高等数学级数的概念和敛散性省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件

【重、难点】重点：级数相关概念，由数列知识引出。难点：正确判断级数敛散性，由实例讲解方法。【讲课时数】总时数：4课时.【学习目标】1、知道级数相关概念和性质；2、会用比较审敛法和比值审敛法判断正项级数敛散性；3、会判断交织级数和普通级数敛散性。1/431.计算圆面积正六边形面积正十二边形面积正形面积一、问题提出2/431.级数定义普通项3.级数分类2.级数部分和记作二、级数概念3/43

上述数列中,(1)、(2)是数项级数，(3)、(4)是函数项级数.4/434.级数收敛与发散5/43解[例1]判别级数敛散性.6/43解[例2]判别无穷级数敛散性.7/43解[例3]讨论等比级数

敛散性.

收敛

发散

发散

发散8/43

综上知,等比级数（几何级数）9/43注意：(能够用(2)来快速判断级数发散.)三、基本性质10/4311/4312/43结论:级数每一项同乘一个不为零常数,敛散结论:收敛级数能够逐项相加与逐项相减.性不变.13/4314/431.定义:级数称为正项级数.2.比较审敛法四、正项级数及其审敛法15/43使用比较审敛法惯用三个结论:16/43解[例4]判断以下级数敛散性:17/43解[例4]判断以下级数敛散性:18/43小结1.级数概念2.级数部分和3.级数收敛与发散4.级数基本性质5.正项级数概念6.正项级数比较审敛法19/43练习题20/433.比较审敛法极限形式设å¥=1nnu与å¥=1nnv都是正项级数,假如则(1)当时,二级数有相同敛散性;(2)当时，若收敛,则收敛;(3)当时,若å¥=1nnv发散,则å¥=1nnu发散.21/434.极限审敛法：22/43解∴原级数发散.

[例5]判断以下级数敛散性:23/43∴原级数收敛.

[例5]判断以下级数敛散性:解24/435.比值审敛法(达朗贝尔D’Alembert判别法)：25/43比值审敛法优点:无须找参考级数.两点注意:26/4327/43解[例6]判断以下级数敛散性:28/43解[例6]判断以下级数敛散性:29/43(比值审敛法失效,改用比较审敛法)[例6]判断以下级数敛散性:解30/43[例6]判断以下级数敛散性:解31/43故该级数收敛.6.根值审敛法(柯西判别法)：32/43定义:正、负项相间级数称为交织级数.五、交织级数及其审敛法33/43解故原级数收敛.[例7]判断以下级数敛散性:34/43解故原级数收敛.[例7]判断以下级数敛散性:35/43定义1:正、负项任意出现级数称为任意项级数.定理作用：任意项级数正项级数六、绝对收敛与条件收敛36/43解故由定理知原级数绝对收敛，即原级数收敛.[例8]判断以下级数敛散性:37/43解故由定理知原级数绝对收敛，即原级数收敛.[例8]判断以下级数敛散性:38/43解级数，故原级数条件收敛.[例8]判断以下级数敛散性:39/43正项级数任意项级数审敛法1.2.4.比较法5.比值法6.根值法4.绝对收敛5.交织级数(莱布尼茨定理)3.按基本性质;小结40/43思索题思索题解答由比较审敛法知收敛.反之不成立.比如：收敛,发散.41/43练习题发散收敛42/43经过本课题学习，学生应该到达：1．会用比较审敛