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第八章重积分

第一节二重积分概念和性质第1页

设有一立体.其底面是xy

面上区域D,其侧面为母线平行于z轴柱面,其顶是曲面z=f(x,y)0,连续.称为曲顶柱体.若立体顶是平行于xy

面平面.则平顶柱体体积=底面积×高.0yzxz=f(x,y)D如图一、引例1.求曲顶柱体体积V.第2页步骤以下：（1）分割（化整为零）：先分割曲顶柱体底，把有界闭区域任意分割成n个小闭区域z=f(x,y)0yzxD第3页（2）近似代替：因为很小,z=f(x,y)连续,小曲顶柱体可近似看作小平顶柱体.

小平顶柱体高=f(

i,

i).若记

i=Di面积.则小平顶柱体体积=f(

i,

i)

i

小曲顶柱体体积f(

i,

i)

(

i,

i)z=f(x,y)第4页（4）取极限（无限趋近）：（3）求和（积零为整）：将n个小平顶柱体体积加起来，就得到整个曲顶柱体体积近似值域则曲顶柱体体积为第5页２．求平面薄片质量（1）分割（化整为零）：将薄片分割成n个小块，（2）近似代替：任取一小块，将其近似看作均匀薄片，则其质量近似为第6页（3）求和（积零为整）：则薄片总质量为将全部小块质量近似值相加，便得到整个平面薄片近似值（4）取极限（无限趋近）：第7页二、二重积分定义第8页积分区域积分和被积函数积分变量被积表示式面积元素第9页对二重积分定义说明：二重积分几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体体积负值．第10页在直角坐标系下用平行于坐标轴直线网来划分区域D，故二重积分可写为D则面积元素为第11页性质１当为常数时，性质２（二重积分与定积分有类似性质）三、二重积分性质第12页性质３对区域含有可加性性质４若为D面积，性质５若在D上特殊地则有第13页性质６性质７（二重积分中值定理）（二重积分估值不等式）第14页解第15页解第16页解第17页解第18页二重积分定义二重积分性质二重积分几何意义（曲顶柱体体积）（和式极限）四、小结第19页思索题将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们相同之处与不一样之处.第20页定积分与二重积分都表示某个和式极限值，且此值只与被积函数及积分区域相关．不一样是定积分积分区域为区

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