推理与证明(复习课)-好省名师优质课赛课获奖课件市赛课百校联赛优质课一等奖课件

推理与证实(复习课)1/39推理与证实推理证实合情推理演绎推理直接证实数学归纳法间接证实类比推理归纳推理分析法综正当反证法知识结构2/39复习:

从一个或几个已知命题得出另一个新命题思维过程称为推理.1.什么叫推理?2.合情推理主要形式有

和

.归纳类比3/39归纳推理由部分到整体、特殊到普通推理;以观察分析为基础,推测新结论;含有发觉功效;结论不一定成立.4/39例.黑白两种颜色正六边形地砖按如图规律拼成若干个图案:则第n个图案中有白色地砖

块.第1个第2个第3个2(2n+1)5/39(06广东,14)在德国不来梅举行第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用一样乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4,…堆最底层（第一层）分别按图所表示方式固定摆放，从第二层开始，每层小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n堆乒乓球总数，则f(3)=

;

f(n)=

（答案用n表示）.…106/39设第n堆由上到下,第n层有an个乒乓球,则7/39【评析】经过归纳推理得出结论可能正确，也可能不正确，它正确性需经过严格证实，猜测所得结论即可用演绎推理给出证实.即使由归纳推理所得出结论未必是正确，但它所含有由特殊到普通、由详细到抽象认识过程，对于数学发觉、科学创造是十分有用.经过观察试验，对有限资料作归纳整理，提出带有规律性猜测，也是数学研究基本方法之一，归纳推理普通步骤是：（1）经过观察个别情况发觉一些相同性质；（2）从已知相同性质中推出一个明确表示普通性命题（猜测）.8/39类比推理由特殊到特殊推理;以旧知识为基础,推测新结果；结论不一定成立.含有发觉功效;9/39类比推理普通步骤：⑴找出两类对象之间能够确切表述相同特征；⑵用一类对象已知特征去推测另一类对象特征，从而得出一个猜测；⑶检验猜测。即

观察、比较联想、类推猜测新结论10/39(06广东,10)对于任意两个实数对(a,b)和(c,d)，要求：(a,b)=(c,d),当且仅当a=c,b=d；运算“”为：运算“”为：设p,q∈R，若，则()A.(4，0)B.(2，0)C.(0，2)D.(0，-4)由得B11/39【评析】依据两类不一样事物之间含有一些类似（或一致）性，推测其中一类事物含有与另一类事物类似（或相同）性质，这么推理叫类比推理（简称类比）.类比推理是由特殊到特殊一个推理形式，类比结论可能是真，也可能是假，所以类比推理属于合情推理.即使类比推理结论可能为真，也可能为假，不过它由特殊到特殊认识功效，对于发觉新规律和事实却十分有用.类比推理应从详细问题出发，经过观察、分析、联想进行对比、归纳、提出猜测.平面图形中面积与空间图形中体积经常是类比两类对象.类比推理普通步骤是：（1）找出两类事物之间相同性或一致性;（2）用一类事物性质去推测另一类事物性质，得出一个明确命题（猜测）.12/39在等差数列{an}中，若a10=0，则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n＜19,n∈N*)成立，类比上述性质，对应地:在等比数列{bn}中，若b9=1，则有等式

成立.13/39

b1b2…bn=b1b2…b17-n(n＜17,n∈N*)(由题设可知，假如am=0，则有a1+a2+…+an=a1+a2+…+a2m-1-n(n＜2m-1,n∈N*)成立，假如m+n=p+q，其中m，n,p,q是自然数，对于等差数列，则有am+an=ap+aq，而对于等比数列，则有bmbn=bpbq，所以能够得到结论，若bm=1，则有等式b1b2…bn=b1b2…b2m-1-n(n＜2m-1,n∈N*)成立，在本题中m=9.)14/39归纳推理：类比推理：试验、观察概括、推广猜测普通性结论观察、比较联想、类推猜测新结论简言之：归纳:特殊普通类比:特殊特殊简言之：合情推理15/39归纳推理和类比推理共同点

从详细问题出发观察、分析、比较、联想归纳、类比提出猜测16/39从普通性原理出发，推出某个特殊情况下结论，这种推理称为演绎推理．注：１．演绎推理是由普通到特殊推理；２．“三段论”是演绎推理普通模式；包含⑴大前提---已知普通原理；⑵小前提---所研究特殊情况；⑶结论-----据普通原理，对特殊情况做出判断．演绎推理17/39三段论基本格式M—P（M是P）S—M（S是M）S—P（S是P）（大前提）（小前提）（结论）18/39演绎推理（练习）19/39在锐角三角形ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，D,E是垂足.求证：AB中点M到D,E距离相等.考点演绎推理【分析】解答本题需要利用直角三角形斜边上中线性质作为大前提.20/39【证实】（1）因为有一个内角是直角三角形是直角三角形——大前提在△ABD中，AD⊥BC，即∠ADB=90°——小前提所以△ABD是直角三角形——结论（2）因为直角三角形斜边上中线等于斜边二分之一——大前提而M是Rt△ABD斜边AB中点，DM是斜边上中线——小前提所以DM=AB.同理EM=AB.所以DM=EM.21/39【评析】演绎推理主要形式就是由大前提、小前提推出结论三段论推理.三段论推理依据用集合论观点来讲就是：若集合M全部元素都含有性质P，S是M子集，那么S中全部元素都含有性质P.三段论公式中包含三个判断：第一个判断称为大前提，它提供了一个普通原理；第二个判断叫小前提，它指出了一个特殊情况;这两个判断联合起来，揭示了普通原理和特殊情况内在联络,从而产生了第三个判断结论.演绎推理是一个必定性推理,演绎推理前提与结论之间有蕴涵关系.因而，只要前提是真实，推理形式是正确，那么结论必定是真实，但错误前提可能造成错误结论.22/39直接证实分析法解题方向比较明确，利于寻找解题思绪；

综正当条理清楚，易于表述。通常以分析法寻求思绪，再用综正当有条理地表述解题过程分析法综正当概念23/39直接证实综正当和分析法推证过程以下：综正当已知条件结论分析法结论已知条件24/39综正当利用已知条件和一些数学定义、定理、公理等，经过一系列推理论证，最终推导出所要证实结论或所要处理问题结果。条件结论推理论证条件定理公理定义PQ1Q1Q2Q2Q3QnQ…(顺推证法、由因导果法)25/39证为数为数证一.综正当26/39证为数为数证27/39【评析】（1）在用综正当证实不等式时，常利用不等式基本性质，如同向不等式相加、同向不等式相乘等，但在利用这些性质时，一定要注意这些性质成立前提条件.简言之，综正当是一个由因索果证实方法，其逻辑依据也是三段论式演绎推理方法.（2）普通问题都是用综正当处理，要确保前提条件正确，推理合乎规律，这么才能确保结论正确性.28/39在锐角三角形ABC中,求证：sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC.＊对应演练＊29/39证实:∵锐角三角形ABC中，A+B＞,∴A＞-B.∴0＜-B＜A＜.又∵在（0,）内正弦函数是单调递增函数,∴sinA＞sin（-B）=cosB.即sinA＞cosB.①同理，sinB＞cosC,②sinC＞cosA.③由①+②+③得sinA+sinB+sinC＞cosA+cosB+cosC.30/39普通地，从要证实结论出发，逐步寻求使它成立充分条件，直至最终，把要证明结论归结为判定一个显著成立条件（已知条件、定理、定义、公理等）。QP1P1P2P2P3得到一个显著成立条件…分析法(逆推证法、执果索因法)用Q表示要证实结论，则分析法可用框图表示为：31/39【分析法】要证

只需证

只需证

显然成立所以结论成立格式32/39【证实】要证只要证∵a>0,故只要证考点分析法证实已知a>0,求证:【分析】所给条件简单,所证结论复杂,普通采取分析法.33/39从而只要证只要证即,而上述不等式显然成立,故原不等式成立.即34/39【评析】分析法是数学中惯用到一个直接证实方法,就证实程序来讲,它是一个从未知到已知(从结论到题设)逻辑推理方法.详细地说,即先假设所要证实结论是正确,由此逐步推出确保此结论成立充分条件,而当这些判断恰恰都是已证命题(定义、公理、定理、法则、公式等）或要证命题已知条件时命题得证.35/39反证法证实过程否定结论——推出矛盾——必定结论，即分三个步骤：反设—归谬—存真用反证法证实命题过程用框图表示为：

必定条件否定结论导致逻辑矛盾反设不成立结论成立36/39【分析】本题结论以“最少”形式出现，从正面思索有各种形式，不易入手，故可用反证法加以证实.考点反证法证实若x,y都是正实数，且x+y＞2,求证：或中最少有一个成立.37/39【证实】假设或都不成立,则有和同时成立.因为x＞0且y＞0，所以1+x≥2y,且1+y≥2x.两式相加，得2+x+y≥2x+2y.所以x+y≤2.这