【解析】江西省上饶市2022-2023学年高一下册数学期末试卷

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一、单选题

1．（2023高一下·上饶期末）已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（）

A．1B．C．3D．

【答案】C

【知识点】共轭复数

【解析】【解答】解：因为与互为共轭复数，

可得，所以.

故答案为：C.

【分析】根据题意结合共轭复数的概念运算求解.

2．（2023高一下·上饶期末）已知角的始边在轴的非负半轴上，终边经过点，则（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】任意角三角函数的定义

【解析】【解答】解：由题意可得.

故答案为：D.

【分析】根据任意角的三角函数的对于直接运算求解即可.

3．（2023高二下·普宁期末）设l是直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】C

【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系

【解析】【解答】解：若，，则或与相交，A不符合题意；

若，，则或或与相交，相交也不一定垂直，B不符合题意；

若，，由直线与平面垂直的性质，可得，C符合题意；

若，，则或，D不符合题意．

故答案为：C．

【分析】由平行于同一直线的两平面的位置关系判定A；由平面与平面垂直、直线与平面平行的位置关系分析B；由直线与平面垂直的性质判断C；由平面与平面垂直、直线与平面垂直的关系分析D.

4．（2023高一下·上饶期末）已知，则（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用

【解析】【解答】解：因为，

则，可得，

所以．

故答案为：B.

【分析】根据题意利用同角三角函数的关系式运算求解．

5．（2023高一下·上饶期末）双塔公园，位于上饶市信州区信江北岸.“双塔”指五桂塔和奎文塔，始建于明清年间，是上饶市历史文化遗存的宝贵财富.某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量五桂塔的高度，为此，他们设计了测量方案.如图，五桂塔垂直于水平面，他们选取了与王桂塔底部在同一水平面上的，两点，测得米，在，两点观察塔顶点，仰角分别为和，，则五桂塔的高度是（）

A．10米B．17米C．25米D．34米

【答案】B

【知识点】余弦定理的应用；解三角形的实际应用

【解析】【解答】解：设米，

在中，因为，则，

在中，因为，则，

在中，由余弦定理可得：，

即，解得.

所以五桂塔的高度是17米.

故答案为：B.

【分析】设，进而可得，，在中，利用由余弦定理运算求解即可．

6．（2023高一下·上饶期末）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A．

B．

C．的图象关于点对称

D．的图象关于直线对称

【答案】A

【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质

【解析】【解答】解：对于B：由题意可得，可得，且，

解得，故B错误；

所以

又因为图象过点，可得，则，

解得，且，可得，

所以.

对于A：因为，故A正确；

对于C：因为，

所以点不是函数的对称中心，故C错误；

对于D：当时，不是最值，

所以直线不是函数的对称轴，故D错误.

故答案为：A.

【分析】根据题意，结合五点法求的值，可知，再根据正弦函数的性质逐项分析判断.

7．（2023高一下·上饶期末）如图，已知棱长为的正方体中，点在正方体的棱、、上运动，平面，垂足为，则点形成图形中的各线段长度之和是（）

A．2B．C．D．

【答案】C

【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质

【解析】【解答】解：由题意可知：是边长为2的等边三角形，

因为平面，平面，则，

又因为为正方形，则，

且，平面，所以平面，

且平面，则，

同理可得：，

且，平面，所以平面．

设平面，由对称性可知：H是的中心，

连接，

因为平面，点N形成图形是棱在平面内的射影线段构成的，

且在平面AB1D1上的射影分别为，

所以.

故答案为：C.

【分析】根据题意可证平面，结合题意可知点N形成图形是棱在平面内的射影线为，运算求解即可.

8．（2023高一下·上饶期末）已知函数在上单调，而函数有最大值1，则下列数值可作为取值的是（）

A．B．C．1D．2

【答案】D

【知识点】正弦函数的零点与最值；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质

【解析】【解答】解：因为，则，

若函数在上单调，则，

解得，则，

若函数有最大值1，可知

对于A：若，则，解得，无解，故A错误；

对于B：若，则，解得，无解，故B错误；

对于C：若，则，解得，无解，故C错误；

对于D：若，则，解得，，故D正确；

故答案为：D.

【分析】根据题意结合余弦函数可得，再根据正弦函数以及周期性可得，分别代入逐项分析判断.

二、多选题

9．（2023高一下·上饶期末）复数，是虚数单位，则以下结论正确的是（）

A．

B．

C．的虚部为2

D．在复平面内对应点位于第一象限

【答案】A,C,D

【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模

【解析】【解答】解：对于A：因为，故A正确；

对于B：因为虚数不能比较大小，故B错误；

对于C：因为z的虚部为2，故C正确；

对于D：因为z在复平面内对应点为(1，2)，位于第一象限，故D正确．

故答案为：ACD.

【分析】根据复数的相关概念逐项分析判断.

10．（2023高一下·上饶期末）如图，点P在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论一定正确的有（）

A．∥B．∥面

C．∥面D．三棱锥的体积不变

【答案】B,C,D

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论；平行公理；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质

【解析】【解答】解：对于A：因为，且，则为平行四边形，，

所以当且仅当P为的中点时，，故A错误；

对于B：因为平面平面，平面，所以∥平面，故B正确；

对于C：因为，，且平面，平面，所以平面，

又因为，平面即平面，所以平面，故C正确；

对于D：因为，，且平面，平面，所以平面，

则点P到平面为常数，

且三角形的面积为常数，所以三棱锥的体积为定值，即三棱锥的体积不变，故D正确，

故答案为：BCD.

【分析】对于A：根据平面的性质分析判断；对于B：根据面面平行的性质分析判断；对于C：根据线面平行的判定定理分析证明；对于D：可知平面，根据平行的性质结合锥体的体积分析判断.

11．（2023高一下·上饶期末）已知函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，函数为偶函数，则的值可以是（）

A．B．C．D．

【答案】C,D

【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质

【解析】【解答】解：由题意可知：，

因为函数为偶函数，则，解得

对于A：令，解得，不合题意，故A错误；

对于B：令，解得，不合题意，故B错误；

对于C：令，解得，故C正确；

对于D：令，解得，故D正确；

故答案为：CD.

【分析】根据三角函数平移变换结合正弦函数性质可得，代入选项逐一检验即可.

12．（2023高一下·上饶期末）在平面直角坐标系中，已知，，则下列结论正确的是（）

A．的取值范围是

B．当时，在方向上的投影数量的取值范围是

C．的最大值是

D．若，且，则最大值为2

【答案】A,C,D

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量加法运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；正弦函数的定义域和值域；余弦函数的定义域和值域

【解析】【解答】解：对于A：因为，且，则，

所以的取值范围是，故A正确；

对于B：由题意可得：，其中，

且，可得，则在方向上的投影数量为，

当时，则；当时，则；

综上所述：在方向上的投影数量的取值范围是，故B错误；

对于C：因为，

则，当且仅当，，反向时，等号成立，

所以的最大值是，故C正确；

对于D：因为，则，

当且仅当同向共线，且时，等号成立，故D正确.

故答案为：ACD.

【分析】对于A：根据向量模长的坐标运算结合三角函数的性质分析判断；对于B：根据向量的投影数量公式结合三角函数分析判断；对于C、D：根据向量模长的三角不等式以及基本不等式分析判断

三、填空题

13．（2023高一下·上饶期末）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为.

【答案】

【知识点】斜二测画法直观图

【解析】【解答】解：由直观图可得原图，

由斜二测画法可知：OABC是直角梯形，且高为.

故答案为：.

【分析】由直观图还原原图，运算求解即可.

14．（2023高一下·上饶期末）已知，，则.

【答案】

【知识点】三角函数的化简求值；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用

【解析】【解答】解：因为，则，可得，

则，

所以.

故答案为：.

【分析】根据题意以为整体，可知，结合三角恒等变换运算求解.

15．（2023高一下·上饶期末）如图，长方体中，，则四面体的外接球的体积为.

【答案】

【知识点】组合几何体的面积、体积问题；棱柱的结构特征；球的体积和表面积

【解析】【解答】解：由题意可知：，

因为四面体的外接球即为长方体的外接球，其半径为，

所以四面体的外接球的体积为.

故答案为：.

【分析】由题意可知：四面体的外接球即为长方体的外接球，结合长方体的性质求外接球的半径，进而可得结果.

16．（2023高一下·上饶期末）已知是边长为2的等边三角形.如图，将的顶点与原点重合，在轴上，然后将三角形沿着轴正方向滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个点之间的距离称为“一个周期”，则完成“一个周期”时，顶点的路径长度为.

【答案】

【知识点】扇形的弧长与面积

【解析】【解答】解：由题意可知：“一个周期”的轨迹为：点A先以2为半径绕点B顺时针旋转弧度，再以2为半径绕点顺时针旋转弧度，

如图所示，其轨迹图如图所示，所以路径长度为.

故答案为：.

【分析】根据题意作出相应的轨迹图，结合弧长公式运算求解可得.

四、解答题

17．（2023高一下·上饶期末）已知，，.

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的值.

【答案】（1）解：由已知得，，

∵，∴，

∴.

（2）解：由已知得，，，

∵，∴，

∴.

【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示

【解析】【分析】(1)根据题意结合向量的坐标运算结合向量的平行的坐标运算求解；

(2)根据题意结合向量的坐标运算结合向量的垂直的坐标运算求解.

18．（2023高一下·上饶期末）设的内角，，所对的边分别为，，，已知.

（1）求角；

（2）已知，，点是边上的点，求线段的最小值.

【答案】（1）解：由得，，

∵，∴，

∴，

又由正弦定理，得，

即，

∴，

∵，∴，即，

∵，∴，∴，

∵，∴.

（2）解：由已知及余弦定理可得，，.

∵边为最大边，∴角为最大角，

而，∴角为锐角，为锐角三角形，

∴最小时为边上的高，

∵，

∴，∴，

∴的最小值为.

【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算

【解析】【分析】(1)根据题意利用正弦定理结合三角恒等变换运算求解；

(2)利用余弦定理求得，分析可知最小时为边上的高，结合面积公式运算求解.

19．（2023高一下·上饶期末）如图，正四棱台中，，，.

（1）证明：平面；

（2）若，求异面直线与所成的角的余弦值.

【答案】（1）解：∵正四棱台中，，，

∴，又∵，

∴，∴四边形为平行四边形，

∴，又∵平面，平面，

∴平面，

∵，平面，平面，∴平面，

又∵，平面，平面，

∴平面平面，

∵平面，∴平面.

（2）解：在等腰梯形中作交于点，

由（1）知，，∴，

∴就是异面直线与所成的角，

∵，，

∴中，，，

∴，

∴异面直线与所成的角的余弦值为.

【知识点】异面直线及其所成的角；平面与平面平行的判定；平面与平面平行的性质；余弦定理

【解析】【分析】(1)根据面面平行的判定定理可得平面平面，结合面面平行的性质可得平面.

(2)根据题意可知就是异面直线与所成的角，结合余弦定理运算求解.

20．（2023高一下·上饶期末）如图四棱锥中，平面，为平行四边形，且，，，是棱上的一点，．

（1）证明：平面；

（2）求三棱锥的体积．

【答案】（1）解：连接交于点，取中点，连接，

平面，平面，，

∵四边形是菱形，，又，

、平面，平面，

，，，，，

且为中点，为中点，，

、平面，，平面；

（2）解：．

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质

【解析】【分析】(1)先证平面，可得，再根据三线合一可得，进而可得结果；

(2)根据题意利用锥体的体积公式结合转换顶点法运算求解.

21．（2023高一下·上饶期末）筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1）.如图2，现有一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟匀速旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米，若以盛水筒刚浮出水面在点处时为初始时刻，设经过秒后盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数）.筒车上均匀分布着12个盛水筒，假设盛水筒在最高处时把水倾倒到水槽上.

（1）求函数的表达式；

（2）求第一筒水倾倒的时刻和相邻两个盛水筒倾倒的时间差；

（3）若某一稻田灌溉需水量为100立方米，一个盛水筒倾倒到水槽的水约为0.01立方米，求需要多少小时才能完成该稻田的浇灌.（精确到0.1小时）

【答案】（1）解：由已知可得，

∵盛水筒运动的角速度，

∴秒后盛水筒转过的角度为，

此时可得以为终边的角

∴

（2）解：当第一筒水到达最高位置时，是第一次取得最大值，此时，得（秒），

相邻两个盛水筒倾倒的时间差为（秒），

（3）解：完成该稻田的浇灌需倾倒筒水，

所需时间为秒，约为13.9小时.

所以第一筒水倾倒的时刻为20秒，相邻两个盛水筒倾倒的时间差为5秒，约13.9小时可完成该稻田的浇灌.

【知识点】三角函数模型的简单应用；任意角三角函数的定义；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质

【解析】【分析】(1)根据题意结合任意角三角函数的定义分析求解；

(2)结合三角函数的周期运算求解；

(3)根据题意运算求解即可.

22．（2023高一下·上饶期末）已知函数.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值；

（3）若函数在内恰有2023个零点，求与的值.

【答案】（1）解：

令，

得

∴函数的单调递增区间为

（2）解：

令，

则

可得，当即时，；

当即时，

∵存在，对任意，有恒成立，

∴为的最小值，为的最大值，

∴，，

∴，

∴.

（3）解：令，

方程可化为，

令，则，

当时，，，此时函数在上有个零点，

∴，适合题意；

当时，在内有一解，

在或内有一取值，则此时函数在上有个零点，不适合题意；

当时，，此时函数在上有个零点，

∴，适合题意；

当时，或，或，则此时函数在上有个零点，不适合题意；

当时，在和内各有一解，在和内各有一取值，

则此时函数在上有个零点，不适合题意；

当时，，，则此时函数在上有个零点，不适合题意.

综上所述，，，或，.

【知识点】函数的概念及其构成要素；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；函数与方程的综合运用；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质；辅助角公式

【解析】【分析】(1)利用三角恒等变换整理可得，结合正弦函数的单调性运算求解；

(2)整理可得，令，结合而阐述运算求解；

(3)整理可得，令，可得，结合对勾函数以及正弦函数性质运算求解.

1/1江西省上饶市2022-2023学年高一下册数学期末试卷

一、单选题

1．（2023高一下·上饶期末）已知，是虚数单位，若与互为共轭复数，则（）

A．1B．C．3D．

2．（2023高一下·上饶期末）已知角的始边在轴的非负半轴上，终边经过点，则（）

A．B．C．D．

3．（2023高二下·普宁期末）设l是直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

4．（2023高一下·上饶期末）已知，则（）

A．B．C．D．

5．（2023高一下·上饶期末）双塔公园，位于上饶市信州区信江北岸.“双塔”指五桂塔和奎文塔，始建于明清年间，是上饶市历史文化遗存的宝贵财富.某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量五桂塔的高度，为此，他们设计了测量方案.如图，五桂塔垂直于水平面，他们选取了与王桂塔底部在同一水平面上的，两点，测得米，在，两点观察塔顶点，仰角分别为和，，则五桂塔的高度是（）

A．10米B．17米C．25米D．34米

6．（2023高一下·上饶期末）函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A．

B．

C．的图象关于点对称

D．的图象关于直线对称

7．（2023高一下·上饶期末）如图，已知棱长为的正方体中，点在正方体的棱、、上运动，平面，垂足为，则点形成图形中的各线段长度之和是（）

A．2B．C．D．

8．（2023高一下·上饶期末）已知函数在上单调，而函数有最大值1，则下列数值可作为取值的是（）

A．B．C．1D．2

二、多选题

9．（2023高一下·上饶期末）复数，是虚数单位，则以下结论正确的是（）

A．

B．

C．的虚部为2

D．在复平面内对应点位于第一象限

10．（2023高一下·上饶期末）如图，点P在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论一定正确的有（）

A．∥B．∥面

C．∥面D．三棱锥的体积不变

11．（2023高一下·上饶期末）已知函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，函数为偶函数，则的值可以是（）

A．B．C．D．

12．（2023高一下·上饶期末）在平面直角坐标系中，已知，，则下列结论正确的是（）

A．的取值范围是

B．当时，在方向上的投影数量的取值范围是

C．的最大值是

D．若，且，则最大值为2

三、填空题

13．（2023高一下·上饶期末）如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形，且，，，则该平面图形的高为.

14．（2023高一下·上饶期末）已知，，则.

15．（2023高一下·上饶期末）如图，长方体中，，则四面体的外接球的体积为.

16．（2023高一下·上饶期末）已知是边长为2的等边三角形.如图，将的顶点与原点重合，在轴上，然后将三角形沿着轴正方向滚动，每当顶点再次回落到轴上时，将相邻两个点之间的距离称为“一个周期”，则完成“一个周期”时，顶点的路径长度为.

四、解答题

17．（2023高一下·上饶期末）已知，，.

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的值.

18．（2023高一下·上饶期末）设的内角，，所对的边分别为，，，已知.

（1）求角；

（2）已知，，点是边上的点，求线段的最小值.

19．（2023高一下·上饶期末）如图，正四棱台中，，，.

（1）证明：平面；

（2）若，求异面直线与所成的角的余弦值.

20．（2023高一下·上饶期末）如图四棱锥中，平面，为平行四边形，且，，，是棱上的一点，．

（1）证明：平面；

（2）求三棱锥的体积．

21．（2023高一下·上饶期末）筒车是我国古代发明的一种灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用（图1）.如图2，现有一个半径为4米的筒车按逆时针方向每分钟匀速旋转1圈，筒车的轴心距离水面的高度为2米，若以盛水筒刚浮出水面在点处时为初始时刻，设经过秒后盛水筒到水面的距离为（单位：米）（在水面下则为负数）.筒车上均匀分布着12个盛水筒，假设盛水筒在最高处时把水倾倒到水槽上.

（1）求函数的表达式；

（2）求第一筒水倾倒的时刻和相邻两个盛水筒倾倒的时间差；

（3）若某一稻田灌溉需水量为100立方米，一个盛水筒倾倒到水槽的水约为0.01立方米，求需要多少小时才能完成该稻田的浇灌.（精确到0.1小时）

22．（2023高一下·上饶期末）已知函数.

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值；

（3）若函数在内恰有2023个零点，求与的值.

答案解析部分

1．【答案】C

【知识点】共轭复数

【解析】【解答】解：因为与互为共轭复数，

可得，所以.

故答案为：C.

【分析】根据题意结合共轭复数的概念运算求解.

2．【答案】D

【知识点】任意角三角函数的定义

【解析】【解答】解：由题意可得.

故答案为：D.

【分析】根据任意角的三角函数的对于直接运算求解即可.

3．【答案】C

【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系

【解析】【解答】解：若，，则或与相交，A不符合题意；

若，，则或或与相交，相交也不一定垂直，B不符合题意；

若，，由直线与平面垂直的性质，可得，C符合题意；

若，，则或，D不符合题意．

故答案为：C．

【分析】由平行于同一直线的两平面的位置关系判定A；由平面与平面垂直、直线与平面平行的位置关系分析B；由直线与平面垂直的性质判断C；由平面与平面垂直、直线与平面垂直的关系分析D.

4．【答案】B

【知识点】同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用

【解析】【解答】解：因为，

则，可得，

所以．

故答案为：B.

【分析】根据题意利用同角三角函数的关系式运算求解．

5．【答案】B

【知识点】余弦定理的应用；解三角形的实际应用

【解析】【解答】解：设米，

在中，因为，则，

在中，因为，则，

在中，由余弦定理可得：，

即，解得.

所以五桂塔的高度是17米.

故答案为：B.

【分析】设，进而可得，，在中，利用由余弦定理运算求解即可．

6．【答案】A

【知识点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质

【解析】【解答】解：对于B：由题意可得，可得，且，

解得，故B错误；

所以

又因为图象过点，可得，则，

解得，且，可得，

所以.

对于A：因为，故A正确；

对于C：因为，

所以点不是函数的对称中心，故C错误；

对于D：当时，不是最值，

所以直线不是函数的对称轴，故D错误.

故答案为：A.

【分析】根据题意，结合五点法求的值，可知，再根据正弦函数的性质逐项分析判断.

7．【答案】C

【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质

【解析】【解答】解：由题意可知：是边长为2的等边三角形，

因为平面，平面，则，

又因为为正方形，则，

且，平面，所以平面，

且平面，则，

同理可得：，

且，平面，所以平面．

设平面，由对称性可知：H是的中心，

连接，

因为平面，点N形成图形是棱在平面内的射影线段构成的，

且在平面AB1D1上的射影分别为，

所以.

故答案为：C.

【分析】根据题意可证平面，结合题意可知点N形成图形是棱在平面内的射影线为，运算求解即可.

8．【答案】D

【知识点】正弦函数的零点与最值；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质

【解析】【解答】解：因为，则，

若函数在上单调，则，

解得，则，

若函数有最大值1，可知

对于A：若，则，解得，无解，故A错误；

对于B：若，则，解得，无解，故B错误；

对于C：若，则，解得，无解，故C错误；

对于D：若，则，解得，，故D正确；

故答案为：D.

【分析】根据题意结合余弦函数可得，再根据正弦函数以及周期性可得，分别代入逐项分析判断.

9．【答案】A,C,D

【知识点】复数的基本概念；复数在复平面中的表示；复数的模

【解析】【解答】解：对于A：因为，故A正确；

对于B：因为虚数不能比较大小，故B错误；

对于C：因为z的虚部为2，故C正确；

对于D：因为z在复平面内对应点为(1，2)，位于第一象限，故D正确．

故答案为：ACD.

【分析】根据复数的相关概念逐项分析判断.

10．【答案】B,C,D

【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；平面的基本性质及推论；平行公理；直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质

【解析】【解答】解：对于A：因为，且，则为平行四边形，，

所以当且仅当P为的中点时，，故A错误；

对于B：因为平面平面，平面，所以∥平面，故B正确；

对于C：因为，，且平面，平面，所以平面，

又因为，平面即平面，所以平面，故C正确；

对于D：因为，，且平面，平面，所以平面，

则点P到平面为常数，

且三角形的面积为常数，所以三棱锥的体积为定值，即三棱锥的体积不变，故D正确，

故答案为：BCD.

【分析】对于A：根据平面的性质分析判断；对于B：根据面面平行的性质分析判断；对于C：根据线面平行的判定定理分析证明；对于D：可知平面，根据平行的性质结合锥体的体积分析判断.

11．【答案】C,D

【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质

【解析】【解答】解：由题意可知：，

因为函数为偶函数，则，解得

对于A：令，解得，不合题意，故A错误；

对于B：令，解得，不合题意，故B错误；

对于C：令，解得，故C正确；

对于D：令，解得，故D正确；

故答案为：CD.

【分析】根据三角函数平移变换结合正弦函数性质可得，代入选项逐一检验即可.

12．【答案】A,C,D

【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；平面向量加法运算；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量数量积的坐标表示；正弦函数的定义域和值域；余弦函数的定义域和值域

【解析】【解答】解：对于A：因为，且，则，

所以的取值范围是，故A正确；

对于B：由题意可得：，其中，

且，可得，则在方向上的投影数量为，

当时，则；当时，则；

综上所述：在方向上的投影数量的取值范围是，故B错误；

对于C：因为，

则，当且仅当，，反向时，等号成立，

所以的最大值是，故C正确；

对于D：因为，则，

当且仅当同向共线，且时，等号成立，故D正确.

故答案为：ACD.

【分析】对于A：根据向量模长的坐标运算结合三角函数的性质分析判断；对于B：根据向量的投影数量公式结合三角函数分析判断；对于C、D：根据向量模长的三角不等式以及基本不等式分析判断

13．【答案】

【知识点】斜二测画法直观图

【解析】【解答】解：由直观图可得原图，

由斜二测画法可知：OABC是直角梯形，且高为.

故答案为：.

【分析】由直观图还原原图，运算求解即可.

14．【答案】

【知识点】三角函数的化简求值；两角和与差的正弦公式；二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数基本关系的运用

【解析】【解答】解：因为，则，可得，

则，

所以.

故答案为：.

【分析】根据题意以为整体，可知，结合三角恒等变换运算求解.

15．【答案】

【知识点】组合几何体的面积、体积问题；棱柱的结构特征；球的体积和表面积

【解析】【解答】解：由题意可知：，

因为四面体的外接球即为长方体的外接球，其半径为，

所以四面体的外接球的体积为.

故答案为：.

【分析】由题意可知：四面体的外接球即为长方体的外接球，结合长方体的性质求外接球的半径，进而可得结果.

16．【答案】

【知识点】扇形的弧长与面积

【解析】【解答】解：由题意可知：“一个周期”的轨迹为：点A先以2为半径绕点B顺时针旋转弧度，再以2为半径绕点顺时针旋转弧度，

如图所示，其轨迹图如图所示，所以路径长度为.

故答案为：.

【分析】根据题意作出相应的轨迹图，结合弧长公式运算求解可得.

17．【答案】（1）解：由已知得，，

∵，∴，

∴.

（2）解：由已知得，，，

∵，∴，

∴.

【知识点】平面向量的坐标运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示

【解析】【分析】(1)根据题意结合向量的坐标运算结合向量的平行的坐标运算求解；

(2)根据题意结合向量的坐标运算结合向量的垂直的坐标运算求解.

18．【答案】（1）解：由得，，

∵，∴，

∴，

又由正弦定理，得，

即，

∴，

∵，∴，即，

∵，∴，∴，

∵，∴.

（2）解：由已知及余弦定理可得，，.

∵边为最大边，∴角为最大角，

而，∴角为锐角，为锐角三角形，

∴最小时为边上的高，

∵，

∴，∴，

∴的最小值为.

【知识点】两角和与差的正弦公式；正弦定理；余弦定理；三角形中的几何计算

【解析】【分析】(1)根据题意利用正弦定理结合三角恒等变