理解数学与稚化思维-搞好数学教学设计的关键省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

了解数学与稚化思维

——谈搞好数学教学设计关键

李祎教授博士

福建师范大学数学与计算机科学学院

福建省中学数学学科带头人培训班上汇报1/60目录一、了解数学：数学教学设计前提1、学生学习水平取决于教师素质2、数学了解重于形式运算3、数学了解几个方面4、了解基本策略是追问二、稚化思维：数学教学设计关键1、教师教学类型2、稚化思维内涵及意义3、稚化思维教学设计策略2/60一、了解数学：数学教学设计前提数学教育，自然是以“数学”内容为关键。数学教学优劣，自然应以学生能否学好“数学”为依归。即方法与伎俩必须为数学内容服务。但在当前，一提到教师培训、业务研讨，想到都是数学教学理念，数学教学方法与技巧，而数学学科知识本身则受到冷落。人们对教学方法研究情有独钟。研究教学导入艺术，研究指导探究艺术，研究练习设计艺术……但却唯独忘了研究那些貌似简单却内涵深刻中小学数学知识。3/60“木桶效应”告诉我们，一位教师某方面素质缺失，就会影响他全部能力发挥。作为一名数学教师，需要经常问自己：“我懂数学吗？”还要不停反思：“怎样使自己成为一名懂数学数学教师？”为何计算时要先乘除后加减？（见后）负数乘以负数为何会得到正数？为何分数相加分母不变分子相加？（见后）4/60袁隆平：“我最喜欢外语、地理、化学，最不喜欢数学，因为在学正负数时候，搞不清为何负负相乘得正，就去问老师，老师说‘你记得就是’；学几何时，对一个定理有疑义，去问，还是一样回答，我由此得出结论，数学不讲道理，于是不再理会，对数学兴趣不大，成绩不好”。数学原本就是这么？还是数学教师教学使然？5/60著名华人数学家、哈佛大学教授丘成桐兴冲冲地赶到杭州，去与一群刚在高考中取得好成绩数学尖子见面。结果却让他颇为失望：“大多数学生对数学根本没有清楚概念，对定理不甚了了，只是做习题机器。这么教育体系，难以培养出什么数学人才。”6/601、学生学习水平取决于教师素质庸师如同庸医一样，不但不能教好学，反而会把学生越搅越糊涂，甚至会贻误学生终生。教书匠就是知识搬运工，把自己会东西简单搬运给学生，没有智慧，没有思维火花，不会贻误学生一生，但也没有太大发展。经师，不但能教给学生知识和技能，而且能培养学生含有一定能力，这属于较高水平教师。人师，不但给学生知识和能力，还能给学生智慧，更能在人格上、思想上影响学生，使学生在学习中学到了知识，掌握了能力，产生了智慧，形成了健康人格。7/602、数学了解重于形式运算数学了解几个层次：零层次：不知其然者，全无了解；第一层次：“知其然”，即掌握结果、结论，知道“是什么”；第二层次：不但“知其然”，而且“知其所以然”，即掌握结论之因，知道“为何”；第三层次：这还不够，还要弄明白“何由以知其所以然”，即怎样想到这么定义、这个解法或证实，这就包括到思想方法，从而到达了了解观念性层次。

8/60示例：导数与定积分旧教材：先讲极限，再引入导数、定积分概念，把导数、定积分作为特殊极限来处理。这种建立导数、定积分概念方式含有较强逻辑性和系统性，但因为高中学生极难认识和了解极限定义，他们在学习了极限以后，留在头脑中印象往往是：极限就是一些形式化计算。这种把导数和定积分作为特殊极限处理展现方式影响了学生对导数、定积分本质了解。9/60课标教材：不专门介绍极限形式化定义及相关知识，不把导数、定积分作为一个特殊极限来处理，而是直接经过反应导数和定积分思想和本质详细实例，使学生体会其思想，了解其含义。教师必须转变微积分主要内容就是形式化计算传统观念，准确把握教学要求，在导数、定积分概念引入上多下工夫，并让学生经过不停应用来了解导数和定积分本质。（“微积分”）为达成数学了解，教材编制时：重思想引导，轻形式化表述；重实践认知，轻机械操作。10/603、数学了解几个方面（1）厘清“是什么”在随机试验中，每一个可能出现情况，称为一个“基本事件”。

互斥性；可表性。示例一：基本事件是相正确还是绝正确？在连续两次掷一枚骰子随机试验中，向上点数之和是偶数概率是多少？教师甲：P(A)=18/36=1/211/60（1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6）（2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6）（3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6）（4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6）（5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6）（6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6）12/60教师乙：第一次：奇偶第二次：奇，偶奇，偶基本事件共有4个，即：（奇，奇）（奇，偶）（偶，奇）（偶，偶）P(A)=1/2区分在于确定基本事件方法不一样。甲按照点数详细值找基本事件，乙按照点数奇偶找基本事件。在同一个处理问题过程中，基本事件应是不能再分或无须再分事件。13/60示例二：概率是频率极限吗？“普通地，在大量重复试验中，假如事件A发生频率会稳定在某个常数p附近，那么事件A发生概率P(A)=p”

要注意防止以下了解：

“频率稳定值就是概率预计值”。实际上，频率稳定值就是概率，不过很多时候无法仅从试验中知道频率稳定值详细是多少。

“伴随试验次数增加，频率就越来越靠近于概率”。实际上，频率稳定于概率并不是说频率极限就是概率，而是频率依某种收敛意义趋于概率，即满足大数定律。14/60（2）追问“为何”为何要提出这一数学概念？为何要这么而不是那样对概念下定义？为何要作出这么数学约定？问为何越多，得到学问就可能越多；问为何越深，认识就必定越透彻、深入。如此，才能“不但讲推理，更要讲道理。”示例一：集合“三性”示例二：函数定义树立正确数学观：绝对值是正数吗？无限观？15/60示例三：为何“先乘除后加减”例1某化肥厂要生产4000吨化肥，假如天天生产150吨，生产了12天，还剩多少吨没有完成？若要求“先乘除，后加减”，则算式就不要加括号：4000－150×12；若要求“先加减，后乘除”，则算式就必须加括号：4000－（150×12）．例2三年级同学要浇300棵树，已经浇了180棵树，剩下分3次浇完，平均每次浇多少棵树？若要求“先乘除，后加减”，则算式就必须加括号：（300－180）÷3；若要求“先加减，后乘除”，算式就不要加括号：300－180÷3．

16/60例1两种算法：①4000－（150＋150＋150＋150＋150＋150＋150＋150＋150＋150＋150＋150）②4000－150×12从这里，不难看出应先做乘法，后做减法，也就说明了“先乘除后加减”要求合理性．乘法作为一个高级运算，用乘法计算相同加数和，能够大大提升计算效率，使计算简便。所以，在碰到形如“x+a+a+…+a(b个a)”计算问题时，自然就会想到先用乘法算b个a和(a×b)，然后再加x。17/60

示例四：分数为何要这么相加减？在小学数学教材中，分数相加减规则是:两个同分母分数相加减，分母不变，分子相加减；异分母分数相加减，通分变成同分母后相加减。为何要这么定义分数加减法呢？合理解释是：因为自然数以“1”为标准，“1”是自然数单位，所以任何两个自然数都能够直接相加减。不过，不一样分数有着不一样分数单位。同分母分数，因为它们分数单位相同，所以能直接相加减。异分母分数，因为它们分数单位不一样，所以不能直接相加减。18/60但在处理实际问题当中，经常也会碰到这么情形：两个分数相加减，将它们分子、分母分别相加减。比如，甲乙两个队踢足球，第一场2∶3，第二场1∶2，总比赛结果就是3∶5。又如，假设在每50名男性中，患胃病人有13人；在每50名女性中，患胃病人有8人。此时，男性患胃病百分比为13/50，女性患胃病百分比为8/50。现在需要描述总体患病率，那么只能是21/100。19/60分数相加减规则，也是一个人为约定。那么，人们约定分数加减法规则，为何是前者而不是后者呢？仔细分析不难发觉，后者这个加减法规则，其缺点是:不能和自然数加减法相容。分数加减法其实有两种，前者称之为分数数量加减法，后者称之为分数百分比加减法。通常加减法之所以要求为数量加减法，是为了使之能够和自然数加减法兼容。20/60（3）建构内容联络对教学内容进行设计时，不能“就事论事”，仅仅考虑到这一“点”知识，这么可能会“见木不见林”。在对教材进行分析时，要树立“整体观”，要从教学系统“宏观视野”显现情况与课堂运行“微型框架”两方面进行结构化设计。学习理论当代研究表明，组织良好知识是围绕关键概念或“大观点”组织。布鲁纳学科基本结构思想。21/60布鲁纳认为，学习实质是一个人把同类事物联络起来，并把它们组织成赋予它们意义结构。学习就是认知结构组织和重新组织。知识学习就是在学生头脑中形成各学科知识结构。这种知识结构是由学科知识中基本概念、基本思想或基本原理组成。布鲁纳：学习知识就是学习事物是怎样相互关联。“不论我们选教什么学科，务必使学生了解各门学科基本结构”。22/60比如在概念教学中，在一节课中找到了概念关键，也就处理了“这一节课你教学终究要干什么”方向性问题。所谓概念关键，是指经过对一节课或一个单元、一章，乃至一个数学分支中主要概念进行解构，析出有共同本质指向、主要、不可或缺基础概念。23/60

示例一：小学数学结构略图数及其计算：自然数→分数→小数；加→减、乘、除；算理→算法图形及其度量：点，线，面，形，体（三角形与圆；分解与组合）图形度量：长度，角度，面积，体积图形性质：相等，平行，垂直数据统计及其分析：定义统计量→确定算法→结果分析平均数，众数，中位数24/60示例二：二分法在“二分法”教学中，“迫近思想”就是这节课关键思想。相对于“迫近思想”，“二分法”倒是次要，它仅是实现“迫近”一个详细伎俩，“三分法”“四分法等也未尝不可。大学计算数学中，还要学习牛顿法、弦截法等迫近方法。其教学线索应是：方程解问题，函数零点问题，迫近问题，缩小区间问题，怎样缩小问题，二分法问题。25/6026/60示例三：直线一条直线有一个点和一个方向就确定了，而直线方向本质就是直线倾斜程度。故直线倾斜程度也就成了全部直线问题关键概念。

“直线斜率”因为它没有不可或缺性，即使是非常主要概念，但不是概念关键。认为直线关键是“直线倾斜程度”话，那么后续教学还能够由向量法为主导，不但能够让“斜率”得到本质解构，即把几何要素转化为代数运算解析法思想，而且为“直线与方程”教学打开更辽阔视野。（教学法颠倒？）27/60（4）挖掘思想方法数学思想是对数学对象本质认识，是对详细数学概念、命题、规律、方法等认识过程中提炼概括基本观点和根本想法。数学方法是指数学活动中所采取路径、方式、伎俩、策略等。显性知识是写在教材上一条明线，隐性思想是潜藏其中一条暗线。数学思想方法教学一定要注意“过程性”，“没有过程就等于没有思想”，要让学生在过程中去逐步体会和了解。28/60示例一：对数函数及其性质经过图像研究函数性质——数形结合思想；经过详细函数性质归纳出普通函数性质——从特殊到普通归纳思想；区分和两种情况来讨论函数性质——分类讨论思想；经过与指数函数对比来研究对数函数——类比思想方法；对数概念引出及对数性质应用实例——数学模型思想方法。示例二：函数单调性29/60哲学视角：形式与内容；运动与静止；偶然与必定；现象与本质；原因与结果；整体与局部；有限与无限；等。思维视角：观察与试验；类比与猜测；归纳与演绎；分析与综合；抽象与概括；特殊与普通；比较与分类

；等。数学视角：1、全局性方法：数学模型方法；关系映射反演方法；公理化方法；坐标方法；等。2、技巧性方法：解题策略层面；解题方法层面；解题技巧层面。高考考试说明：函数与方程思想；数形结合思想；分类与整合思想；化归与转化思想；特殊与普通思想；有限与无限思想；必定与或然思想。30/604、了解基本策略是追问（1）经过追问形成正确认识教学首先要处理“教得对不对”问题，再处理“教得好不好”问题。经过追问，养成从数学科学视角审阅数学课程内容思维习惯，切实防止出现科学性错误。示例一：有了角度制为何还要引进弧度制？示例二：指数函数中为何要要求a>031/60（2）经过追问取得深层了解对任何事物了解，均存在表层了解和深层了解。对数学知识了解，也是如此。比如，自然数含义实际上有两种，即基数含义和序数含义。当用来表示事物数量，即被数物体有“多少个”时，这就是自然数基数意义；当用来表示事物次序，即最终被数物体是“第几个”时，就是自然数序数意义。示例一：零为何不能作除数？示例二：对数函数中为何要要求a≠132/60（3）经过追问拓展学科知识追问不但能够从纵向取得对数学知识深刻了解，还能够从横向拓广自己数学视野，从而使教师专业知识结构建构，不但精深而且广博。学问广博，学识丰富，这么才能以一个宏观、联络、发展观念去对待数学，而不拘泥于局部、零碎、静态认识，才能从更高角度了解数学，才能在教课时信手拈来、游刃有余。示例一：一元三次方程有求根公式吗？示例二：有等和数列与等积数列吗？33/60（4）经过追问取得较高观点教师要做到“深入浅出”，就是要学到应有深度，这么才可能在教学中浅出。示例一：正整数个数比偶数个数多吗？示例二：以下和式极限存在吗？S=（1﹣1）﹢（1﹣1）﹢（1﹣1）﹢…S=1﹣（1﹣1﹢1﹣1﹢1﹣…）34/60（5）经过追问形成多元化思绪示例一：对绝对值不等式了解动静转换数形结合更多应用35/60示例二：二项式定理证实能否严格进行推导和证实？36/60二、稚化思维：数学教学设计关键1、教师教学类型深入深出型，就是自己知识很丰富、很深奥，交给学生知识也很深奥，结果学生听得晕晕乎乎不明所以然。浅入深出型，自己知识很贫乏，能够说是腹中空空，但却要装很有学问，把原来浅显问题讲得云山雾罩，让学生是丈二和尚摸不着头脑。浅入浅出型，就是自己知道并不多，但老老实实地用通俗语言教给学生，最少学生听得明白、学得会，虽说不会有太多提升，但能学到一些知识。深入浅出型，自己学问很深，但能用通俗、易懂语言传递给学生，把枯燥知识生动化，把艰涩难懂知识通俗化，学生听得懂、学得会。（深入；浅出）37/602、稚化思维内涵及意义（1）稚化思维内涵教师最擅长就是饰演“先知先觉”上帝角色。他们已经知道了所要学习某知识存在，所以在教课时总是千方百计地让学生很快地取得这一知识，而不是让学生返回到知识生成原生状态，让学生把相关知识意义创造出来。数学教学一直是一个“为我”状态而不是“为他”状态，教师经常只是站在自己认知角度、而不是站在学生认知心理角度来考虑问题。38/60教学设计思绪与知识内在结构和学生认识过程友好同时。（序）所谓稚化思维，就是教师把自己外在权威隐蔽起来，教课时不以知识丰富教师自居，而是把自己思维降格到学生思维水平，亲近学生，靠近学生，有意识地退回到与学生相仿思维状态，设身处地地琢磨学生学习水平、状态等，有意识地生发一个陌生感、新鲜感，以与学生一样认知兴趣、一样学习情绪、一样思维情境、共同探究行为来完成教学友好共创。稚化思维与讲解教学。39/60波利亚:“让你学生提问题，要不就象他们自己提问那样由你去提出这些问题；让你学生给出解答，要不就象他们自己给出那样由你去给出解答。”（数学发觉）这就要讨教师在教学设计中，要有意识地退回到与学生相仿思维态势，经过“心理换位”对本身自我监控进行必要加工和处理，使教学设计中展现教学思绪更贴近学生实际。40/60（2）稚化思维意义①有利于引发思维共振学习就是学生思维结构向教授思维结构转化过程。须在教授与学生思维活动之间架设桥梁。教师以自己知识水平去思索，把思索过程和结果教给学生，学生往往知其然不知其所以然。（过程性）数学家萧荫堂:“有时教授备课不足，笨手笨脚地算错了数，从他搔着首、念念有词更正中，反而能够看出他思绪，真正学到些东西。”教师：悬置知识，稚化思维，使师生之间在认识程序上到达“同频”，引发教与学“共振”。41/60②有利于降低认知难度学生在学习中碰到困难，多数源于教学过程起点过高，或先前认知经验不足。（间接性，技巧性）教师稚化自己思维，降低教学起点，与学生一起走入学生原有经验中去，在学生原有思维水平上展开教学，顺着他们思维逐步展开，在思维水到渠成中掌握新知识，这么能够大大降低学习新知识难度。（循循善诱，自然流畅）42/60③有利于拉近情感距离苏霍姆林斯基：“教师必须在某种程度上变成孩子。”稚化成熟思维，在稚化中调协情感阀门和思维按钮，让教师和学生心灵“频率”同时，与学生实现心灵共振，真正地飞进孩提心灵世界。《教育心理学》指出：要使学生接收你观点，你就必须同学生保持“同体观”关系——即“自己人效应”，这么就拉近了双方心理距离。43/603、稚化思维教学设计策略（1）分析问题以学生认知结构为起点分析问题：增加从旧知识到新知识层次，尽可能减小思维落差，帮助学生从原有知识和经验中找到“支架”。教学设计要从学生真实问题和经验出发，而不是从数学教材或从教师假想问题和经验出发。所谓真实问题，即是学生头脑中真正存在问题，是作为新知识固着点问题。所谓真实经验，即是学生头脑中已经有经验，是作为新知识生长点经验。44/60教师经常对数学对象本质与学生个体认识实质性关联揭示不够，没有真正揭示出学习任务与学生固有认识矛盾，从而造成学生被动接收和机械记忆。物理学大师保罗·狄拉克学术汇报。许多教师在数学教学设计中，关心并不是学习任务与学生固有认识实际差距，往往只是从所要学习知识点出发来设计问题，这么问题就类似于狄拉克所拒绝回答那类问题，这么教学设计就最轻易脱离学生实际认知水平。45/60有意义学习必须以学习者原有认知结构为基础。必定存在着原有知识对当前知识学习影响。“假如不得不把教育心理学全部内容简约成一条原理话，我会说：影响学习最主要原因是学生已经知道了什么。搞清了这一点，并据此展开教学”。（1/x是分数吗？）认知结构对新知识取得和保持影响原因：①认知结构中对新知识起固定作用旧知识可利用性；②新知识与同化它原有旧知识之间可区分性程度；③认知结构中起固定作用旧知识稳定性和清楚性程度。46/60示例一：正弦定理证实作高法；面积法；外接圆法；角平分线定理法47/60示例二：两角和余弦公式证实新教材：三角函数线；向量法48/60（2）启迪心智以学生思维方式为起点为了使教师思维契合或顺应学生思维，使两种思维“合拍”，教师需要设身处地地从学生实际出发来进行教学设计。当教师思维带上了学生色彩，甚至到达了“学生化”之后，教过程就自然与学过程融为一体，教学就会进入一个自然流畅状态，这就能从一定程度上防止教师以自己思维来取代学生思维。为此，教师要善于利用稚化思维退化性原理和演出性原理，惑其所惑，难其所难，错其所错。

49/60①惑其所惑，以利解惑从学生心智状态出发，将自己思维退化到学生思维势态，疑其所疑，惑其所惑，依据学生可能出现疑惑来确定教学难点，或依据教学需要，蓄意制造引发速惑思维环境。②难其所难，以利化难教师只有饰演学生角色，成为