则上图的脉冲传递函数为市公开课获奖课件省名师优质课赛课一等奖课件

则上图脉冲传递函数为:需指出是例1:求下列图所表示开环系统脉冲传递函数解:1/46例2:求下列图所表示开环系统脉冲传递函数解:例3:求下列图所表示有零阶保持器开环系统脉冲传递函数解:令2/46则:由Z变换滞后定理可得:3/46B.闭环系统脉冲传递函数因为采样开关在闭环系统中能够有各种配置可能性,所以闭环系统结构图较连续系统结构图来复杂.下列图是一个常见离散闭环系统结构图形式:由上图经推导可得:叫闭环系统误差脉冲传递函数.实际系统输出普通是连续信号,故如上图所表示,在输出端虚设一采样开关,才可得到闭环系统输出对输入脉冲传递函数.4/46因为,所以上式中叫闭环系统特征多项式,叫闭环系统开环Z传递函数.在有些情况下,无法得到闭环系统Z传递函数,而只能得到闭环系统输出Z变换表示式,见下列图:5/46例:求下列图所表示系统Z传递函数,采样周期T=0.07s.解:6/466.4.3离散系统数学模型模式之二___离散动态方程离散控制系统被控对象普通都是连续,当用连续动态方程描述被控对象时,就需将连续动态方程离散化.现假设被控对象连续动态方程普通形式为:设初始时刻为,初始状态为,状态方程解为:令,代入上式得:假设采取零阶保持器,则当时有,上式为:7/46令:对上式进行变量代换,令,则,当时,,当时,,将上述变量关系代入上式得:从而得到离散化后动态方程为:上式中.动态方程结构图见P.351图6.4.2例:设连续动态方程为:试求其离散化动态方程,设采样周期T=1s8/46解:可求得状态转移矩阵为:令t=T,则:9/46而:当T=1时,可得:系统离散化状态方程为:课外习题:P.414第6.9题(2)(3),第6.10题(a)(b)(c)(d),第6.11题第6.13题(1)(2)10/46下面讨论离散动态方程求解方法.设离散动态方程为:1.递推法.令:将上面方程从上往下逐一依次迭代,得:11/46递推法给出状态方程解不是闭合形式,但便于用计算机求解.由输出方程可方便地求出输出.2.Z变换法对状态方程两边进行Z变换得:Z变换法给出状态方程解是闭合形式.由输出方程可方便地求出输出.令:称为离散系统状态转移矩阵.12/46例:采样周期T=1s离散系统齐次状态方程为:求其解.解:13/466.6离散控制系统性能分析6.6.1离散控制系统稳定性1.稳定条件在线性连续系统理论中已知,其稳定充要条件是系统全部极点均在S平面左半平面上.S平面虚轴是稳定区域边界.在线性离散系统中,如用拉氏变换,则变换式中含有项,从而系统特征方程为超越方程,其极点不好求.但经过Z变换后,离散系统特征方程D(z)为Z平面上代数方程但在Z平面上,离散系统稳定条件又怎样表述?设离散系统特征方程为D(z),令D(z)=0,设其极点为,则系统稳定充要条件是,在Z平面上,均在以原点为圆心,半徑为1单位圆内,即当,即只要有一个极点在单位圆周上,则系统是临界稳定.当,即只要有一个极点在单位圆外,则系统是不稳定.14/46上述结论正确性可说明以下:设在S平面上,有经Z变换后,它在Z平面上映像为:由上式可得:当时,s在S平面左半平面上,而z在Z平面上单位圆内.当时,s在S平面虚轴上,而z在Z平面上单位圆周上.当时,s在S平面右半平面上,而,z在Z平面上单位圆外.2.劳斯稳定判据在离散控制系统中应用劳斯稳定判据只能依据代数方程系数,判别代数方程根在根平面左半平面上还是在根平面右半平面上,而无法判别代数方程根模是大于1还是小于1,或是等于1.15/46为此需把Z平面再进行一次变换,令:,或令:将上述变换叫作双线性变换,也叫Z--W变换,即把Z平面变换到W平面.Z和W均为复变量,可表为:即:将式(2)代入式(1),有:由上式可见,W平面上虚轴对应于上式中而在Z平面上恰好是单位圆圆周.因为,所以当时,即u<0,w在W平面左半平面上,而,在Z平面上即为单位圆内部.当时,即u>0,w在W平面右半平面上,而在Z平面上即为单位圆外部.16/46有上述Z—W变换,可将Z平面上特征方程D(z)变换为W平面上特征方程D(w),即:从而在W平面上应用劳斯稳定判据判别离散控制系统稳定性例:设闭环离散控制系统特征方程为:试判断此系统稳定性.解:令代入D(z)得:列出劳斯表为:因为劳斯表有两次符号改变,所以D(w)有两个根在W平面右半平面上,即D(z)有两个根在Z平面单位圆外部,故此系统不稳定.17/462.李雅普诺夫稳定判据在离散控制系统中应用对于线性定常离散控制系统,李雅普诺夫直接法稳定判据可作以下表述:为讨论问题方便起见,设采样周期T=1s.则给定系统状态方程可表为:若系统是渐近稳定,则任意选定一个正定对称矩阵Q(普通Q=I),必存在一个正定对称矩阵P,满足离散李雅普诺夫方程,即:而李雅普诺夫函数:李雅普诺夫函数改变率:18/46例:试用李雅普诺夫直接法稳定判据判别下面给出离散状态方程所表示系统稳定性.解:取正定对称矩阵令将Q和P代入离散李雅普诺夫方程,得:因为P一阶和二阶主子行列式都大于零,所以P正定,系统是渐近稳定.19/46课外习题:P.416第6.15题(1)(2)(4),第6.16题6.6.1离散控制系统稳态误差计算非单位反馈离散控制系统经典结构图以下列图所表示:上图中,叫离散偏差信号,其Z变换表示式为:若令,则上式为:其中叫开环Z传递函数.当时,上图为单位反馈离散控制系统,叫离散误差信号.20/46定义离散稳态误差(或偏差)信号为:需强调指出是,上面定义是离散误差(或偏差)信号在采样时刻稳态值.计算离散稳态误差(或偏差)值方法有下面三种:(1)求出或表示式后,由定义求(2)当闭环稳定时,利用Z变换终值定理求,即(3)当系统输入信号分别为或为这三种信号组合时,用稳态误差系数法求,为此,将离散闭环系统按其开环Z传递函数中含有0,1,2,…个z=1极点个数而分为0型,1型,2型,…系统.21/46下面介绍在经典输入信号作用下,用稳态误差系数法计算稳态误差值详细方法.(1)阶跃(位置)输入时令为位置误差系数，则，从而对于0型系统为有限值。1型系统，2型系统22/46(2)斜坡(速度)输入时为速度误差系数，则，从而对于0型系统,1型系统为有限值。2型系统令23/46抛物线(加速度)输入时为加速度误差系数，则，从而对于0型系统,1型系统为有限值。高于2型系统2型系统由上面推导结果可见,离散系统稳态误差值不但与输入信号型式和大小相关,与系统结构和参数相关,还与采样周期T大小相关.24/46例:试求下列图所表示系统在输入信号r(t)分别为时稳态误差值.采样周期T=0.1s解:1)开环S传递函数开环Z传递函数可证得闭环稳定,因开环Z传递函数有一个z=1极点,故系统为1型系统.从而稳态误差系数分别为:25/46当时,当时,当时,课外习题:P.417第6.19题(1),(3),(4),(5)6.3.3离散控制系统动态响应定性分析当离散控制系统输入为单位阶跃函数时,其输出离散函数普通表示式可由下面方法求得:输出Z变换表示式上式中为离散控制系统Z传递函数.26/46为分析方便起见,假设无重极点,则上式中为极点,而所以上式中,由输入阶跃信号Z变换表示式极点所产生,叫输出稳态响应,由离散控制系统Z传递函数极点所产生,叫输出瞬态响应.研究不一样极点分布时瞬态响应,就可定性地说明系统动态性能.27/46对于系统任一极点,均可表为极坐标形式,即从而对应于瞬态响应分量为:则(1)正实数极点时,,对应瞬态响应分量为,是单调.,为衰减序列;,为等幅序列;,为发散序列.(2)负实数极点时,,对应瞬态响应分量为是振荡,此时振荡频率可达最高,可证实为,当为衰减振荡序列;,为等幅振荡序列;,为发散振荡序列.(3)复数极点时必为共轭,28/46瞬态响应分量为上式中待定系数和也共轭,因而瞬态响应分量为:由上式可见,复数极点所引发瞬态响应分量是振荡.当时,振荡衰减速率取决于大小,时,瞬态响应分量是等幅振荡.当越小,衰减越快,当时,瞬态响应分量是发散振荡.且可证实振荡频率29/466.6.4离散控制系统能控性和能观性对于n阶线性定常离散控制系统物理原型,如能直接写出其离散状态方程则其能控性定义为:是否存在控制作用序列能使系统由任意初始状态开始转移,在第n步上到达?下面直接给出能控性判据.若能控性矩阵秩,则其为系统状态完全能控充分必要条件.30/46对于n阶线性定常离散控制系统物理原型,如能直接写出其离散动态方程则其状态完全能观充分必要条件是其能观性矩阵秩31/46当线性定常离散控制系统动态方程是由连续控制系统动态方程经离散化后而得到时,其状态能控性和能观性可由下面三个定理判定.定理一:如连续控制系统[A,B,C]状态不能控(或不能观),那么对任意采样周期T离散化后系统其状态也必不能控(或不能观).定理二:如连续控制系统[A,B,C]状态能控(或能观)则离散化后系统其状态能控(或能观)必要条件是不是A特征值.定理三:如连续控制系统[A,B,C]状态能控(或能观则以T为采样周期离散化后系统其状态能控(或能观)充分条件是:对A任意两个特征值和不存在非零整数k,使成立.32/46定理三对于单输入--单输出系统为充分必要条件.6.7数字控制器设计6.7.1模拟化设计方法模拟化设计方法前提是当采样频率比系统工作频率高得多,以致由采样和保持所引入附加影响可忽略不计.从而系统中离散部分可用连续控制器代替,整个系统可用连续系统各种设计方法来确定模拟控制器,再用各种方法将模拟控制器S传递函数离散化成数字控制器Z传递函数,便于计算机进行数值计算.下面仅介绍各种离散化方法中一个,即双线性变换法,也叫图斯汀变换法.设经过模拟化设计后控制器S传递函数为:33/46则上式对应微分方程为:将上式写成积分形式有:上两式之间关系可由下列图直观说明34/46由上图可见是由k个梯形面积叠加而成,表示式第二项即用梯形面积近似为所以对上式进行整理得:对上式两边进行Z变换并整理得离散化数字控制器Z传递函数为:,与相比较得35/46将经过上面详细例子推导而得结论推广到普通情况有,当经过模拟化设计方法得到连续控制器S传递函数后,令即得离散化数字控制器Z传递函数6.7.2最少拍控制系统Z域设计方法所谓最少拍设计,就是要求系统输出经过最少几个采样周期后,在采样时刻完全跟踪系统输入,也即要求系统过渡过程尽可能快,采样时刻稳态误差为零.下面介绍相关最少拍设计普通方法.36/46设离散控制系统结构图以下所表示:图中:为数字控制器脉冲传递函数,为包含零阶保持器在内被控对象脉冲传递函数,系统闭环脉冲传递函数为:所以因为是给定,所以完全取决于,而可依据一定输入由最少拍设计要求确定.下面讨论确实定过程.37/46因为最少拍设计要求是在一定型式输入作用下,以尽可能快时间,使稳态误差为零,故可从误差信号入手讨论确实定过程.系统误差Z变换表示式为:而不一样型式输入信号普通Z变换表示式为式(4)中N为正整数,为不含因子多项式即,比如,单位阶跃输入时单位速度输入时单位加速度输入时38/46最少拍设计要求稳态误差为零,则有为满足上式,应使式中,M为正整数,且为不含因子多项式.为使所设计数字控制器最简单,系统过渡过程尽可能快,通常取,从而可得式(7)中,是阶次为(N-1)z多项式.当离散控制系统闭环脉冲传递函数全部极点都在Z平面原点时,此系统含有没有穷大稳定度,且过渡过程经过N拍后结束,39/46最少拍数与输入信号形式相关:阶跃输入时过渡过程至少要一拍;速度输入时过渡过程最少要二拍;加速度输入时过渡过程最少要三拍.系统闭环脉冲传递函数确定后,将其代入前面式(2),即得数字控制器脉冲传递函数下面深入讨论数字控制器必须满足约束条件,也即可实现问题.对象脉冲传递函数可表为设多项式阶次为m,多项式阶次为n,则当满足时才是可实现.即对象极点数最多只能比它零点数多一个.不然便不可实现,40/46此时应使另外,在最少拍设计中,相关综合完全是靠和之间零极点相消进行,但在z平面单位圆上和单位圆外不稳定零极点是不能相消.何况对于不稳定零点,如用极点去对消,会引发控制器不稳定,所以,当含有不稳定零极点时,必须使包含不稳定零点,而使包包含不稳定极点.它们分别应有以下形式:式中,和分别表示不稳定零点和不稳定极点.是依据输入信号选择展出成多项式(其中是展开成多项式后41/46最低阶次).当含有r个单位圆上极点时,在中因式阶次要在由输入形式决定N与r中选择一个