chap-2控制系-统的数学模型()省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

第2章控制系统数学模型2-1建立数学模型普通方法2-2传递函数2-3动态结构图及等效变换2-4信号流图及梅逊公式2-5控制系统传递函数第1页引言定义：控制系统输入和输出之间动态关系数学表示式即为数学模型。用途：

1）分析实际系统2）预测物理量3）设计控制系统建立方法：

1）分析法2）试验法第2页表示形式时域：微分方程、差分方程、状态方程复域：传递函数、动态结构图频域：频率特征线性系统传递函数微分方程频率特征拉氏变换傅氏变换第3页2-1建立数学模型普通方法例1：如图所表示RLC电路，试建立以电容上电压uc(t)为输出变量，输入电压ur(t)为输入变量运动方程。RLCur(t)uc(t)i(t)第4页依据：电学中基尔霍夫定律

由（2）代入（1）得：消去中间变量i(t)

（两边求导）第5页例2:机械位移系统,物体在外力F(t)作用下产生位移y(t)，写出运动方程。输入F(t)，输出y(t)理论依据:牛顿第二定律,物体所受合外力等于物体质量与加速度乘积.第6页mF1(弹簧拉力)F(t)外力F2阻尼器阻力第7页依据上述例子，能够得到列写系统微分方程普通步骤：1）确定系统输入、输出变量；2）依据已知物理或化学定律，写出运动过程微分方程（忽略次要原因并考虑相邻元件彼此影响）；3）消去中间变量，写出输入、输出变量微分方程；4）整理，与输入相关放在等号右面，与输出相关放在等号左面，并按照降阶次进行排列。第8页许多表面上看来似乎毫无共同之处控制系统，其运动规律可能完全一样能够用一个运动方程来表示，称它们为结构相同系统上例机械平移系统和RLC电路就能够用同一个数学表示式分析，含有相同数学模型。第9页

在一定条件下或在一定范围内把非线性数学模型化为线性模型处理方法称为非线性数学模型线性化。饱和非线性xy在工程实际中，控制系统都有一个额定工作状态和工作点，当变量在工作点附近作小范围改变,且变量在给定区域间有各阶导数时，便可在给定工作点邻域将非线性函数展开为泰勒级数，忽略级数中高阶无穷小项后，就可得到只包含偏差一次项线性方程。这种线性化方法称为小偏差法。第10页比如，设非线性函数y=f(x)如图所表示，其输入量为x，输出量为y，假如在给定工作点y0=f(x0)处各阶导数均存在，在y0=f(x0)附近将y展开成泰勒级数：y=f(x)y0x0xy小偏差线性化示意图第11页假如偏差Δx=x-x0很小，则可忽略级数中高阶无穷小项，上式可写为

K表示y=f(x)曲线在(x0,y0)处切线斜率。所以非线性函数在工作点处能够用该点切线方程线性化。第12页总之，求线性化微分方程过程可归纳为：1）按物理或化学定律列出原始方程式，并确定平衡点附近各变量数值。2）找出方程中非线性关系，若平衡点附近各阶导数存在，则可进行线性化：☉将此函数展成泰勒级数；☉忽略高次项，留下一次项，得一次近似式并求出数值。3）将原方程中变量以平衡点值加增量来表示，经整理可得以增量表示线性方程。注意：此法是建立在输入/输出为小范围改变条件下，对于大多数系统来说难以满足这一要求。第13页2-2传递函数（transferfunction）用微分方程来描述系统比较直观，不过一旦系统中某个参数发生改变或者结构发生改变，就需要重新排列微分方程，不便于系统分析与设计。为此提出传递函数概念。一、传递函数定义和概念以上一节例（1）RLC电路微分方程为例：第14页设初始状态为零，对上式进行拉氏变换，得到：G(s)R(s)C(s))第15页定义：零初始条件下，系统输出量拉氏变换与输入量拉氏变换比值称为该系统传递函数，用G(s)表示。普通形式：设线性定常系统（元件）微分方程是：第16页y(t)为系统输出，r(t)为系统输入，则零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函数为：分母中s最高阶次n即为系统阶次。第17页因为组成系统元部件或多或少存在惯性，所以G(s)分母阶次大于等于分子阶次，即,是有理真分式，若,我们就说这是物理不可实现系统。第18页二、传递函数性质

(1)传递函数是一个数学模型，是对微分方程在零初始条件下进行拉氏变换得到；(2)传递函数与微分方程一一对应；(3)传递函数描述了系统外部特征。不反应系统内部物理结构相关信息；(4)传递函数只取决于系统本身结构参数，而与输入和初始条件等外部原因无关；(5)传递函数与系统输入输出位置相关；(6)传递函数一旦确定，系统在一定输入信号下动态特征就确定了。第19页三、经典步骤传递函数

1）百分比步骤:其输出量和输入量关系，由下面代数方程式来表示式中——步骤放大系数，为一常数。传递函数为：特点：输入输出量成百分比，无失真和时间延迟。第20页实例：电子放大器，齿轮，电阻(电位器)，感应式变送器等。第21页2）惯性步骤:其输出量和输入量关系，由下面常系数非齐次微分方程式来表示传递函数为：式中T——步骤时间常数。特点：含一个储能元件，对突变输入,其输出不能马上发觉，输出无振荡。

实例：RC网络，直流伺服电动机传递函数也包含这一步骤。第22页3）积分步骤:其输出量和输入量关系，由下面微分方程式来表示传递函数为：特点：输出量与输入量积分成正百分比，当输入消失，输出含有记忆功效。实例：电动机角速度与角度间传递函数，模拟计算机中积分器等。第23页4）微分步骤：是积分逆运算，其输出量和输入量关系，由下式来表示传递函数为：式中——步骤时间常数。特点：输出量正比输入量改变速度，能预示输入信号改变趋势。实例：测速发电机输出电压与输入角度间传递函数即为微分步骤。第24页5）振荡步骤：其输出量和输入量关系，由下面二阶微分方程式来表示。传递函数为：特点：步骤中有两个独立储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。实例：RLC电路输出与输入电压间传递函数。第25页6）二阶微分步骤：其输出量和输入量关系，由下面

二阶微分方程式来表示。

传递函数为：特点：只有当含有一对共轭复根时，才能称为二阶微分步骤；假如上式含有两个实根，则能够认为这个步骤是由两个一阶微分步骤串联而成。实例：在实际系统中，极难见到二阶微分步骤，它只是一个数学抽象。第26页7）延迟步骤：其输出量和输入量关系，由下式来表示传递函数为：式中——延迟时间特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定时间间隔。实例：管道压力、流量等物理量控制，其数学模型就包含有延迟步骤。第27页以上7种是常见基本经典步骤数学模型1）是按数学模型共性建立，与系统元件不是一一对应；2）同一元件，取不一样输入输出量，有不一样传递函数，有不一样传递函数；3）步骤是相正确，一定条件下能够转化；4）基本步骤适合线性定常系统数学模型描述。第28页2-3动态结构图及等效变换一、动态结构图组成1、信号线：有箭头直线，箭头表示信号传递方向。2、引出点：信号引出或测量位置。从同一信号线上引出信号，数值和性质完全相同第29页3、综合点：对两个或两个以上信号进行代数运算，“＋”表示相加，常省略，“－”表示相减。4、方框：表示经典步骤或其组合，框内为对应传递函数，两侧为输入、输出信号线。第30页二、动态结构图建立例：建立如图所表示双T网络动态结构图。第31页1）建立各元件微分方程第32页2）将各元件微分方程进行拉氏变换，并改写成以下相乘形式第33页3）绘出系统动态结构图按照变量传递次序，依次将各元件结构图连接起来作用：1）直观形象分析变量之间关系2）方便求解传递函数第34页三、经典连接方式及等效变换X1(s)G1(s)G2(s)X(s)Y(s)G(s)X(s)Y(s)1、串联及等效第35页2、并联及等效X(s)G2(s)G1(s)Y1(s)Y2(s)Y(S)G(s)X(s)Y(s)第36页3、反馈及等效G(s)H(s)E(s)R(s)Y(s)R(s)Y(s)第37页四、等效移动规则1、引出点移动G(S)G(S)X1X2X2X2X1X2G(S)1）前移G(S)X2X1X1G(S)1/G(S)X1X2X12）后移在移动支路中串入所越过传递函数倒数方框

在移动支路中串入所越过传递函数方框第38页2、综合点移动在移动支路中串入所越过传递函数倒数方框

在移动支路中串入所越过传递函数方框2）前移x2x3x1G(s)G(s)G(s)x1x2x31）后移G(S)1/G(S)X1X2X3G(S)X1X2X3-第39页相邻综合点之间能够随意调换位置

3）相邻综合点移动x1Yx2x3x1Yx2x3注意：相邻引出点和综合点之间不能交换!第40页例：试简化系统结构图，并求系统传递函数。第41页第42页第43页方法1:引出点后移例：试简化系统结构图，并求系统传递函数。第44页例：试简化系统结构图，并求系统传递函数。方法2:引出点前移第45页x1x4x3x2abc12-4信号流图及梅逊公式一、信流图基本概念

支路：表示变量之间传输关系。

节点：表示系统中变量。信号流图是一个表示线性化代数方程组变量间关系图示方法。信号流图由节点和支路组成第46页信流图基本术语1、源节点：只有输出支路，没有输入支路节点称为源点，它对应于系统输入信号，或称为输入节点。2、汇节点：只有输入支路，没有输出支路节点称为阱点，它对应于系统输出信号，或称为输出节点。3、混合节点：现有输入支点也有输出支点节点称为混合节点。输入节点（源点）输出节点（汇点）输入节点（源点）第47页信流图基本术语4、通道：从某一节点开始沿支路箭头方向经过各相连支路到另一节点（或同一节点）组成路径称为通道。5、开通道：与任一节点相交不多于一次通路称为开通道。6、闭通道：假如通道终点就是通道起点，而且与任何其它节点相交不多于一次称为闭通道或称为回环。7、回环增益：回环中各支路传输乘积称为回环增益。8、前向通道：是指从源头开始并终止于汇点且与其它节点相交不多于一次通道，该通道各传输乘积称为前向通道增益。9、不接触回环：假如一信号流图有多个回环，各回环之间没有任何公共节点，就称为不接触回环，反之称为接触回环。第48页二、信流图绘制1、由结构图绘制信流图结构图信流图变量传递综合点变成混合节点－1第49页2、由方程组绘制信流图首先按照节点次序绘出各节点，然后依据各方程式绘制各支路。当全部方程式信号流图绘制完成后，即得系统信号流图。第50页三、梅逊（Mason）增益公式第51页例.设某系统方框图如图所表示，试求其传递函数R(S)11G1G3G2Y(S)G4-1-H1-H2YG1G2G3G4---H1H2R第52页第53页2－5控制系统传递函数G1(S)G2(S)H(S)R(S)