解析几何与曲面方程专题名师优质课获奖市赛课一等奖课件

第一节、空间解析几何

与曲面方程

1.空间解析几何介绍

一、空间点直角坐标

二、空间两点间距离

第六章

第1页横轴纵轴竖轴定点空间直角坐标系三个坐标轴正方向符合右手系.一、空间点直角坐标机动目录上页下页返回结束第2页Ⅶ面面面空间直角坐标系共有八个卦限ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅧ机动目录上页下页返回结束第3页空间点有序数组特殊点(及对称点)表示：坐标轴上点坐标面上点机动目录上页下页返回结束第4页坐标轴:坐标面:机动目录上页下页返回结束第5页二、空间两点间距离机动目录上页下页返回结束第6页空间两点间距离公式特殊地：若两点分别为机动目录上页下页返回结束第7页四、二次曲面五、平面一、曲面方程概念二、旋转曲面

三、柱面机动目录上页下页返回结束2.曲面及其方程

难点

第8页一、曲面方程概念求到两定点A(1,2,3)

和B(2,-1,4)等距离点化简得即说明:动点轨迹为线段

AB垂直平分面.引例:显然在此平面上点坐标都满足此方程,不在此平面上点坐标不满足此方程.解:设轨迹上动点为轨迹方程.

机动目录上页下页返回结束第9页定义1.假如曲面

S

与方程

F(x,y,z)=0有下述关系:(1)曲面

S上任意点坐标都满足此方程;则F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0图形.两个基本问题:(1)已知一曲面作为点几何轨迹时,(2)不在曲面S上点坐标不满足此方程,求曲面方程.(2)已知方程时,研究它所表示几何形状(必要时需作图).机动目录上页下页返回结束第10页故所求方程为例1.

求动点到定点方程.尤其,当M0在原点时,球面方程为解:

设轨迹上动点为即依题意距离为

R

轨迹表示上(下)球面.机动目录上页下页返回结束第11页例2.研究方程解:

配方得此方程表示:说明:以下形式三元二次方程

(A≠0)都可经过配方研究它图形.其图形可能是曲面.表示怎样半径为球面.球心为一个球面,或点,或虚轨迹.机动目录上页下页返回结束第12页定义2.一条平面曲线二、旋转曲面

绕其平面上一条定直线旋转一周所形成曲面叫做旋转曲面.该定直线称为旋转轴.比如:机动目录上页下页返回结束第13页建立yoz面上曲线C

绕

z

轴旋转所成曲面方程:故旋转曲面方程为当绕

z轴旋转时,若点给定yoz

面上曲线

C:则有则有该点转到机动目录上页下页返回结束第14页思索：当曲线C绕y轴旋转时，方程怎样？机动目录上页下页返回结束第15页例3.试建立顶点在原点,旋转轴为z轴,半顶角为圆锥面方程.解:在yoz面上直线L方程为绕z

轴旋转时,圆锥面方程为两边平方机动目录上页下页返回结束第16页例4.

求坐标面xoz

上双曲线分别绕

x轴和

z

轴旋转一周所生成旋转曲面方程.解:绕

x

轴旋转绕

z

轴旋转这两种曲面都叫做旋转双曲面.所成曲面方程为所成曲面方程为机动目录上页下页返回结束第17页三、柱面引例.分析方程表示怎样曲面.坐标也满足方程解:在xoy面上，表示圆C,沿曲线C平行于z轴一切直线所形成曲面称为圆故在空间中过此点作柱面.对任意

z,平行z

轴直线

l,表示圆柱面在圆C上任取一点其上全部点坐标都满足此方程,机动目录上页下页返回结束第18页定义3.平行定直线并沿定曲线C移动直线l形成轨迹叫做柱面.

表示抛物柱面,母线平行于z轴;准线为xoy面上抛物线.

z轴椭圆柱面.

z轴平面.

表示母线平行于(且z

轴在平面上)表示母线平行于C叫做准线,l

叫做母线.机动目录上页下页返回结束第19页普通地,在三维空间柱面,柱面,平行于x

轴;平行于

y

轴;平行于

z

轴;准线

xoz

面上曲线l3.母线柱面,准线

xoy

面上曲线l1.母线准线

yoz面上曲线l2.母线机动目录上页下页返回结束第20页四、二次曲面三元二次方程适当选取直角坐标系可得它们标准方程,下面仅就几个常见标准型特点进行介绍.研究二次曲面特征基本方法:截痕法其基本类型有:椭球面、抛物面、双曲面、锥面图形通常为二次曲面.(二次项系数不全为0)机动目录上页下页返回结束第21页1.椭球面(1)范围：(2)与坐标面交线：椭圆机动目录上页下页返回结束第22页与交线为椭圆：(4)当a＝b时为旋转椭球面;一样截痕及也为椭圆.当a＝b＝c时为球面.(3)截痕:为正数)机动目录上页下页返回结束第23页2.抛物面(1)椭圆抛物面(p,q

同号)(2)双曲抛物面（鞍形曲面）尤其,当p=q时为绕z轴旋转抛物面.(p,q同号)机动目录上页下页返回结束第24页3.双曲面(1)单叶双曲面椭圆.时,截痕为(实轴平行于x

轴；虚轴平行于z轴）平面上截痕情况:机动目录上页下页返回结束双曲线:第25页虚轴平行于x轴）时,截痕为时,截痕为(实轴平行于z

轴;机动目录上页下页返回结束相交直线:双曲线:第26页(2)双叶双曲面双曲线椭圆注意单叶双曲面与双叶双曲面区分:双曲线单叶双曲面双叶双曲面P18目录上页下页返回结束图形第27页4.椭圆锥面椭圆在平面x＝0或y＝0上截痕为过原点两直线.能够证实,椭圆①上任一点与原点连线均在曲面上.①(椭圆锥面也可由圆锥面经x或y方向伸缩变换得到)机动目录上页下页返回结束第28页五、平面普通方程设有三元一次方程以上两式相减,得平面点法式方程此方程称为平面普通任取一组满足上述方程数则显然方程②与此点法式方程等价,

②平面,所以方程②图形是法向量为方程.机动目录上页下页返回结束第29页特殊情形•

当

D=0时,Ax+By+Cz=0表示

经过原点平面;•当

A=0时,By+Cz+D=0法向量平面平行于x轴;•当B=0时,Ax+Cz+D=0表示•当C=0时,Ax+By+D=0表示•当A=B=0时,Cz+D=0表示•当B=C=0时,Ax+D=0表示•当A=C=0时,By+D=0表示平行于

y

轴平面平行于

z

轴平面平行于xoy面平面平行于yoz面平面平行于zox面平面机动目录上页下页返回结束第30页内容小结1.空间曲面三元方程球面