高等数学-二重积分习题课省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

第九章重积分习题课(一)二重积分1/23一、二重积分概念

1．定义：

2．几何意义：

表示曲顶柱体体积3．物理意义：

——

质量.

2/23二、二重积分性质（三重类似）1．线性性质：2.可加性：

4.单调性：3.区域面积：若在

上,,则3/23设5．估值性质：6．中值定理：则在上最少存在一点,使得是面积，7.奇偶对称性：,是面积0D关于x(或y)轴对称,为y(或x)奇函数设函数

在闭区域上连续,D关于x(或y)轴对称,为y(或x)偶函数则4/23三、二重积分计算方法

1．利用直角坐标计算（1）X-型区域：

.关键：选择积分次序5/23（2）Y-型区域：

2．利用极坐标计算

6/23四.经典例题

【例1】利用二重积分性质，预计积分

值；其中因为在上

故由二重积分性质可知即

7/23【例2】计算二重积分其中分析首先应画出区域

图形.本题可采取直角坐标计算。

注意到既是型区域,又是型区域，而不论型区域或型区域都不能用一个不等式组表出,均需要把分割成两个型区域或两个型区域和形式。不妨把分成型区域和来计算．解:积分区域如图所表示..8/23将二重积分转化为先对后对二次积分,得因其中9/23解:积分区域如图所表示.在极坐标系下，因为【例3】计算二重积分其中是由圆周,及直线,所围成第一象限内闭区域..将二重积分转化为极坐标系下先对后对二次积分,得10/23【例4】计算二重积分.其中是圆周所围成闭区域。解:在极坐标系下，因为.11/23【例5】计算二重积分其中.解:积分区域如图。为去掉绝对值：因为其中则12/23【例6】设区域

计算二重积分分析因为积分区域关于轴对称，故先利用二重积分化为二次积分进行计算即可。其中

然后再利用极坐标将

对称性简化所求积分.因是关于变量为偶函数，关于为奇函数，故13/23解：

【例7】设

有连续一阶导数，且求14/23分析本题是二重积分计算、变上限积分求导和求极限综合题目。应首先利用极坐标将二重积分转化成积分变上限函数，然后再利用洛必达法则求极限。

解：

型型15/23五、二重积分应用1．几何应用（其中）2．物理应用

（1）质量

（2）质心

（3）转动惯量

曲顶柱体体积16/23【例8】求上半球面

与旋转抛物面

所围成立体体积。分析首先求出立体在坐标面上投影区域，然后利用二重积分几何意义将所求立体体积用二重积分来表示，再利用极坐标计算即可。解：令

求得曲线在坐标面上投影曲线方程为故立体在坐标面上投影区域为17/23由二重积分几何意义，可知所求立体体积为18/23六、交换二次积分次序方法

交换二次积分次序，其实质是把二重积分化为二次积分逆问题。改变积分次序应首先对给定二次积分求出其对应二重积分积分区域,其次要判断类型,然后再依据类型,将二重积分化为另一次序二次积分。19/23经典例题【例9】改变积分次序。步骤：原不等式-区域图-新不等式-新积分限解设

.可知为型区域;且所以20/23【例10】计算分析因为被积函数为假如先对变量

积分,则会碰到原函数求不出问题,所以计算二次积分问题就归结为改变积分次序问题，即把二次积分化成先对后对二次积分。解：因为

能够表示成型区域(如图)所以.21/23（令)【例11】证实分析观察所要证实等式左右两边不难发觉，等式左边是一个二次积分，可视作是一个二重积分化成二次积分，而等式右端