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文档简介

第三章插值法与最小二乘法数学与统计学院数值计算方法1/53本章主要内容

插值法Lagrange插值插值误差分段插值法

Newton插值多项式三次样条插值法数据拟合最小二乘法2/53§4三次样条插值/*CubicSplineInterpolation*/

许多实际工程技术中普通对精度要求非常高,

(1)要求近似曲线在节点连续;(收敛性);(2)要求近似曲线在节点处导数连续,即充分光滑。

分段插值不能确保节点光滑性,而Hermite插值需要知道节点处导数值,实际中无法确定。

问题背景3/53一、三次样条函数力学背景

在工程技术和数学应用中经常碰到这么一类数据处理问题:在平面上给定了一组有序离散点列,要求用一条光滑曲线把这些点按次序连接起来。........压铁弹性木条.数据点形象地称之为样条曲线.4/53

在力学上,通常均匀细木条能够看作弹性细梁,压铁看作是作用在梁上集中载荷,“样条曲线”就模拟为弹性细梁在外加集中载荷作用下弯曲变形曲线。设细梁刚度系数为,弯矩为,样条曲线曲率为由力学知识:当时(即“小挠度”情况)上述微分方程简化为:是线性函数所以,“样条曲线”可近似认为是三次多项式.5/53二、三次样条插值函数定义及求法

设在区间上给定一个分割,定义在上函数假如满足以下条件:(1)在每个小区间内是三次多项式,(2)在整个区间上,为二阶连续可导函数,即在每个节点处则称为三次样条插值函数.6/53假设现在已知函数在节点处函数值:假如三次样条函数满足则称为插值于三次样条函数,简称三次样条插值函数。怎样求三次样条插值函数:4n个未知数3n-1个条件7/53线性插值函数1、M连续方程与表示式记因为在每一个子区间上都是线性函数

两边积分两边再积分一次?8/53代入插值条件:在整个区间上,表示式为:未知数n+1个9/53计算方法(利用导数连续性):由10/53由11/53由其中12/53写成方程组形式:上述方程组称为M连续方程.n-1个方程n+1个未知数三弯矩方程组13/53M连续方程求解:需要补充附加条件3、边界条件/*boundaryconditions*/

已知端点斜率:

已知端点二阶导数:

设是以为周期周期函数,对附加周期性条件:

即要求三次样条插值函数在端点处函数值、一阶导数值和二阶导数值相同。14/53M连续方程在各类边界条件下求解方法

对于第一类边界条件由得15/53从而得到方程组(三对角):可用追赶法求解16/53

对于第二类边界条件类似地能够得到方程组(三对角):17/53上述两种情况得到方程组,能够写成统一形式:其中时为第二类边界条件时为第一类边界条件18/53

对于第三类边界条件得到方程其中19/53第三类边界条件对应方程组:对三对角算法经过修改后能够求解上述方程组不是三对角方程组20/53注:三次样条与分段Hermite插值根本区分在于S(x)本身光滑,不需要知道f导数值(除了在2个端点处函数值);而Hermite插值依赖于f在许多插值节点导数值。f(x)H(x)S(x)21/53性质(误差预计)设函数,是区间一个分割,是关于带有Ⅰ型(斜率边界)或Ⅱ型(二阶导数边界)边界条件插值函数,则有误差预计其中

是分割比,而且系数与是最优预计。

性质说明:三次样条插值函数本身连同它一、二、三阶导数分别收敛到及其对应导数,含有强收敛性。22/530123

02361

0例1已知函数在数据表:解:求在区间上三次样条插值函数。

23/53三弯矩方程组用追赶法求解方程组得24/53三次样条插值函数25/5326/5327/53

在科学试验中,往往要从一组试验数据

(xi,yi)

中,寻找自变量

x

与因变量

y

之间函数关系

y

=

f

(x).

在前面,我们学习了经过利用插值法来实现这个目标.

是函数迫近另一个方法.不要求曲线完全经过全部已知节点,而是从总偏差最小角度来取近似曲线.即从大量给定数据中找出规律,并结构一条曲线反应数据点总趋势,以消除其局部波动.属于全局最优.

用插值法近似某个函数时,一个严重缺点是:对节点测量值精度要求高.但因为测量数据中往往带有随机误差,在利用这些有误差数据结构插值函数,必将不合理误差带入,影响对未知函数近似精度.属于局部最优.

插值法不足:

最小二乘法:28/53实例考查某种纤维强度与其拉伸倍数关系,下表是实际测定24个纤维样品强度与对应拉伸倍数统计:§5最小二乘法29/53结论:纤维强度随拉伸倍数增加而增加,而且24个点大致分布在一条直线附近,所以能够认为强度S与拉伸倍数t关系近似满足线性关系。30/53

依据上述实例图中测试点分布情况,能够画出很多条靠近这些点直线,其方程都可表示为:5-1最小二乘法基本概念(1)(2)其中:a,

b

待定.要从形如(1)式全部直线中,找出一条用某种度量标准来衡量最靠近全部数据点直线.计算值

S(ti)

与测量数据

si之差为:其大小依赖于

a,

b

选取.问:怎样衡量直线与数据点偏离程度?31/53(3)注:(1)式是一条直线,但现实生活中函数关系并不都是线性关系,所以下面将问题推广到普通情况.普通使用误差加权平方和作为误差度量标准。

用ωi

表示测量数据

(ti,

si)

重度,称为权系数,表示在不一样点

(ti,si)

处数据比重不一样.作为衡量

S(t)

与数据点

(ti,

si)

(i=0,1,…,m)偏离大小度量标准.使最小

S(t)

最靠近,以此为依据可确定(1)式中确实定系数

a,

b.问:怎样确定直线方程系数

a与

b?32/53(4)(5)(6)

定义1设

为给定一组数据,为各点权系数

,要求在函数类中,求一函数使误差加权平方和最小,即最小平方误差其中:为Φ中任意函数,称为拟合函数.

称按条件(6)求函数

s*(x)方法为数据拟合最小二乘法,简称最小二乘法.数据点数-1基函数个数-1最小二乘解拟合条件问:确定拟合函数

s(x)

后,怎样求拟合系数,使得满足拟合条件?33/535-2法方程组(正规方程组)由可知为拟合系数函数.所以,可设平方误差为:求最小二乘解问题

取极小值问题34/53由多元函数取极值必要条件移项整理得:(7)交换求和号次序得:得:35/53即显然(7)式是一个关于n+1阶线性方程组.定义向量:定义内积:(9)(8)36/53方程组(7)便可化为:(10)这是一个系数为,常数项为线性方程组.将其表示为矩阵形式:(11)称为函数系在离散点法方程组.而且其系数矩阵为对称正定矩阵.坡度矩阵,Hilbert矩阵kj37/53因为为函数类Φ基,所以它们必定线性无关,所以法方程组系数矩阵非奇异,即依据Cramer法则,法方程组有唯一解:即:最小值.是38/53能够证实,是所对应最小二乘解.为均方差.称为最小二乘解平方误差.能够证实:(12)平方误差内积表示形式:故有39/53

作为一个简单情况,常使用多项式Pn(x)作为(xi,yi)(i=0,1,…,m)拟合函数,这是最常见最小二乘拟合.此时,拟合函数S(x)基函数为:(13)对应拟合函数为:函数类为多项式类时法方程组40/53基函数之间内积为:此时,法方程组为:(14)n较大时,属于病态问题

问:怎样处理上述问题?以正交多项式为基函数,简化法方程组.41/53例2

测得数据以下:试用最小二乘法求最正确数据拟合函数.i01234560.00.20.40.60.81.01.20.91.92.83.34.05.76.5解:1)在坐标平面上描点,

从散点图能够看出函数关系近似线性关系,所以选择线性函数:其基函数为作为拟合函数,2)依据散点分布情况,选择基函数.(难点)42/533)建立法方程组依据内积公式:计算以下各值:取43/53得法方程组:4)解法方程组,求拟合函数系数所以,为全部最小二乘解.求得线性函数两系数:5)求拟合误差44/5345/53最小二乘拟合普通步骤:描点(若给定拟合函数形式,这一步骤能够省略);依据数据点分布情况,确定拟合函数,深入确定拟合函数基函数;建立法方程组(包括到一些内积运算);求解法方程组(推荐使用Gauss列主元消去法),得拟合函数系数;写出拟合函数;求拟合误差:最小平方误差.46/53非线性最小二乘问题

当用非多项式函数(比如:指数函数类或幂函数类等)拟合给定一组数据时,拟合函数是关于待定参数非线性函数.若按最小二乘准则:用极值原理建立法方程组将是关于待定参数非线性方程组.称这类数据拟合问题为非线性最小二乘拟合.

简单非线性最小二乘拟合问题求解方法:转化为线性最小二乘问题求解.47/531786年(9岁),发觉1到100自然数之和是5050;1795年(18岁),进入哥廷根大学,创造最小二乘法;1796年,仅用尺规作出正17边形;1879年(22岁),证实代数学基本定理,获博士学位;18(24岁),出版《算术研究》,准确计算谷神星(最大小行星)轨迹;18左右发觉了欧氏几何原理;1828年出版《关于曲面普通研究》,系统地阐述了空间曲面微分几何学;1833年,和韦伯共同创造了有线电报;……最小二乘法创造者——高斯

高斯在数学、天文学、力学、测地学、磁学、光学、水工学和电动学等方面都有出色贡献.Gauss(1777~1855)48/53

Lagrange插值法

(高次插值多项式数值不稳定,龙格现象;每增加一个插值节点,插值多项式就得重新结构)

分段低次插值法

(收敛性和精度能得到确保;含有局部性

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