【解析】2023-2024学年初中数学八年级上册 25.3 相似三角形同步分层训练基础卷(冀教版)

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一、选择题

1．（2023九上·杭州期末）两个相似三角形的相似比是4：9，则它们的面积比是（）

A．4：9B．16：81C．2：3D．1：3

【答案】B

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是4：9，

∴两个相似三角形的面积之比为.

故答案为：B.

【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得答案.

2．（2023九上·杭州期末）已知在△ABC中，AB=6，AC=9，D，E分别是AB，AC边上的点，且AD=2.若△ABC和△ADE相似，则AE=（）

A．5B．3C．D．3或

【答案】D

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC，

∴当△ADE∽△ABC，可得，

即

解得AE＝；

当△AED∽△ABC，得，

即

解得AE=3，

综上AE的长为：3或.

故答案为：D.

【分析】分类讨论：当△ADE∽△ABC，当△AED∽△ABC，根据相似的性质得比例式，然后分别利用比例性质求解即可．

3．（2022九上·柯城月考）如图，在直角梯形中，，，，，点为边上一动点，若与是相似三角形，则满足条件的点的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：，∠ABC=90°，

，

.，，，

设AP的长为x，则BP长为8-x.

若AB边上存在P点，使与相似，那么分两种情况：

①若，则，

即，解得；

②若，则，

即，解得或.

满足条件的点的个数是3个，

故答案为：C.

【分析】易得∠PAD=∠PBC=90°，设AP的长为x，则BP长为8-x，此题分两种情况：①若△APD∽△BPC，②若△APD∽△BCP，分别根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出x的值，从而即可得出满足条件的点P的个数.

4．（2022九上·拱墅期中）的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为16，则的周长是（）

A．54B．36C．27D．21

【答案】B

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF

∴相似比为：，

△ABC的周长为：，

∴△DEF的周长为：，

故答案为：B.

【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比即可得出答案.

5．（2022九上·义乌期中）若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的最长边的比是（）

A．1：2B．1：4C．1：16D．无法确定

【答案】A

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：解：∵两个相似三角形的面积比为1：4，

∴它们的相似比为1：2.

故答案为：A.

【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．

6．（2023九上·高邑期中）如图所示，，则的度数为（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】∵，，

∴，

又∵，，

∴，

故答案为：C．

【分析】根据相似三角形的性质可得，再结合，，可求出。

7．△ABC与△DEF的周长之比为4：9，则△ABC与△DEF的相似比为（）

A．2：3B．4：9C．16：81D．9：4

【答案】B

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF的周长之比为4：9，

∴△ABC与△DEF的相似比为4：9，

故选：B．

【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．

8．（2022九上·东阳月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（）

A．AC2＝ADABB．BC2＝BDBAC．CD2＝ADDBD．CD2＝CACB

【答案】D

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，

∴AC2＝AD·AB，CD2＝DA·DB，BC2＝BD·BA．

故答案为：D.

【分析】直接根据射影定理结论，即AC2＝AD·AB，CD2＝DA·DB，BC2＝BD·BA，对各选项进行判断即可.

二、填空题

9．（2022九上·杨浦期中）如果两个相似三角形的面积比为3：4，那么它们对应高之比为．

【答案】

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为3：4，

∴它们对应高之比为：2.

故答案为：：2.

【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出答案.

10．（2023九上·沭阳期末）如图，D、E分别是ΔABC的边AB、AC上的动点，若，且ΔADE与ΔABC相似，则AD的长度是.

【答案】4或

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：当△ADE∽△ABC时，可得，

即，

解得AD＝；

当△AED∽△ABC时，可得，

即，

解得AD＝4，

综上所述，AD的长为4或.

故答案为：4或.

【分析】分△ADE∽△ABC、△AED∽△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算即可.

11．（2022·路北模拟）如图，在中，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t．

（1）用含t的代数式表示：=；

（2）当以A，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间t=

【答案】（1）16-3t

（2）秒或4秒

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：（1）由题意可知：，

（2）连接PQ，

∵∠PAQ=∠BAC，

∴当时，，即，解得

当时，，即，解得t=4．

∴运动时间为秒或4秒．

故答案为：16-3t；秒或4秒

【分析】（1）根据题意直接列出代数式即可；

（2）分类讨论：①当时，，②当时，，再分别列出比例式求解即可。

12．（2023九上·新邵期末）若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的周长为12cm，则△A′B′C′的周长为.

【答案】16cm

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且，即相似三角形的相似比为，

∵△ABC的周长为12cm

∴△A′B′C′的周长为12÷=16cm.

故答案为：16cm.

【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比进行计算.

13．（2023九上·崇左期末）如图，、交于点，且，，，当时，与相似.

【答案】54或37.5

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：当△AOC∽△BOD时，

∴

当△AOC∽△DOB时，

∴

综上得：OA=54或37.5

故答案为：54或37.5.

【分析】分△AOC∽△BOD、△AOC∽△DOB，然后根据相似三角形的对应边成比例进行求解.

三、解答题

14．（2022九上·温州期中）如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝15，BD＝3，BC＝12，求DE的长．

【答案】解：∵△ABC∽△ADE，

∴AB：AD＝BC：DE，

∵AB＝15，BD＝3，BC＝12，

∴15：（15+3）＝12：DE，

解得DE＝．

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【分析】根据相似三角形的性质可得AB∶AD＝BC∶DE，然后将已知条件代入计算即可.

15．（2023九上·礼泉期末）如图所示，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，△ADE∽△ABC，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，求四边形DBCE的面积.

【答案】解：∵△ADE和△ABC的相似比是1：2，

又∵△ADE的面积是1，

∴S四边形

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【分析】利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，利用△ADE的面积，可求出△ABC的面积，再利用四边形DBCE的面积等于△ABC的面积减去△ADE的面积，代入计算可求出结果.

四、作图题

16．（2023九上·义乌期末）如图，在的方格中，点A、B、C均在格点上.（要求：①只用无刻度的直尺按要求作图，各画出一条即可；②所作的点P，点Q均在格点上；③先用铅笔画，再用签字笔描黑.）

（1）在图1作平分；

（2）在图2作垂直平分；

（3）在图3中作，与线段的交点为D，使.

【答案】（1）解：如图所示，

（2）解：如图所示，

（3）解：如图所示，作，且，则

【知识点】矩形的性质；正方形的性质；相似三角形的性质

【解析】【解答】解：（1）理由：如图APBQ是矩形，

∴PQ、AB互相平分；

（2）理由：，

∴四边形APBQ是菱形，

又，则，

则是直角三角形，

∴四边形APBQ是正方形，

∴PQ垂直平分AB，

（3）理由如下，

∵，，

∴，

∴，

∴.

【分析】（1）根据矩形的对角线互相平分，作图即可；

（2）根据正方形的对角线互相垂直平分，作图即可；

（3）根据相似三角形对应边成比例作图即可.

五、综合题

17．（2022九上·西安月考）如图，矩形中，，，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点，同时出发，设运动时间为.

（1）当为何值时，的面积为？

（2）为何值时，以A，，为顶点的三角形与相似.

【答案】（1）解：由题意知，，，

的面积为，

，

解得或，

，

时，的面积为；

（2）解：，

当或时，以，，为顶点的三角形与相似，

或，

解得或，

或时，以A，，为顶点的三角形与相似.

【知识点】三角形的面积；相似三角形的性质

【解析】【分析】（1）由题意可得AP=2t，AQ=10-t，根据三角形的面积公式可得t的值，根据AP（2）当或时，以A、P、Q为顶点的三角形与△ABC相似，然后代入求解即可.

18．（2022九上·西山期中）如图，一块三角形材料ABC中，，，cm，用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中点D，E，F分别在BC，AB，AC上．

（1）若EF的长度为xcm，则cm；（用含x的代数式表示）

（2）要使剪出的矩形CDEP的面积最大，则矩形的长、宽分别是多少？

【答案】（1）

（2）解：

当时，S最大，这时矩形的宽为1.5米，长为米

【知识点】矩形的性质；相似三角形的性质

【解析】【解答】解：（1）在中

又，cm

∴cm

∵

∴

又∵

∴

【分析】（1）利用锐角三角函数先求出cm，再利用相似三角形的性质计算求解即可；

（2）利用矩形的面积公式计算求解即可。

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一、选择题

1．（2023九上·杭州期末）两个相似三角形的相似比是4：9，则它们的面积比是（）

A．4：9B．16：81C．2：3D．1：3

2．（2023九上·杭州期末）已知在△ABC中，AB=6，AC=9，D，E分别是AB，AC边上的点，且AD=2.若△ABC和△ADE相似，则AE=（）

A．5B．3C．D．3或

3．（2022九上·柯城月考）如图，在直角梯形中，，，，，点为边上一动点，若与是相似三角形，则满足条件的点的个数是（）

A．1B．2C．3D．4

4．（2022九上·拱墅期中）的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为16，则的周长是（）

A．54B．36C．27D．21

5．（2022九上·义乌期中）若两个相似三角形的面积之比为1：4，则它们的最长边的比是（）

A．1：2B．1：4C．1：16D．无法确定

6．（2023九上·高邑期中）如图所示，，则的度数为（）

A．B．C．D．

7．△ABC与△DEF的周长之比为4：9，则△ABC与△DEF的相似比为（）

A．2：3B．4：9C．16：81D．9：4

8．（2022九上·东阳月考）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（）

A．AC2＝ADABB．BC2＝BDBAC．CD2＝ADDBD．CD2＝CACB

二、填空题

9．（2022九上·杨浦期中）如果两个相似三角形的面积比为3：4，那么它们对应高之比为．

10．（2023九上·沭阳期末）如图，D、E分别是ΔABC的边AB、AC上的动点，若，且ΔADE与ΔABC相似，则AD的长度是.

11．（2022·路北模拟）如图，在中，，点P从A出发，以的速度向B运动，同时点Q从C出发，以的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t．

（1）用含t的代数式表示：=；

（2）当以A，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间t=

12．（2023九上·新邵期末）若△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的周长为12cm，则△A′B′C′的周长为.

13．（2023九上·崇左期末）如图，、交于点，且，，，当时，与相似.

三、解答题

14．（2022九上·温州期中）如图，已知△ABC∽△ADE，AB＝15，BD＝3，BC＝12，求DE的长．

15．（2023九上·礼泉期末）如图所示，点D、E分别在AB、AC上，连接DE，△ADE∽△ABC，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，求四边形DBCE的面积.

四、作图题

16．（2023九上·义乌期末）如图，在的方格中，点A、B、C均在格点上.（要求：①只用无刻度的直尺按要求作图，各画出一条即可；②所作的点P，点Q均在格点上；③先用铅笔画，再用签字笔描黑.）

（1）在图1作平分；

（2）在图2作垂直平分；

（3）在图3中作，与线段的交点为D，使.

五、综合题

17．（2022九上·西安月考）如图，矩形中，，，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，动点从点出发，沿边以的速度向点匀速移动，一个动点到达端点时，另一个动点也停止运动，点，同时出发，设运动时间为.

（1）当为何值时，的面积为？

（2）为何值时，以A，，为顶点的三角形与相似.

18．（2022九上·西山期中）如图，一块三角形材料ABC中，，，cm，用这块材料剪出一个矩形CDEF，其中点D，E，F分别在BC，AB，AC上．

（1）若EF的长度为xcm，则cm；（用含x的代数式表示）

（2）要使剪出的矩形CDEP的面积最大，则矩形的长、宽分别是多少？

答案解析部分

1．【答案】B

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的相似比是4：9，

∴两个相似三角形的面积之比为.

故答案为：B.

【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得答案.

2．【答案】D

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：∵∠DAE＝∠BAC，

∴当△ADE∽△ABC，可得，

即

解得AE＝；

当△AED∽△ABC，得，

即

解得AE=3，

综上AE的长为：3或.

故答案为：D.

【分析】分类讨论：当△ADE∽△ABC，当△AED∽△ABC，根据相似的性质得比例式，然后分别利用比例性质求解即可．

3．【答案】C

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：，∠ABC=90°，

，

.，，，

设AP的长为x，则BP长为8-x.

若AB边上存在P点，使与相似，那么分两种情况：

①若，则，

即，解得；

②若，则，

即，解得或.

满足条件的点的个数是3个，

故答案为：C.

【分析】易得∠PAD=∠PBC=90°，设AP的长为x，则BP长为8-x，此题分两种情况：①若△APD∽△BPC，②若△APD∽△BCP，分别根据相似三角形对应边成比例建立方程可求出x的值，从而即可得出满足条件的点P的个数.

4．【答案】B

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：∵△ABC∽△DEF

∴相似比为：，

△ABC的周长为：，

∴△DEF的周长为：，

故答案为：B.

【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比即可得出答案.

5．【答案】A

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：解：∵两个相似三角形的面积比为1：4，

∴它们的相似比为1：2.

故答案为：A.

【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．

6．【答案】C

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】∵，，

∴，

又∵，，

∴，

故答案为：C．

【分析】根据相似三角形的性质可得，再结合，，可求出。

7．【答案】B

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF的周长之比为4：9，

∴△ABC与△DEF的相似比为4：9，

故选：B．

【分析】根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．

8．【答案】D

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，

∴AC2＝AD·AB，CD2＝DA·DB，BC2＝BD·BA．

故答案为：D.

【分析】直接根据射影定理结论，即AC2＝AD·AB，CD2＝DA·DB，BC2＝BD·BA，对各选项进行判断即可.

9．【答案】

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：∵两个相似三角形的面积比为3：4，

∴它们对应高之比为：2.

故答案为：：2.

【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可得出答案.

10．【答案】4或

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：当△ADE∽△ABC时，可得，

即，

解得AD＝；

当△AED∽△ABC时，可得，

即，

解得AD＝4，

综上所述，AD的长为4或.

故答案为：4或.

【分析】分△ADE∽△ABC、△AED∽△ABC，然后根据相似三角形的对应边成比例进行计算即可.

11．【答案】（1）16-3t

（2）秒或4秒

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：（1）由题意可知：，

（2）连接PQ，

∵∠PAQ=∠BAC，

∴当时，，即，解得

当时，，即，解得t=4．

∴运动时间为秒或4秒．

故答案为：16-3t；秒或4秒

【分析】（1）根据题意直接列出代数式即可；

（2）分类讨论：①当时，，②当时，，再分别列出比例式求解即可。

12．【答案】16cm

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：∵△ABC∽△A′B′C′，且，即相似三角形的相似比为，

∵△ABC的周长为12cm

∴△A′B′C′的周长为12÷=16cm.

故答案为：16cm.

【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比进行计算.

13．【答案】54或37.5

【知识点】相似三角形的性质

【解析】【解答】解：当△AOC∽△BOD时，

∴

当△AOC∽△DOB时，

∴

综上得：OA=54或37.5

故答案为：54或37.5.

【分析】分△AOC∽△BOD、△AOC∽△DOB，然后根据相似三角形的对应边成比例进行求解.

14．【答案】解：∵△ABC∽△ADE，

∴AB：AD＝BC：DE，

∵AB＝15，BD＝3，BC＝12，

∴