2022年四川省成都市铁路局职工子弟中学高三数学文模拟试卷含解析

2022年四川省成都市铁路局职工子弟中学高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递增的是（

）． A． B． C． D．参考答案：C、、、均为偶函数，仅有项在单调递增，故选．2.在下列区间中，函数的的零点所在的区间为

(

）A．（-，0）

B．（0，）

C．（，）

D．（，）参考答案：C3.设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+3y的最小值为(

) A．﹣3 B．0 C．3 D．12参考答案：C考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最小值．解答： 解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+3y得y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小．由，解得，即A（﹣6，3），代入目标函数得z=﹣6+3×3=﹣6+9=3．即z=x+3y的最小值为3．故选：C．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．4.椭圆=1（a＞b＞0）的一个焦点为F1，若椭圆上存在一个点P，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段PF1相切于该线段的中点，则椭圆的离心率为（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】设线段PF1的中点为M，另一个焦点F2，利用OM是△FPF2的中位线，以及椭圆的定义求出直角三角形OMF1的三边之长，使用勾股定理求离心率．【解答】解：设线段PF1的中点为M，另一个焦点F2，由题意知，OM=b，又OM是△FPF1的中位线，∴OM=PF2=b，PF2=2b，由椭圆的定义知

PF1=2a﹣PF2=2a﹣2b，又MF1=PF1=（2a﹣2b）=a﹣b，又OF1=c，直角三角形OMF1中，由勾股定理得：（a﹣b）2+b2=c2，又a2﹣b2=c2，可得2a=3b，故有4a2=9b2=9（a2﹣c2），由此可求得离心率e==，故选：D．5.设[x]表示不超过x的最大整数，如[1]=1，[0.5]=0，已知函数f（x）=﹣k（x＞0），若方程f（x）=0有且仅有3个实根，则实数k的取值范围是（）A．(，] B．(，] C．(，] D．(，)参考答案：C【分析】由f（x）=0得=k，令g（x）=，作出g（x）的图象，利用数形结合即可得到k的取值范围．【解答】解：由f（x）=﹣k=0得=k，若x＞0，设g（x）=，则当0＜x＜1，[x]=0，此时g（x）=0，当1≤x＜2，[x]=1，此时g（x）=，此时，当2≤x＜3，[x]=2，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，当3≤x＜4，[x]=3，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，当4≤x＜5，[x]=4，此时g（x）=，此时＜g（x）≤1，作出函数g（x）的图象，要使f（x）=﹣k有且仅有三个零点，即函数g（x）=k有且仅有三个零点，则由图象可知＜k≤，故选：C．【点评】本题主要考查函数零点的应用，根据函数和方程之间的关系构造函数g（x），利用数形结合是解决本题的关键．难度较大．6.四面体A-BCD中，，，，则四面体A-BCD外接球的表面积为（

）A.50π

B.100π

C.150π

D.200π参考答案：A由题意可采用割补法，考虑到四面体的四个面为全等的三角形，所以可在其每个面补上一个以为三边的三角形作为底面，且分别以为长、两两垂直的侧棱的三棱锥，从而可得到一个长、宽、高分别为的长方体，并且，设球半径为，则有，∴，∴球的表面积为．故选A．7.如图,若程序框图输出的S是126,则判断框中①应为

A．

B．

C．

D．(输出应加上S)参考答案：B8.已知圆锥的底面半径为4，高为8，则该圆锥的外接球的表面积为（）A．10π

B．64π

C.100π

D．参考答案：C9.已知的最小值是5，则z的最大值是（

）

A．10

B．12

C．14

D．15参考答案：A略10.已知>0，函数上单调递增，则的取值范围是参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.右图是一个几何体的三视图，则该几何体体积为______

参考答案：15

12.给出定义：若（其中为整数），则叫做离实数最近的整数，记作，即.在此基础上给出下列关于函数的四个命题：①函数的定义域是R，值域是[0，]；②函数的图像关于直线(k∈Z)对称；③函数是周期函数，最小正周期是1；④函数在上是增函数.则其中真命题是

．参考答案：1,2,3略13.有1元、10元、100元纸币各4张，现从中取出若干张（至少一张）可组成______________种不同的纸币．参考答案：答案:124

解析:5×5×5﹣1﹦12414.已知数列满足,则=

参考答案：略15.已知双曲线C:(a＞0，b＞0)的右焦点为F，过点F作圆(x－a)2+y2=的切线，若该切线恰好与C的一条渐近线垂直，则双曲线C的离心率为．参考答案：【分析】求得切线方程，利用点到直线的距离公式，求得圆心到切线的距离d=，利用椭圆的离心率公式即可求得双曲线的离心率．【解答】解：由双曲线的一条渐近线y=x，由题意可知该切线方程为y=﹣（x﹣c），即ax+by﹣ac=0，由圆的圆心为C（a，0）到切线的距离d===，由e=，则e2﹣4e+4=0，解得：e=2，双曲线C的离心率e=2，故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的简单性质，点到直线的距离公式，考查计算能力，属于中档题．16.函数的最大值是＿＿＿＿＿＿.参考答案：517.在的展开式中的常数项为

.参考答案：10略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a>0)，F(x)＝若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立．(1)求F(x)的表达式；(2)当x∈－2,2时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．参考答案：(1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，∴b＝a＋1，∴f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋1.∵f(x)≥0恒成立，∴∴∴a＝1，从而b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋1，∴F(x)＝(2)g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1.∵g(x)在－2,2上是单调函数，∴≤－2，或≥2，解得k≤－2，或k≥6.所以k的取值范围为k≤－2，或k≥6.19.（本小题满分13分）

已知函数（1）若直线过点，并且与曲线相切，求直线的方程；（2）设函数在上有且只有一个零点，求的取值范围。（其中为自然对数的底数）参考答案：(1)(2)或a＞【知识点】导数的应用B12解析:（1）设切点坐标为，则切线的斜率为所以切线的方程为………………2分又切线过点（1，0），所以有[来源:Z§xx§k.Com]即

解得所以直线的方程为…………4分（或：设，则单增，单减有唯一解，所以直线的方程为…………4分)(2）因为，注意到g（1）=0所以，所求问题等价于函数在上没有零点.因为,所以由＜0＜00＜＜＞0＞所以在上单调递减，在上单调递增.……………6分①当即时，在上单调递增，所以>此时函数g（x）在上没有零点………………7分②当1＜＜e，即1＜a＜2时，在上单调递减，在上单调递增.又因为g（1）=0,g(e)=e-ae+a，在上的最小值为所以，（i）当1＜a时，在上的最大值g(e)0，即此时函数g（x）在上有零点。………………8分（ii）当＜a＜2时，g(e)＜0，即此时函数g（x）在上没有零点.…10分③当即时，在上单调递减，所以在上满足＜此时函数g（x）在上没有零点综上，所求的a的取值范围是或＜a………12分.【思路点拨】在求切线方程时应注意在某处与经过某点的切线的区别，由函数的零点个数求参数范围时，可结合函数的单调性与极值进行分析解答.20.(本题满分14分)已知数列满足（），，记数列的前项和为，.（I）令，求证数列为等差数列，并求其通项公式；（II）证明：（i）对任意正整数，；（ii）数列从第2项开始是递增数列.参考答案：（I）由得，所以且，故是以为首项为公差的等差数列.所以………４分（II）（i）由（I）知，，要证，只需证.下面用数学归纳法证明：①当时，，结论成立.

②假设当时结论成立，即.那么，当时，，即结论成立.由①②可知，结论对一切正整数都成立.

…９分（ii）由，则.…11分令，且，则，因为，所以在单调递增，则，即，.故数列是递增数列.…14分21.（本小题12分）设不等式的解集为M，如果M，求实数的取值范围.参考答案：解：①当，即时，,满足题意；②当时，或。时，不合题意；时，满足题意；③当，即或时，令，要使M，只需解得；综上，.略22.设f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，a∈R．（Ⅰ）令g（x）=f′（x），求g（x）的单调区间；（Ⅱ）已知f（x）在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）先求出g（x）=f′（x）的解析式，然后求函数的导数g′（x），利用函数单调性和导数之间的关系即可求g（x）的单调区间；（Ⅱ）分别讨论a的取值范围，根据函数极值的定义，进行验证即可得到结论．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x，∴g（x）=f′（x）=lnx﹣2ax+2a，x＞0，g′（x）=﹣2a=，当a≤0，g′（x）＞0恒成立，即可g（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＞0，当x＞时，g′（x）＜0，函数为减函数，当0＜x＜，g′（x）＞0，函数为增函数，∴当a≤0时，g（x）的单调增区间是（0，+∞）；当a＞0时，g（x）的单调增区间是（0，），单调减区间是（，+∞）；（Ⅱ）∵f（x）在x=1处取得极大值，∴f′（1）=0，①当a≤0时，f′（x）单调递增，则当0＜x＜1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，当x＞1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）在x=1处取得极小值，不合题意，②当0＜a＜时，＞1，由（1）知，f′（x）在（0，）内单调递增