正项级数敛散性的判断及其应用

正项级数敛散性的判断及其应用摘要级数是高等数学教学中的一个重要内容，而正项级数又是级数的重要组成部分,敛散性问题级数理论的一个基本问题，判别正项级数敛散性的方法很多.本文总结了正项级数的各种敛散性判别法,主要有比较判别法及其推广、积分判别法及其推广、导数判别法和一般项级数敛散性判别法;简单介绍了它们强弱性关系,给出了典型例题验证上述判别法的有效性.关键词正项级数；判别法；敛散性TheConvergenceTestsandApplicationforSeriesofPositiveTerms!AbstractHigherMathematicsseriesisanimportantpartofteaching,TheseriesofpositivetermsisanimportantseriesPart,PositiveidentificationofConvergenceandDivergenceofmanypaperhassummarizedavarietyofconvergencejudgemethodsforpositivetermsseries,includingcomparisonprincipleanditsextension,integratedjudgemethodanditsextension,derivatejudgemethodandjudgemethodsofgeneralseries,somefamoustestssuchasCauchyTest,D’AlembertTest,KummerTestandGaussTestcomefromComparisonprinciple;givenabriefintroductionoftheirweekandstrongrelationshipofconvergence,setexamplesforidentifyingtheeffectivenessofthesejudgemethods.Keywordspositivetermsseries;judgemethods;convergence1前言历史上，人们曾把无穷个实数相加看成无穷个数的和.恰如有限个数的和一样，这在直观上容易被人接受.在《庄子·天下篇》中提到“一尺之捶，日取半截，万世不竭”，把每天截下的那一部分的长度加起来：，从直观上看，它的和是1，但是下面“无限个实数相加”的和是多少如果写成其结果是0.如果写成其结果是1.两个结果完全不同.因此提出这样的问题：“无限个数相加”是否存在“和”如果存在,“和”是多少十七八世纪的一些著名的数学家曾对此感到迷惑，并有许多争论，并给出了这个级数“和”的不同结果.例如莱布尼兹认为这个“和”是0到1之间的一个数.他论证说，这个级数前项和形成一个数列，其中0和1出现的机会相同，因此取它的平均数为这个级数的和.这一说法得到了著名数学家伯努利(Bernouli)兄弟的首肯.有人做过如下论证：既然是一个数，记为，由于，即为，得.大数学家欧拉(Euler)也主张用等比公式：，把代入得到，他用同样的讨论得到其他的一些结果.例如把代入得，而这些结果现在看起来都是荒谬的.后来人们认识到“无穷多个数相加”，这是一个根本无法操作的过程，人们不知道怎样把无穷多个数相加.经过很长一段时间，数学家柯西(Cauchy)给出了无穷级数的严格定义，之后级数理论得到了充分地发展.无穷级数是表示函数、研究函数和数值计算的重要工具，我国古代数学家刘徵创立的“割圆术”对圆面积的近似计算已具有了初步的无穷级数的概念，无穷级数在自然科学与工程技术中具有广泛的应用.级数是否存在和，即为判断级数是否收敛的问题.级数的收敛性是级数首要的重要性质.因此对于一个给定的级数，首先应判断它是否收敛.若数项级数各项符号都相同称为同号级数.对于同号级数，只须研究各项是正数组成的级数---正项级数.定义在区间的函数项级数，当在内任意取定一点时,便得到一个数项级数.自然,对函数项级数的研究极大地依赖于对数项级数的研究，而正项级数是数项级数中最基础的级数，研究数项级数的性质如绝对收敛、条件收敛，需要用到正项级数敛散性判别法，在函数项级数如幂级数收敛半径求解，函数项级数一致收敛Weierstrass判别法(M判别法或优级数判别法)中也用到了正项级数敛散性.正项级数的定义和收敛的充要条件正项级数的定义如果级数中各项均有,这种级数称为正项级数.正项级数收敛的充要条件如果级数中，部分和数列有界，即存在某正数M，对有.2比较判别法及其推广比较判别法【1】设和是两个正项级数，如果存在某个正数N，对一切n>N都有，那么若级数收敛，则级数也收敛；若级数发散，则级数也发散.推论：比较判别法的极限形式：设和是两个正项级数.若，则（1）当时，和同时收敛或同时发散；（2）当时，若级数收敛，则级数也收敛；（3）当，若级数发散，则级数也发散.定理（达朗贝尔判别法或比值判别法）设为正项级数，且存在某正整数及常数若对一切，成立不等式，则级数收敛；（2）若对一切，成立不等式，则级数发散.推论（达朗贝尔判别法的极限形式）设为正项级数，且，则(1)当时，级数收敛；(2)当或时，级数发散.推论若为正项级数，则（1）当时，级数收敛；（2）当时，级数发散.例讨论级数的敛散性.解令，则，所以,当时，即时，收敛，故原级数收敛；当时，即时，发散，故原级数发散.例讨论级数的敛散性.解令，，则.则，由推论得级数发散.定理（柯西判别法）设为正项级数，且存在某正整数及正常数,(1)若对一切，不等式成立，则级数收敛;(2)若对一切，不等式成立，则级数发散.推论（柯西判别法的极限形式）设为正项级数，且.则(1)当时，级数收敛；(2)当时，级数发散.定理设为正项级数，若，则当时，收敛;当时，发散.证明当时，取，使，则，.取，则，，由极限保号性得，，故，，而收敛，由引理知收敛；当时，由，对任意的当充分大时，有与，取，则，，对任意的当充分大时，有与，取，则当充分大时，有，，由引理知发散.例判断正项级数的敛散性.解，故由达朗贝尔判别法无法判断，而，，由定理得收敛.推论设为正项级数，若,当时，收敛，当时，发散.推论设为正项级数，若且，则当时，收敛；当时，发散.推论设为正项级数，且，若,则；若，则.3积分判别法 引理正项级数收敛的充要条件是：部分和数列有界，即存在某正整数，对一切正整数有.定理设为上非负递减函数，那么正项级数与反常积分同时收敛或同时发散.例讨论级数的敛散性.解由定理知级数与反常积分具有相同的敛散性，而，当时收敛，当时发散.故当时级数收敛，当级数时发散.定理设函数是单调递减的正值函数，如果存在充分大的，当时，有，则当时，级数收敛；若，级数发散.证明当时，有，对任意正数，有，变量替换后得.取如下序列，，故上述积分变为故有故有所以发散，由引理知发散.若，则,由比较判别法，收敛，由定理知收敛.推论设函数是单调递减的正值函数，又设，则当时，级数收敛；当时，级数发散.例讨论级数的敛散性.解令，且，当，即，或当，时，，则级数收敛；当时，，则级数发散.4导数判别法定理（导数极限判别法）设为正项级数，是一连续实函数，若级数收敛，则.定理设为正项级数，是一连续实函数且在处二阶可导，则级数收敛的充分必要条件是.证明必要性.由定理得.设，，由归结原理得，取，当时，，即，而发散，由比较判别法，得发散;当，，由归结原理得.对任意正整数，存在正整数，当时，，即，由比较判别法，得发散，与条件矛盾，故.充分性对于任意的有，于是由归结原理，而收敛，故收敛.例判断级数的敛散性.解级数为正项级数，为连续二阶可导函数，且,由定理知发散.例判断级数的敛散性.解级数为正项级数，为连续二阶可导函数，且，由定理知收敛.5两种一般项级数收敛性的方法阿贝尔判别法定理(阿贝尔判别法)若为单调有界数列，且收敛，则收敛.例讨论级数的敛散性.解为单调递减有界数列，且收敛，由阿贝尔判别法知级数收敛.例讨论级数的敛散性.解数列单调有界，且收敛，由阿贝尔判别法知收敛.狄利克雷判别法定理(狄利克雷判别法)若数列为单调递减，且，又级数的部分和有界，则收敛.例讨论的敛散性.解.因为当时单调下降趋于零，又，，由狄利克雷判别法知级数收敛.而级数发散，故级数发散.判断一般项级数收敛性的方法，也适用于正项级数.若正项级数可以看成两级数通项乘积的形式，则可利用上述两种方法判断之.6结束语级数理论是数学分析的重要组成部分，无穷级数是表示函数、研究函数和数值计算的重要工具，无穷级数在自然科学与工程技术中具有广泛的应用.而正项级数又是级数理论中重要的组成部分，级数的收敛性是级数重要性质.判断正项级数的一般顺序是先检验通项的极限是否为，若不为，则发散，若为，则判断级数的部分和是否有界，有界则收敛，否则发散.若级数的一般项可以进行适当的放缩则使用比较判别法，或可以找到其等价式用等价判别法.当通项具有一定的特点时，则根据其特点选择适用的方法，如达朗贝尔判别法、柯西判别法或拉贝判别法等.同时，根据条件选择积分判别法或导数判别法等.由此，我们可以得到正项级数的判别法是多种多样的，每当一种判别法无法判断时，就出现一种新的判别法来进行判断，因此对正项级数的判别法的探讨无穷无尽.正项级数收敛性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，根据不同的题目特点选择适宜的方法进行判断，能够节约时间，提高效率，特别是一些典型问题，运用典型方法，才能事半功倍.本文归纳正项级数收敛性判断的一些典型方法，收集了一些典型例题.正项级数收敛判别法也可用于判定负项级数及变号级数的绝对收敛性的判断，也可以推广到函数项级数的敛散性判别中.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析(第三版)[M].北京：高等教育出版社，2006:6-16.[2]李铁烽.正项级数判敛的一种新的比值判别法[J].北京：数学通报,1990,(1):46-47.[3]龙艳.关于正项级数收敛性判断的一个推广[J].长春师范学院学报,2009,28(6):1-3.[4]冯江浪.关于一些特殊正项级数敛散性的判别法[J].中国科技信息,2009,(1):25.[5]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京：高等教育出版社，2006:448-452.[6]刘玉璞.导数在正项级数敛散性判定中的应用[J].高等数学研究，1994,(2)：13-14.致谢四年时光飞逝，大学即将毕业，在这里我要向数学系的老师同学们，尤其是我的指导老师王树泽老师表示诚挚的感谢！在写作过程中您对我进行了细心地指导，悉心地点拨，不