s\up8())+eq\O(CB,\s\up8())，eq\O(CD,\s\up8())=(eq\O(CA,\s\up8())+eq\O(CB,\s\up8()))，…4分∴eq\O(AE,\s\up8())∙eq\O(CD,\s\up8())=(eq\O(AC,\s\up8())+eq\O(CB,\s\up8()))∙(eq\O(CA,\s\up8())+eq\O(CB,\s\up8()))=eq\O(AC,\s\up8())∙eq\O(CA,\s\up8())+eq\O(AC,\s\up8())∙eq\O(CB,\s\up8())+eq\O(CB,\s\up8())∙eq\O(CA,\s\up8())+eq\O(CB,\s\up8())2=；……………6分②假设存在非零实数λ，使得eq\O(AE,\s\up8())⊥eq\O(CD,\s\up8())，由eq\O(AD,\s\up8())=λeq\O(AB,\s\up8())，得eq\O(CD,\s\up8())=(1﹣λ)eq\O(CA,\s\up8())+λeq\O(CB,\s\up8())，又eq\O(BE,\s\up8())=λeq\O(BC,\s\up8())，∴eq\O(AE,\s\up8())=﹣eq\O(CA,\s\up8())+(1﹣λ)eq\O(CB,\s\up8())，……………8分∴eq\O(AE,\s\up8())∙eq\O(CD,\s\up8())=λ(1﹣λ)eq\O(CB,\s\up8())2﹣λeq\O(CB,\s\up8())∙eq\O(CA,\s\up8())+(1﹣λ)2eq\O(CB,\s\up8())∙eq\O(CA,\s\up8())﹣(1﹣λ)eq\O(CA,\s\up8())2=4λ(1﹣λ)﹣λ+(1﹣λ)2﹣(1﹣λ)=﹣3λ2+2λ=0，……………10分解得λ=或λ=0（不合题意，舍去）；即存在非零实数λ=，使得eq\O(AE,\s\up8())⊥eq\O(CD,\s\up8())．……………12分21．（本小题满分12分）“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”ABCD的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD连接，设△ABD中边BD所对的角为A，△BCD中边BD所对的角为C，经测量已知AB=BC=CD=2，AD=2QUOTEAD=23.（1）若∠C=60°，求∠A；（2）霍尔顿发现无论BD多长，eq\r(3)cosA﹣cosCQUOTE3cosA-cosC为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；（3）霍尔顿发现麦田的生长与土地面积的平方呈正相关，记QUOTEΔABD△ABD与QUOTEΔBCD△BCD的面积分别为S1QUOTES1和S2，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出S12QUOTES1+S22QUOTES12+S22的最大值.AABCD【解析】（1）由BC=CD=2，∠C=60°，所以QUOTEΔBCD△BCD是等边三角形，所以BD=2，cosA==QUOTEcosA=AB2+AD2-BD因为0<A<180°，所以A=30°………………2分（2）在△ABD中，由余弦定理得BD2=16﹣8eq\r(3)cosA，在△BCD中，由余弦定理得BD2=8﹣8cosC，…4分则8(eq\r(3)cosA﹣cosC)=8，eq\r(3)cosA﹣cosC=1；…6分（3）S1=2eq\r(3)sinA，S2=2sinC，则S12QUOTES1+S22=16﹣(12cos2A+4cos2C)，……8分由（2）知：eq\r(3)cosA=cosC+1，代入上式得：S12QUOTES1+S22=﹣24cos2A+8eq\r(3)cosA+12，………………10分配方得：S12QUOTES1+S22=﹣24(cosA﹣)2+14，因为0<A<，0<cosA<1，当cosA=时，S12QUOTES1+S22取到最大值14.……………12分22．（本小题满分12分）已知A，B，C为平面内不共线三点，S△ABC表示△ABC的面积（1）若A(eq\r(3),1)，B(﹣2eq\r(3),2)，C(0,0)，求S△ABC；（2）若A(x1,y1)，B(x2,y2)，C(0,0)，证明：S△ABC=|x1y2﹣x2y1|；（3）若A(2cos,sin)，B(2cosβ,sinβ)，C(2cosγ,sinγ)，其中，且坐标原点恰好为△ABC的重心，判断S△ABC是否为定值，若是，