百校联盟2020届高三5月教育教学质量监测考试(全国Ⅰ卷)理科数学(解析版)

知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根年高考数学模拟试卷（理科）（月份）（全国Ⅰ卷）52020一、选择题（共小题）12.．已知全集＝，＝（）（﹣）＞，＝≤，则（∁）∩＝（）ABU1URA{x|x+1x20}B{x|22}x．﹣＜＜．≤≤A{x|1x1}B{|0．﹣≤≤．≤﹣C{|11}D{|xxxx1}xx1}．已知为虚数单位，复数i在复平面内所对应点（，），则（）xy2．＝﹣Ay2x+1．＝﹣．＝﹣212+5yx．＝﹣D31yxBCyx．已知向量（﹣，），（，），2m•（）．则实数的值为（）34122m．﹣A1B．C．D．1．已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数．它指的是，在自然况下（没有RO外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是＝确诊病例增长率×系列间隔，其中系列RO1+链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确病例的平均增长率为，两例连续病例的间的平均数5天，根以上RO据计算，若间隔是指在一个传播间隔时40%甲得这种使染病，则轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（）5A．81B．243C．248D．3635．已知，，则（）．＜＜．＜＜AcbaabcB．＜＜．＜＜cabCDacb6．年201910月07，日中国传统节日重阳节到来之际，某六十岁以上居民占村中居民的百分比数据，得到如图所示茎叶图，若将所得数据整理为频率分布直方图，数据被分成组，则茎叶图的中位数位于（）县民政部门随机抽取30个乡村，统计71/31知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根．第组．第组A3B4．第组．第组C5D67．已知函数图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍后，得到的函数在，π上恰有个不同的值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是（）[02]5xA．B．C．D．．已知为等腰直角三角形的直角顶点，以为旋转轴旋转一周得到几何体，OP8OPODCD是底面圆上的弦，△COD为等边三角形，则异面直线OC与PD所成角的余弦值为O（）A．B．C．D．9．已知椭圆C：分别为，，抛物线的左，右焦点FF的112准线l过点，设P是直线l与椭圆的交点，是线段PF2与抛物线C的一个交点，FCQ112则＝（）|QF|2A．B．C．D．．已知实数，，满足10ab，当取最大值时，tanθ＝（）A．B．1C．D．211．设双曲线分别为、，过F的直线l分的左，右焦点FF121与双曲线左右两支交于M，N两点，以为直径的圆过F，且•，MN2以下结论正确的个数是（）2/31知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根①双曲线C的离心率为；②双曲线C的渐近线方程；③直线l的斜率为1．D．3A．0B．1C．212．已知定义在R上的奇函数f（x）＝﹣eae﹣xx+2sinx满足，则z＝x﹣lny的最小值是（）A．﹣ln6B．﹣2C．ln6D．2二．填空题：本大共4小题，每小题5分13．2020年1月，某公同通过问卷的形式调查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励，激励措施、工作环境，人际关系、晋升渠道．在确定各项指标权重结果后，进得而得到指标重要性分所象限图（如图）．若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析，则这两项来自影响稍弱区概的率为．14．已知函数关于x＝1对称，则f（2x﹣2）≥f（0）的解集为．15．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c周长为5，bcosC＝（2a﹣c）cosB，则∠B＝．，若b＝2，则△ABC的面积为16．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以好多器都做成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为6cm，高为18cm（底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为cm的圆铁棒l（粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对l的侧棱上．一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在3/31知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为cm2．三、解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤．17．如图已知Rt△、⊥，，分別为，的中点PD＝2DC＝2，将△PDPCPCDPDCDABPAB沿AB折起，得到四棱锥P'﹣ABCD，为EP'D的中点．（1）证明：'⊥平面；ABEPD（2）当正视图方向与向量的方向相同时，'﹣PABCD的正视图为直角三角形，求此时二面角A﹣BE﹣C的余弦值．18．已知等差数列{a}的前n项和，∈N*，＝6，＝27，数列{b}的前n项和T，SnaS65nnnn．（1）判断{b+1}是等比数列，并求b；nn（2）求数列{•}的前n项和．abnn19．2020年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现有采购成本分别为11万元/辆和8万元/辆的，两款车型，根据以往这两种出租车车AB型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数A型出租车（辆）B型出租车（辆）5年106年207年8年25总计45100100153540104/31知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根（1）填写如表，并判断是否有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？使用寿命不高于6年使用寿命不低于7年总计A型B型总计（2）以频率估计概率，从2020年生产的A和B的车型中各随机抽1车，以X表示这2年中使用寿命不低于7年的车数，求X的分布列和数学期望；（3）根据公司要求，采购成本由出租公司负责，平均每辆出租每年上交公司6万元，其余维修和保险等费用自理，假设每辆出租车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆出租车使用寿命的概率，分别以这100辆出租车所产生的平均利润作为决策依据，如果你是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？参考公式：参考数据：，其中n＝a+b+c+d．（≥）PKk20.0503.8410.0106.6350.001k10.82820．已知函数f（x）＝﹣（elnx+m），且＝是（）的极值点．x0fxx（1）求f（x）的最小值；（2）是否存在实数，使得关于x的不等式＜（）在（0，+∞）上恒成立？若bebx+fxx存在，求出b的取值范围；若不存在，说明理由．21．已知直线与椭圆C：ax2+by1＝交于不同的两点A，B，线段25/31知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根的中点为，且直线与直线的斜率之积为，若直线＝与直线交于点，xtABDlODlP与直线交于点，且为直线上一点．MODM（）求点的轨迹方程；1P（）若为概圆的上顶点，直线与轴交点，记表示面积，求的G2ClyS最大．请考生从第、题中任选一题作答，并用铅笔将答题卡上所选题目对应的方框涂黑，22232B按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分，选修一；坐标系与参数方程[44]．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程C（为参数），以k22xOy1坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为Cx2．（）求曲线的普通方程；C11（）过曲线上一点作直线与曲线交于，两点，中点为，l，2CPCABD21求的最小值．|PD|选修：不等式选讲[4-5]．已知函数（）（）．x+123fx2（）求（）（）﹣的最小值；M1fx+|fx9|（）若正实数，，满足了（）（）（）＝，求证：≤a+b+c6．2abcfa+fb+fcM6/31知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根参考答案一、选择题：本大题共小题，每小题分，在每小题给出的四个项中，只有一项是符合125题目要求的．．已知全集＝，＝（）（﹣）＞，＝≤，则（∁）∩B＝（）AU1URA{x|x+1x20}B{x|22}xA．﹣{x|1＜x＜1}．≤≤．﹣≤≤．≤﹣B{|0C{|11}D{|xxxxxx1}1}【分析】先解出关于集合，的不等式，求出的补集，从而求出其补集与的交集．ABAB解：因为∁＝（）（﹣）≤＝﹣≤≤，A{x|x+1x20}{x|1x2}U＝≤＝≤，B{x|22}{x|x1}x∴（∁）∩B＝﹣≤≤{x|1x1}；AU故选：．C【点评】本题主要考查集合的基本运算，根据条件求出集合，是解决本题的关键．AB2．已知i为虚数单位，复数在复平面内所对应点（，），则（）xy．＝﹣Ay2x+1．＝﹣yx．＝﹣y．＝﹣D31yxB21C2+5x【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求出复数的实部与虚部，消参数得答案．解：∵，∴，得y＝﹣．2x+1故选：．A7/31知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．已知向量（﹣2，m），（1，2），•（2）．则实数m的值为（）A．﹣1B．．CD．1【分析】先根据平面向量的线性坐标运算法则表示出2，再根据数量积的坐标运算法则表示出•（2），从而得到关于m的方程，解之即可．解：∵（﹣2，m），（1，2），∴，∴•（2，即，解得，）＝6+m（2m+2）故选：B．【点评】本题考查平面向量的坐标运算，熟练掌握平面向量的运算法则是解题的关键，考查学生的运算能力，属于基础题．4．已知衡量病毒传播能力的最重要指标叫做传播指数RO．它指的是，在自然况下（没有外力介入，同时所有人都没有免疫力），一个感染到某种传染病的人，会把疾病传染给多少人的平均数．它的简单计算公式是RO＝1+确诊病例增长率×系列间隔，其中系列间隔是指在一个传播链中，两例连续病例的间隔时间（单位：天）．根据统计，确病例的平均增长率为40%，两例连续病例的间隔时间的平均数5天，根以上RO据计算，若甲得这种使染病，则5轮传播后由甲引起的得病的总人数约为（）A．81B．243C．248D．363【分析】根据题意求出RO的值，再计算得病总人数．解：由题意知，RO＝1+40%×5＝3，所以得病总人数为：8/31知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根3+32+33+34+35363（人）．故选：．D【点评】本题考查了等比数列的前n项和的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．5．已知，，则（）A．c＜b＜aB．a＜b＜cC．c＜a＜bD．a＜c＜b【分析】先结合对数的换底公式对已知对数式进行化简，然后结合对数函数的单调性即可比较大小．解：b，c，log2因为，所以，所以a＜b＜c故选：．B【点评】本题主要考查了对数函数的单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础试题．6．年201910月07日，中国传统节日重阳节到来之际，某县民政部门随机抽取30个乡村，统计六十岁以上居民占村中居民的百分比数据，得到如图所示茎叶图，若将所得数据整理为频率分布直图方，数据被分成7组，则茎叶图的中位数位于（）A．第3组B．第4组C．第5组9/31D．第6组知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根【分析】求出数据的极差，分成7组，可求组距为0.9，第5组的范围是[12.4，13.3]，即可求得中位数为12.5应位于第5组内．解：数据的极差为15.1﹣8.8＝6.3，分成7组，组距为0.9，第5组的范围是[12.4，13.3]，中位数为12.5应位于第5组内．故选：．C【点评】本题考查茎叶图的应用，考查了数形结合思想，属于基础题．7．已知函数在[0，2π]上恰有图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍后，得到的函数5个不同的值，使其取到最值，则正实数ω的取值范围是（）xA．B．C．D．【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，可得2ωπ∈[，），由此可得结果．解：∵函数图象的纵坐标不变、横坐标变为原来的倍后，得到的函数为y＝sin（ωx）在[0，2π]上恰有5个不同的值，使其取到最值；xωx∈[，2ωπ]，∴2ωπ∈[，），则正实数ω∈[，），故选：．A【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题．8．已知为等腰直角三角形的直角顶点，以为旋转轴旋转一周得到几何体，PODOPCDO是底面圆O上的弦，△COD为等边三角形，则异面直线OC与PD所成角的余弦值为（）10/31知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根A．B．C．D．【分析】设＝，过点作的平行线交与于行的半径于点，则＝＝CDOPrDOCEOEOC＝＝，＝，∠PDE（或其补角）为其异面直线与所成角，由CDODrPCPDOCPD此能求出异面直线与所成角的余弦值．OCPD解：设＝，过点作的平行线交与于行的半径于点，CDOPrDOCE则＝＝＝＝，＝，OEOCCDODrPCPD∴∠PDE（或其补角）为其异面直线与OCPD所成角，在△PDE中，＝，＝，PEPODEr∴cos∠PDE．故选：B．【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．已知椭圆C：1的左，右焦点分别为，，FF抛物线的12准线过点，设是直线与椭圆C的交点，Q是线段PF2与抛物线的C一个交点，lFPl112则＝（）|QF|2A．B．C．D．【分析】由椭圆方程求得焦点坐标，可得抛物线方程，作出图形，利用抛物线定义及三11/31知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根角形相似列式求解的值．|QF|2解：由题意，（﹣，），则抛物线方程为＝．y8xF2021计算可得|PF|1，＝|PF|2a2．过作⊥直线与，由抛物线的定义知，＝．|QF2||QM|QQMlM∵，∴，解得：＝（﹣）．|MQ|1232∴|QF2|＝＝（﹣）．|MQ|1232故选：．A【点评】本题考查抛物线与椭圆综合，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．10．已知实数a，，b满足，当取最大值时，θ＝（）tanA．B．1C．D．2【分析】根据辅助角公式可得sin（θ+φ）2，进而可求得答案解：由得＝，a+4b82212/31知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根利用辅助角公式可得：sin（θ+φ）2，其中tanφ，所以最大值为，当且仅当＝＝时成立，2a2b2所以2sin（θ），则θ2kπ，k∈Z，则tanθ＝，1故选：．B【点评】本题考查三角函数的恒等变形，关键是用三角函数表示、．ab11．设双曲线的左，右焦点分别为、，过的直线分FFFl121与双曲线左右两支交于，两点，以为直径的圆过，且•，MNMNF2以下结论正确的个数是（）①双曲线的离心率为；②双曲线的渐近线方程；③直线的斜率为．lCC1A．0B．1C．2D．3【分析】由题意可得⊥，且＝，设＝＝，则m，MFNF|MF||NF||MF||NF|m|MN|222222运用双曲线的定义和直角三角形的性质和勾股定理，结合双曲线的离心率公式和渐近线方程，直角三角形的锐角三角函数的定义，即可判断正确结论．解：由为直径的圆过，且•，MNF2可得⊥，且＝，设＝＝，则m，|MF||NF||MF||NF|m|MN|2222MFNF22由﹣2＝，﹣2＝，两式相减可得﹣＝＝，即有m|MF||MF|2a|NF||NF|2a1|NF||MF||MN|4a111＝，2a13/31知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根设为的中点，在直角三角形中，HMNHFF12可得＝（﹣），化为＝，，故4c4a+2a+2a2a①正确；c3ae22222又，可得，故②正确；因为＝，所以|HF|，|HF||MN|2a221所以直线的斜率为l，故③错误．故选：．C【点评】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查向量的数量积的定义和性质，同时考查直角三角形的勾股定理，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．12．已知定义在R上的奇函数f（）＝﹣x满足eae+2sinx，则zx﹣x＝﹣的最小值是（）xlny．﹣Aln6．﹣B2．C6lnD．2【分析】由已知可求a，然后对函数求导，结合导数可判断函数的单调性，进而可得关于x，的y不等式组，结合线性规划知识即可求解．解：由题意f（）＝﹣＝可得＝，01a0a114/31知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根所以（）＝﹣+2sinx，2+2cosx≥0，fxeex﹣x故（）在R上单调递增，则fx，作出可行域如图所示，其中（0，），（0，3），（，），ABC设＝，则由图象可知，设＝yx+3与＝相切于点（，），yeyeDxy00x﹣zx﹣z由′＝，令1可得＝，xz0，yex﹣z故＝yx+3与＝相切于点（﹣ye2，1）时，z取得最小值z＝﹣2．Dx﹣zmin故选：B．【点评】本题综合考查了导数与单调性的关系的应用及利用线性规划知识求解目标函数的最值，体现了转化思想及数形结合思想的应用．二．填空题：本大共4小题，每小题5分13．2020年1月，某公同通过问卷的形式调人际关系、晋升渠道．在确定各项指标权重结果后，进得而得到指标重要性分所象限图（如图）．若客户服务中心从中任意抽取不同的两项进行分析，则这两项来自影响稍弱区的概率为．查影响员工积极性的六项关健指标：绩效奖励，激励措施、工作环境，15/31知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根【分析】由图知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项，由此能求出这两项来自影响稍弱区的概率．解：由图知，来自影响稍弱区的指标有激励措施、工作环境、人际关系等三项，则这两项来自影响稍弱区的概率是：．P故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．14．已知函数关于＝1对称，则（2﹣2）≥（0）的解集为[1，2]．xfxf【分析】先求出的值，可得函数的解析式，再根据图象的对称性以及（a2﹣2）≥fxf（0），求出的范围．x解：∵函数关于＝1对称，x∴a＝1，（）fx∈（0，1]，则由（2﹣2）≥（0），fxf结合图象可得0≤2x﹣2≤2，求得1≤≤2，x16/31知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根故答案为：，．[12]【点评】本题主要考查指数不等式的性质，函数图象的对称性，属于中档题．．已知△的内角，，的对边分别为，，周长为，＝（﹣），ABCABCabc5bcosC2accosB15则∠B＝，若b＝，则△的2面积为．ABC【分析】由正弦定理，两角和的正弦函数公式，结合sinA≠0，可得cosB，结合范围B∈（，π），可求B，进而根据余弦定理可求ac的值，根据三角形的面积公式0即可求解．解：∵bcosC＝（﹣），2accosB∴由正弦定理可得：＝（﹣），可得sinBcosC+cosBsinC＝sinBcosC2sinAsinCcosB2sinAcosB，∴sin（）＝B+C2sinAcosB，∵sin（）＝（B+Cπ﹣）＝，且sinA≠0，sinAsinA∴可得cosB，∵B∈（，π），0∴B，17/31知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根又∵＝，＝，b2a+c3∴﹣＝，2a+c2accosBb22∴（a+c）2﹣3ac＝，4∴ac，∴S．acsinB△ABC故答案为：，．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．．在我国瓷器的历史上六棱形的瓷器非常常见，因为六，八是中国人的吉利数字，所以16好多器都做成六棱形和八棱形，数学李老师有一个正六棱柱形状的笔筒，底面边长为6cm，高为18cm（底部及筒壁厚度忽略不计），一长度为cm的圆铁棒l（粗细忽略不计）斜放在笔筒内部，的一端置于正六柱某一侧棱的展端，另一端置于和该侧棱正对l的侧棱上．一位小朋友玩要时，向笔筒内注水，恰好将圆铁棒淹没，又将一个圆球放在笔筒口，球面又恰好接触水面，则球的表面积为cm2．【分析】根据铁棒与底面六边形的最长对角线、相对棱的部分长h构成直角三角形求出容器内水面的高度h，再利用球的半径和球被六棱柱体上底面截面圆的半径和球心到截面圆的距离构成直角三角形求出球的半径，即可计算球的表面积．解：如图所示，18/31知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根六棱柱笔筒的边长为，高为，6cm18cm铁棒与底面六边形的最长对角线、相対棱的部分长构成直角三角形，h所以2，解得＝，h14所以容器内水面的高度为，14cm设球的半径为，则球被六棱柱体上面截得圆的半径为Rr，球心到截面3圆的距离为﹣，R4所以＝（﹣）RR42，解得；R2所以球的表面积为4π（）．cm2故答案为：．【点评】本题考查了球与六棱柱体的结构特征与计算问题，是中档题．三、解答：解答写出文说明、证明过程或演算步骤．．如图已知△、⊥，，分別为，的中点＝＝，将△PD2DC2PAB17RtPCDPDCDABPDPC沿AB折起，得到四棱锥﹣，为的中点．P'ABCDEP'D（）证明：⊥平面；1P'DABE（）2当正视图方向与向量的方向相同时，﹣P'ABCD的正视图为直角三角形，求此时二面角﹣﹣的余弦值．ABEC19/31知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根【分析】（）由平面图可知，⊥′，⊥，得到AB⊥平面P′AD，得ABABPAABAD⊥1′，再由已知可得⊥′．由AEPD直线与平面垂直的判定可得′⊥平面；ABEPDPD（）由﹣P'ABCD的正视图与△P′AD2全等，为直角三角形，得′⊥，以A为PAAD原点，分别以AB、AD、AP′所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系，分别求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，由ABE两法向量所成角的余弦值可得二面BEC角A﹣BE﹣C的余弦值．【解答】（）证明：由平面图可知，⊥′，⊥，1ABPAABAD又P′A∩AD＝A，∴AB⊥平面P′AD，得AB⊥P′D．∵E为P′D的中点，P′A＝AD，∴AE⊥P′D．∵AE∩AB＝A，∴P′D⊥平面；ABE（）解：∵P'﹣ABCD2的正视图与△P′AD全等，为直角三角形，故P′A⊥，AD以A为原点，分别以AB、AD、AP′所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．则A（，，），（，，），000′（，，），D010P001（，，），（，，），（，，），C110B00E0，，．设平面的一个法向量为BEC，由，取x＝2，得．∴为平面的一个法向量，ABE20/31知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根设二面角﹣﹣为θ，∴ABECcos．∵二面角﹣﹣为钝角，ABEC∴cos，故二面角﹣﹣ABEC的余弦值为．【点评】本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．18．已知等差数列{an}的前n项和，∈一、选择题*，＝，＝，数列的前n项Sna6S27{b}nn56和T，n．（）判断{bn+1}是等比数列，并求b；n1（2）求数列•的前n项和．n{ab}n【分析】（1）．n≥2时，＝﹣，化为：＝b2b+1，变bTTn﹣nnn1n1﹣形为：b+1＝2（b+1），进而证明结论．利用通项公式考点b．n﹣nn1（）设等差数列{an}adabn的公差为，d由＝，＝，利用通项公式可得：a6S27a1+4d66a+15d＝，2561＝27，联立解得：，，可得a．可得•＝（n+1）•2n﹣（n+1）．利用错位相减1nn法与等差数列得求和公式即可得出．解：（1）．21/31知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根∴≥时，＝﹣＝﹣﹣（﹣），化为：＝，n2bTT2bn2bn+1b2b+1nn1﹣nnn1﹣nn1﹣∴＝（），b+12b+1nn1﹣＝时，＝﹣，解得＝．∴＝．b1n1b2b1b+121111∴是等比数列，首项与公比都为，{b+1}2n∴＝﹣．b21nn（）设等差数列的公差为，∵＝，＝，{a}dn2a6S2756∴＝，＝，a+4d66a+15d2711联立解得：＝，＝，a2d11∴＝﹣＝．a2+n1n+1n∴•＝（）•﹣（）．abn+12nn+1nn∴数列（）•的前项和＝××……+（）n+1A22+3×22+42+•．2}23n{n+1nnn∴＝××……•（）．•2A22+32++n2n+n+12n+123n相减可得：﹣＝……+2﹣（）•＝2（）．•n+12n+1A4+2+2+n+1223nn+1n化为：＝．n+1•An2n∴数列•{ab}的前项和＝•n2n+1．nnn【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．．年春季，某出租汽车公同决定更换一批新的小汽车以代替原来报废的出租车，现192020有采购成本分别为11万元/辆和8万元/辆的，两款车型，根据以往这两种出租车车AB型的数据，得到两款出租车型使用寿命频数表如表：使用寿命年数5年6年7年8年总计22/31知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根A型出租车（辆）10B型出租车（辆）15203545402510100100（）填写如表，并判断是否有的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关？199%使用寿命不高于年使用寿命不低于年总计67A型B型总计（）以频率估计概率，从年生产的和的车型中各随机抽车，以表示这ABX2202012年中使用寿命不低于年的车数，求的分布列和数学期望；7X（）根据公司要求，采购成本由出租公司负责，平均每辆出租每年上交公司万元，其36余维修和保险等费用自理，假设每辆出租车的使用寿命都是整数年，用频率估计每辆出租车使用寿命的概率，分别以这辆出租车所产生的平均利润作为决策依据，如果你100是该公司的负责人，会选择采购哪款车型？参考公式：参考数据：，其中＝na+b+c+d．（≥）0.050PKk20.0106.6350.001k3.84110.828【分析】（）先补充完整2×2列表联，然后根据的公式计K2算出其观测值，并与附表1中的数据进行对比即可作出判断；（）的可能取值为，，，先求出两种车型使用寿命不低于年和低于年的占比2X01277数，然后依据相互独立事件的概率逐一求出每个的取值所对应的概率即可得分布列，X进而求得数学期望；23/31知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根（3）先求出两款出租车型的每辆车的利润，然后结合频数分布列求两种车型的平均利润，比较大小后，取较大者即可．解：（1）补充完整的2×2列联表如下所示，使用寿命不高于6年使用寿命不低于7年总计100100200A型3050807050B型总计120∴，∴有99%的把握认为出租车的使用寿命年数与汽车车有关．（2）由题可知，型车使用寿命不低于7年的车数占，低于7年的车数占；A型车占．使用寿命不低于7年的车数占，低于7年的车数B∴X的可能取值为0，1，2，P（X＝0），（PX＝1），（PX＝2）．∴X的分布列为012XP∴数学期望E（）X．（3）∵平均每辆出租车年上交公司6万元，且，两款车型的采购成本分别为11万AB元/辆和8万元/辆，24/31知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根∴两款出租车型的每辆车的利润如下表：使用寿命5年6年7年8年年数A型6×5﹣116×6﹣116×7﹣116×8﹣11＝19＝25＝31＝37B型6×5﹣8＝6×6﹣8＝6×7﹣8＝6×8﹣8＝22283440用频率估计概率，这100辆型出租车的平均利润为A（万元），这100辆B型出租车的平均利润为（万元），∵30.7＞30.1，故会选择采购B款车型．【点评】本题考查独立性检验、离散型随机变量的分布列与数学期望、平均数的求法，考查学生对数据的分析与处理能力，属于基础题．20．已知函数f（x）＝﹣（+），且x＝0是f（x）的极值点．elnxmx（1）求f（x）的最小值；（2）是否存在实数，使得关于x的不等式＜+（）在（0，+∞）上恒成立？若bebxfxx存在，求出的取值范b围；若不存在，说明理由．【分析】（1）由已知结合极值存在条件可求m，然后结合数导单调性及最值的关系即可求解；25/31知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根（）由已知不等式代入整理可得（）＜，可考虑构造函数（）＝（）hx2ln1+xbxlnx+1﹣，结合导数与单调性的关系对进行分类讨论可求．bxb解：（）1，由＝是（）的极值点可得，即＝，经检验＝符合题意，m1x0fx10m1，设（）＝（）﹣，则g′（）＝（）ex+2＞在＞﹣时恒成立，0xgxex+1x1x1x故g（）x在（﹣，∞）上单调递增且g（）＝，01+0所以，当＞时，（）＞即′（）x＞，函数（）单调递增，fxx0gx0f0当﹣＜＜1x0时，（）＜即′（）＜，函数（）单调递减，gx0fxfx0故当x＝0时，（）取得最小值（）＝，fxf01（）由＜（）ebx+fx在（，∞）上恒成立可得（）＜，ln1+xbx20+x设（）＝（）﹣，则bx，hxlnx+1（）i若≥，则x＞0时，，（）单调递减，0hxb1所以h（）＜（）＝，符合题意，xh00（）ii若≤，则x＞0时，，（）单调递增，（）＞（）＝0hxhxh0b00，不符合题意，（）iii若＜＜，则时，，x0b1当x时，′（）＞，（）单调递增，此时h（）x＞（）＝，不满h00hx0hx足题意，综上，的范围，[1+∞）．b26/31知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根【点评】本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及极值和最值，还考查了由不等式的恒成立求参数的范围问题，体现了分类讨论思想的应用．21．已知直线＝交于不同的两点A，B，线段与椭圆C：ax2+by12AB的中点为D，且直线l与直线OD的斜率之积为，若直线x＝t与直线l交于点P，与直线OD交于点M，且M为直线（1）求P点的轨迹方程；上一点．（2）若最大．为概圆C的上顶点，直线l与y轴交点G，记S表示面积，求的【分析】（1）设（，），（，），（，），联立两方程，结合韦达定Dxy00AxyBxy2112理可得x1+x2，则x，再带回直线方程进而得到b＝4a，0从而t＝m，消去m后可得＝；x2y2（2）结合（1）表示出P（m，），F（0，），D（，），M（m，），再分别表示出两三角形的面积，利用换元思想得最值．解：（1）设（，），（，），（，），DxyAxy1Bxy21200联立）﹣得（bm2+axm2bx1＝0，2则x1+x2，则x，0将其代入y＝mx得y0，27/31知识像烛光，能照亮一个人，也能照亮无数的人。--培根因为•m，所以，即＝4，ba故方程为x，ODy则，故＝，ttm代入＝，得（，），消去，ymxPmm可得点的轨迹方程为＝2（≠0）；yxPx2（2）由题得＝4，所以椭圆的方程为x2+4y2＝1，bC由（x1）知，y0，0对于直线，令＝x0，，则（0，），y