复变函数-华中科技大学省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

引言在十六世纪中叶，G.Cardano(1501-1576)在研究一元二次方程时引进了复数。他发觉这个方程没有根，并把这个方程两个根形式地表为。在当初，包含他自己在内，谁也弄不清这么表示有什麽好处。实际上，复数被Cardano引入后，在很长一段时间内不被人们所理会，并被认为是没有意义，不能接收“虚数”。直到十七与十八世纪，伴随微积分产生与发展，情况才有好转。尤其是因为L.Euler研究结果，复数终于起了主要作用。比如大家所熟知Euler公式揭示了复指数函数与三角函数之间关系。然而一直到C.Wessel(挪威.1745-1818)和R.Argand(法国.1768-1822）将复数用平面向量或点来表示，以及K.F.Gauss(德国1777-1855)与W.R.Hamilton(爱尔兰1805-1865)定义复数为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性长久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立和发展。1/44复变函数理论和方法在数学，自然科学和工程技术中有着广泛应用，是处理诸如流体力学，电磁学，热学弹性理论中平面问题有力工具。复变函数中许多概念，理论和方法是实变函数在复数领域推广和发展。第一章复数与复变函数§1.1复数及其表示法一对有序实数（）组成一个复数，记为.自变量为复数函数就是复变函数,它是本课程研究对象.因为在中学阶段已经学过复数概念和复数运算,本章将在原有基础上作简明复习和补充;然后再介绍复平面上区域以及复变函数极限与连续性概念,为深入研究解析函数理论和方法奠定必要基础.x,y分别称为Z实部和虚部,记作x=Re(Z),y=Im(Z),.称为Z共轭复数。2/44与实数不一样,普通说来,任意两个复数不能比较大小.两个复数相等他们实部和虚部都相等尤其地，1.代数形式:复数表示法1)点表示yz(x,y)xx0yr复平面实轴虚轴3/442)向量表示----复数z辐角(argument)

记作Argz=q.任何一个复数z0有没有穷多个幅角,将满足-p<q0

pq0称为Argz主值,记作q0=argz.则Argz=q0+2kp=argz+2kp(k为任意整数)0xyxyqz=x+iy|z|=r----复数z模4/44当z=0时,|z|=0,而幅角不确定.argz可由以下关系确定:说明：当z在第二象限时，5/442.指数形式与三角形式利用直角坐标与极坐标关系:x=rcosq,y=rsinq,能够将z表示成三角表示式: 利用欧拉公式eiq=cosq+isinq得指数表示式:例1将以下复数化为三角表示式与指数表示式.[解]1)z在第三象限,所以所以6/442)显然,r=|z|=1,又所以练习：写出辐角和它指数形式。解：7/44§1.2复数复数运算设z1+z2=z2+z1;z1z2=z2z1;z1+(z2+z3)=(z1+z2)+z3)z1(z2z3)=(z1z2)z3;z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.复数运算满足交换律,结合律和分配律:1.四则运算8/44加减法与平行四边形法则几何意义:乘、除法几何意义:,,,定理1两个复数乘积模等于它们模乘积,两个复数乘积幅角等于它们幅角和.9/44等式Arg(z1z2)=Argz1+Argz2, 意思是等式两边都是无限集合,两边集合相等,即每给定等式左边一个数,就有等式右边一个数与之对应,反之亦然.

几何上z1z2相当于将z2模扩大|z1|倍并旋转一个角度Argz1.0110/44例2：设求：解：若取则若取则11/44;按照乘积定义,当z10时,有定理2两个复数商模等于它们模商,两个复数商辐角等于被除数与除数幅角之差.12/442.乘方与开方运算1）乘方DeMoivre公式：13/442）开方:若满足，则称w为zn次方根，记为

于是推得14/44从而几何解释：z1/nn个值就是以原点为中心,r1/n为半径圆内接正n边形n个顶点。例2求[解]因为所以15/44即四个根是内接于中心在原点半径为21/8圆正方形四个顶点.1+iw0w1w2w3Oxy16/44§1.3复数形式代数方程与平面几何图形很多平面图形能用复数形式方程(或不等式)来表示;也能够由给定复数形式方程(或不等式)来确定它所表示平面图形.例3将经过两点z1=x1+iy1与z2=x2+iy2直线用复数形式方程来表示.

[解]经过点(x1,y1)与(x2,y2)直线可用参数方程表示为所以,它复数形式参数方程为z=z1+t(z2-z1).(-<t<+)17/44由此得知由z1到z2直线段参数方程能够写成

z=z1+t(z2-z1).(0

t1)取得知线段中点为例4求以下方程所表示曲线:18/44解：设z=x+iy

,方程变为-iOxy几何上,该方程表示到点2i和-2距离相等点轨迹,所以方程表示曲线就是连接点2i和-2线段垂直平分线,方程为y=-x,也可用代数方法求出。19/44Oxy-22iy=-x设z=x+iy

,那末可得所求曲线方程为y=-3.Oyxy=-320/44§1.4复数域几何模型---复球面0N21/44x1x2x3oz(x,y)xyP(x1,x2,x3)x1x2x3N(0,0,2r)除了复数平面表示方法外,还能够用球面上点来表示复数.

对复平面内任一点z,用直线将z与N相连,与球面相交于P点,则球面上除N点外全部点和复平面上全部点有一一对应关系,

而N点本身可代表无穷远点,记作.

这么球面称作复球面.22/44扩充复数域---引进一个“新”数∞:扩充复平面---引进一个“理想点”:无穷远点

∞.约定:

23/44§1.4区域1.区域概念平面上以z0为中心,d(任意正数)为半径圆:|z-z0|<d内部点集合称为z0邻域,而称由不等式0<|z-z0|<d所确定点集为z0去心邻域.包含无穷远点本身在内且满足|z|>M全部点集合,其中实数M>0,称为无穷远点邻域.

即它是圆|z|=M外部且包含无穷远点本身.不包含无穷远点本身仅满足|z|>M全部点称为无穷远点去心邻域,也记作M<|z|<.0M|z|>M24/44设G为一平面点集,z0为G中任意一点.假如存在z0一个邻域,该邻域内全部点都属于G,则称z0为G内点.

假如G内每个点都是它内点,则称G为开集平面点集D称为一个区域,假如它满足以下两个条件:

1)D是一个开集;

2)D是连通。就是说D中任何两点都能够用完全属于D

一条折线连接起来.设D为复平面内一个区域,假如点P不属于D,但在P任意小邻域内总包含有D中点,这么点P称为D边界点.D全部边界点组成D边界.区域边界可能是由几条曲线和一些孤立点所组成.25/44区域D与它边界一起组成闭区域或闭域,记作

D.

假如一个区域能够被包含在一个以原点为中心圆里面,即存在正数M,使区域D每个点z都满足|z|<M,则称D为有界,不然称为无界.2.单连通域与多连通域

平面曲线在数学上,经惯用参数方程来表示各种平面曲线.假如x(t)和y(t)是两个连续实变函数,则方程组

x=x(t),y=y(t),(a

t

b)

代表一条平面曲线,称为连续曲线.假如令

z(t)=x(t)+iy(t)

则此曲线可用一个方程

z=z(t) (a

t

b)

来代表.这就是平面曲线复数表示式.26/44设C:z=z(t)(a

t

b)为一条连续曲线,z(a)与z(b)分别为C起点与终点.对于满足a<t1<b,a

t2

b

t1与t2,当t1

t2而有z(t1)=z(t2)时,点z(t1)称为曲线C重点.没有重点连续曲线C,称为简单曲线或若尔当(Jardan)曲线.假如简单曲线C起点与终点闭合,即z(a)=z(b),则曲线C称为简单闭曲线.z(a)=z(b)简单,闭z(a)z(b)简单,不闭z(a)=z(b)不简单,闭不简单,不闭z(a)z(b)27/44任意一条简单闭曲线C把整个复平面唯一地分成三个互不相交点集,其中除去C外,一个是有界区域,称为C内部,另一个是无界区域,称为C外部,C为它们公共边界.简单闭曲线这一性质,其几何直观意义是很清楚.内部外部C28/44定义复平面上一个区域B,假如在其中任作一条简单闭曲线,而曲线内部总属于B,就称为单连通域,一个区域假如不是单连通域,就称为多连通域.单连通域多连通域29/44§1.5复变函数1.复变函数定义定义设D是复平面中一个点集,称为复变函数.其确定了自变量为x和y两个二元实变函数u,v.比如,考查函数w=z2.令z=x+iy,w=u+iv,则

u+iv=(x+iy)2=x2-y2+i2xy,

因而函数w=z2

对应于两个二元函数:

u=x2-y2,v=2xy30/44在以后讨论中,D经常是一个平面区域,称之为定义域,而且,如无尤其申明,所讨论函数均为单值函数.2.映射概念

函数w=f(z)在几何上能够看做是把z平面上一个点集D(定义集合)变到w平面上一个点集G(函数值集合)映射(或变换).假如D中点z被映射w=f(z)映射成G中点w,则w称为z象(映象),而z称为w原象.xuDGZzwW=f(z)vyW31/44设函数w=z=x–iy;u=x,v=-yxyOuvOABCz1z2A'B'C'w1w232/44设函数w=z2

=

(x+iy)2=x2-y2+i2xy,

有u=x2-y2,v=2xyxyOuvOz1z2w2z3w3w133/44函数w=z2

对应于两个二元实变函数:u=x2-y2,v=2xy

把z平面上两族双曲线x2-y2=c1,2xy=c2分别映射成w平面上两族平行直线u=c1,v=c2.101-1-1-10-8-6-4-2x2468v=101y-10-8-6-4-2u=02468uv1010-10-1034/44假如函数(映射)w=f(z)与它反函数(逆映射)z=j(w)都是单值,则称函数(映射)w=f(z)是一一.此时,我们也称集合D与集合G是一一对应.举例：曲线在映射下像

例题1

35/44例题2例题3例题4

36/44§1.6复变函数极限和连续性1.函数极限

定义设函数w=f(z)定义在z0去心邻域0<|z-z0|<r内,假如有一确定数A存在,对于任意给定e>0,对应地必有一正数d(e)(0<d

),使得当0<|z-z0|<d时有|f(z)-A|<e,则称A为f(z)当z趋向于z0