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第七章统计物理学气体分子动理论是统计物理学一部分，它是从统计观点出发，去研究气体热现象一门微观理论。热学宏观理论是热力学，热学微观理论是气体动理论，它指出了热现象本质是大量分子热运动。

第1页阿伏伽德罗引入“分子”概念克劳修斯提出了理想气体分子运动模型、引进统计概念推导理想气体压强公式麦克斯韦于发觉分子热运动无规性，导出了麦克斯韦速率分布律玻耳兹曼得到粒子按能量分布规律——玻耳兹曼分布律至此，气体动理论已能解释当初在气象、化学、物理学领域研究中所发觉与气体运动相关种种现象。第2页7-1力学中机械决定论在显微镜下观察时，每隔30s统计下来布朗微粒所在位置连线。显然，这些点与点之间线段并不是微粒运动轨迹.英國植物學家布朗利用顯微鏡觀察懸浮於水中花粉粒時，發現這些花粉粒會做連續快速而不規則隨機移動，這種移動稱為布朗運動。第3页一、布朗运动与分形布朗粒子轨迹含有标度变换（就是放大或缩小）下自相同性

“分形”基本特征是自相同性

科希曲线DLA分形集团第4页

数学家虽曾构想出一些奇异东西，如充满平面特殊曲线，处处连续而又处处不可微特殊函数等等，但当初他们并不相信自然界里真存在这些“病态”怪物。传统物理学家也大都习惯于和光滑规则形体打交道。最先打破上述传统是芒德布罗(B.B.Mandelbrot)，他创造了fractal(分形)这个单词来表征那些被传统数学和物理学排除在外、传统欧几里得几何不能描述、复杂无规几何对象。含有分形物体，称为分形体(fractal)。芒德布罗认为，看来貌似杂乱无章东西，未必毫无自己特征和内在规律。今天，分形理论已经发展成为一门描述自然界中许多不规则事物规律性科学。第5页二、混沌19世纪末，瑞典国王悬赏一笔奖金，奖给第一个能证实太阳系在整体上是完全稳定人。法国科学家彭加勒得出结论：国王问题是不可证实。1981年，天体力学家Szebehely提出天体力学中平面三体问题

有限制平面三体问题：小质量天体m和两个等量大天体M1

、M2限制在一个平面上运动，m沿M1和M2连线垂线上、下运动。mM1M2往返摆动若干次以后，m行为变得“随机”起来，再也无法预测它位置、速度及回归时间。

令人惊奇结果：第6页1.虫口改变抛物线模型

每年夏季成虫产卵后全部死亡；设第n年虫口数目为xn

第二年春天每个虫卵孵化成一只虫子；

设平均每只成虫产卵a个，则每年春天孵化出虫子数总是前一年成虫数a倍。普通规律：虫口模型第7页

食物和空间有限，虫子们会为争夺生存条件而相互咬斗。减员事件：虫子数目多了，传染病会因为接触增加而蔓延。减员修正：第8页重新定义变量和参量，能够把方程写为：这个方程称为抛物线映射

固定参量m之后，取初值x0代入，算出x1，再把x1作为新变量，计算x2,...如此不停迭代下去。出一条轨道x0,x1,x2,...

xi,

xi+1,…。其中每个xi是一个轨道点。迭代计算：第9页迭代次数足够大后，轨道表现出稳恒行为。可能出现几个迭代结果

从某次迭代开始，xi=x*，不再改变

从某次迭代始，xi进入有限个数字周而复始、无限重复状态若干年后出现周期轮回虫口数

轨道点像是随机地取值，但其中有一些重复图式或“结构”更复杂实际过程

若干年后虫口数有含糊重复规律，但轨道点永不准确重复迭代不动点准周期轨道第10页不动点(周期为1点)：周期为3点：周期为7点附近会出现一个周期为1000008356点。1975年，约克和李天岩发表了“PeriodThreeImpliesChaos”第11页2.分岔抛物线映射分岔图

纵坐标：xn一维相空间，即区间[-1,1]。横坐标：参量空间m(0,2)。用数值计算和绘图方法研究抛物线映射结果:扫过全部m值范围，得分岔图mx第12页抛物线映射分岔图每个参量对应一个值，为不动点或周期1范围处发生第一次分岔分岔结构分析数据在上、下两点之间往返跳动第13页在m=1.25处发生第二次倍周期分岔诞生稳定周期4轨道周期4轨道稳定范围比周期2窄，只到1.3681抛物线映射分岔图第14页根本没有周期，到达了混沌态！从到倍周期分岔序列，其周期为抛物线映射分岔图周期倍增第15页3.自相同结构取出分岔图一小部分加以放大，它包含相同结构。从m=1.75到m=1.8上、中、