《第1章特殊平行四边形》同步优生辅导训练（附答案）2021-2022学年九年级数学北师大版上册

2021年北师大版九年级数学上册《第1章特殊平行四边形》同步优生辅导训练（附答案）

选择题（共10小题）

1.如图，在矩形A8C。中，AB=6,过对角线AC的中点。作EF_LAC,分别交A8、DC

于E、尸，点G为4E的中点，若NAOG=30°,则。G的长为（）

A.25/3B.2C.娓D.3

2.如图，正方形ABC。的边长为8,点E在C。边上，CE=6,若点尸在正方形的某一边

上，满足CF=BE,且CF与BE的交点为M,则CM的长度为（）

C.5或丝D.7或建

55

3.如图，在正方形ABC。中，E为A8中点，连结。E,过点。作。FLOE交BC的延长线

于点F,连结EF.若AE=2,则E/的值为（）

2V10D.5

4.如图，点尸是正方形A8C。的对角线BD上一点，PE工BC于点E,PFLOC于点F,连

接EF,给出下列四个结论：®AP=EF；©APLEF-,③NPFE=NBAP；④尸。=&EC,

其中正确的是（）

A./个B.2个C.3个D.4个

5.如图，在平面直角坐标系x。），中，点A,C,尸在坐标轴上，E是0A的中点，四边形

AOCB是矩形，四边形BDEF是正方形，若点C的坐标为（6,0）,则点D的坐标为（）

6.如图，以RtaABC的斜边BC为边，在△ABC的同侧作正方形BCE凡设正方形的中心

为O,连接AO.若AB=2,AO=3A/5，则AC的长等于（）

7.如图，在矩形A8CD中，有以下结论：

@AC=BD；®AC±BD；③△AOB是等腰三角形；@S^ABO=S^ADO^

⑤乙480=45°；⑥48=A。能使矩形A8CD变成正方形.正确结论的个数是（）

8.如图，在矩形A8CO中，对角线AC与8。相交于点0,过点4作AE_LB£>,垂足为点E,

9.如图，P为AB上任意一点，分别以为边在AB同侧作正方形APC。、正方形PBEF,

设NCBE=a,则NAFP为()

A.2aB.90°-aC.45°+aD.900-4

2

10.如图，在菱形A8C£)中，M、N分别是BC和CD的中点，NPLAB于点P,连接MP.若

ND42=40°，则/MPB=()

A.125°B.120°C.115°D.110°

二.解答题(共14小题)

11.已知四边形ABC。是正方形，点E在边D4的延长线上，连接CE交AB于点G,过点

8作BM_LCE,垂足为点M,8例的延长线交AO于点尸，交CO的延长线于点儿

(1)如图1,求证：CE=BH；

(2)如图2,若AE=A8,连接CF,在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中

的四个三角形(△AEG除外)，使写出的每个三角形都与aAEG全等.

12.如图1,已知AZ)〃BC,AB//CD,/B=NC.

(1)求证：四边形ABC。为矩形；

(2)如图2,M为A。的中点，N为AB的中点，BN=2.若ZBNC=2NDCM,求BC

的长.

13.已知：如图，。为坐标原点，四边形0A8C为矩形，B(5,2),点。是。A中点，点P

在8c上以每秒2个单位的速度由C向B运动，设动点尸的运动时间为，秒.

(1)f为何值时，四边形P0D8是平行四边形？

(2)在直线CB上是否存在一点0,使得0、D、Q、尸四点为顶点的四边形是菱形？若

存在，求，的值，并求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.

14.如图，在矩形A2CD中，E是40上一点，PQ垂直平分8E,分别交A。、BE、BC于

点P、0、Q,连接BP、EQ.

(1)求证：四边形BPEQ是菱形；

(2)若AE=8,AB=4,求PE的长.

15.如图，在正方形A8CD中，点E、尸分别在线段5C、CD±,连接AE、AF,且8E=

DF.求证：AE=AF.

16.如图，在平行四边形ABC。中，点尸是A3边上一点(不与A,B重合)，过点P作PQ

LCP,交A。边于点。，且/QB4=/PCB,QP=QD.

(1)求证：四边形48co是矩形；

(2)求证：CD=CP.

17.如图，在正方形ABC。中，E是AB上一点，尸是A。延长线上一点，S.DF^BE.

(1)求证：NBCE=NDCF；

(2)点G在40上，连接GE,GC,若GE=GD+DF,求此时NGCE的大小.

18.如图，在等腰△ABC中，NCAB=NB=30°,D、E分别为AB、AC的中点，延长BC

至点F，使CF=2BC,连接C£＞、EF和AF.

2

(I)求证：DE=CF；

(2)求证：四边形CDEF为菱形.

(3)若BC=2,求AF.

19.如图，点P在正方形A8C。的对角线AC上，点E在边BC上，且PE=PB.

(1)求证：PE=PD；

(2)试探究Be?,EC2,三者之间满足的等量关系，并证明你的结论.

20.如图，在正方形A3CZ)中，点E是边BC延长线上一点，联结。E,过点2作

垂足为点F,B尸与边C。相交于点G.

(1)求证：CG=CE；

(2)联结CF,求证：NBFC=45°；

21.如图，正方形ABCC中，点E在边AB上，连接EQ,过点。作FDLOE与BC的延长

线相交于点凡连接E尸与边C。相交于点G、与对角线BD相交于点儿

(1)若AB=6,且BD=BF,求BE的长；

(2)若N2=2N1,求证：HF=HE+HD.

22.如图，在正方形A8CD中，P是对角线8。上的一点，点E在边4。的延长线上，且以

=PE,PE交CD于点F.

(1)求证：PA—PC-,

(2)求证：PC1PE.

23.如图，在正方形ABC£＞中，点E在边BC上，连接AE,/D4E的平分线AG与边CQ

相交于点G,与8C的延长线相交于点?

(1)若A8=2,BE=CE,求CF的长.

(2)连接EG,若EG-LAF,求证：G为边CO的中点.

B

E

参考答案

选择题(共10小题)

1.解:'JEFLAC,

：.ZAOE=90°,

在RtZ\AOE中，G是AE的中点，

:.OG=1AE=AG=GE,

2

，/OAG=NAOG=30°,

/.ZOG£=60°,

/./\OGE是等边三角形，

设OG=x=OE,

；.AE=2x,AO=yj^Xi

是AC的中点，

；.AC=2AO=2心，

在RtAABC中，

BC=C=,

2

由勾股定理得，

AB2+BC2=AC2,

,,,62+(V3x)2=(2V3x)2,

解得x=2.

：.OG=2,

故选：B.

2.解：分两种情况：

①如图1所示，当点尸在AO上时，

由CF=BE,CD=BC,NBCE=NCDF=90°可得，RtABCE^RtACDF(HL),

：.ZDCF=ZCBE,

又；NBCF+NDCF=90°,

：.ZBCF+ZCBE=90",

ZBMC=90°,即CFLBE,

VBC=8,CE=6,ZBCE=90°,

：.BE=10,

图1

②如图2所示，当点尸在AB上时，

同理可得，RtABCF注RtACBE(HL),

：.BF=CE,

又,：BF〃CE,

四边形BCEF是平行四边形，

又；NBCE=90°,

二四边形8CE尸是矩形，

3.解：•.•四边形A8CQ是正方形，

：.AD=AB=BC^CD,/A=N4OC=/£>CB=/B=90°,

'：DF±DE,

：.ZADE+ZEDC=ZCDF+ZEDC,

即NAQE=/COF,

在△AOE和△C£>F中，

2ADE=NCDF

♦AD=CD，

ZA=ZDCF

:.AADE注ACDF(ASA),

；・DE=DF,

IE为AB的中点,AE=2,

：.AD=AB=4,

在RtaAOE中，DE=QAD2+AE2地2+22=2匹

在中，22

RtZXOEAEF=A/DE+DF=2V1Q-

故选：B.

4.解：过户作PG_LA8于点G,如图,

・・•点P是正方形ABCD的对角线BD上一点,

:・GP=EP,

在中，ZGBP=45°,

・・・NGP8=45°，

:・GB=GP,

同理，得

PE=BE,

•:AB=BC=GF,

：.AG=AB-GB,FP=GF-GP=AB-GB,

：.AG=PFf

：.AAGP^AFPE(5AS),

：.AP=EF,

・,・结论①正确；

：.ZPFE=ZGAP

:・/PFE=/BAP,

・・・结论③正确；

②延长AP到EF上于一点H,

:・/PAG=/PFH,

•?NAPG=/FPH,

：・NPHF=NPGA=90。,

即AP±EF；

・,・结论②正确；

YGF//BC,

：・/DPF=NDBC,

又•・・/OPb=NO8C=45°,

・・・NPDF=NDPF=45°,

:・PF=EC,

在RtADPF中，DP1=Df^+PF2=EC2+EC2=2EC2,

:・PD=®EC,

・・・结论④正确；

故选：D.

；・/MED+NMDE=90°,

・・•四边形BDEF为正方形,

:.DE=EF=FB,NDEF=NEFB=90°,

AZMED+ZOEF=90°,ZOFE+ZCFB=90°,

VZOEF+ZOFE=90°,

.・・ZMDE=ZOEF=/CFB,

・・•四边形0A5C是矩形，

：.ZBCF=90°,OA=CB,

：./EMD=ZFOE=ZBCF=90°,

在△EWO和△尸OE和△80中,

，ZEMD=ZFOE=ZBCF

，ZMDE=ZOEF=ZCFE«

DE=EF=FB

A/\EMD^^FOE^/\BCF(AAS),

:.MD=OE=CF,ME=OF=CB,

为04的中点，

：.OA=2OE,

：.OF^2CF,

VC(6,0),

：.0C=6,

：.ME=0F=4,MD=0E=CF=2,

；.0M=6,

：.D(2,6),

故选：B.

6.解：如图，过点尸作FG,BA交BA的延长线于点G,过点E作E/7LFG于点H,过点

E作E£>_LAC于点。，连接0。，

则有AB=C£>=2,且△OAO是等腰直角三角形,

,:A0=3近,

.'.AD=\f2OA—6,

.*.4C=4O+C£>=8.

故选:B.

7.解：•.•四边形ABC。为矩形，

：.AC=BD,所以①不符合题意；

...当ACLBO时，矩形ABC。为正方形，所以②符合题意;

•.•△A08是等腰三角形，0A=0B,

AZAOB=90°,

AAC±BD,

・・・矩形ABC。为正方形，所以③符合题意；

•・•四边形A8CO为矩形，

・•・OB=OD,

**•S^ABO=S^ADOf所以④不符合题意；

・・・NABO=45°,

为等腰直角三角形，

：.AB=ADf

・・・矩形A3CZ)为正方形，所以⑤⑥符合题意；

故选：C.

8.解：•・•四边形A8CD是矩形，

:.AC=BD,OA=OC,OB=OD,

：.OA=OB—OCf

：.ZOAD=ZODA,ZOAB=ZOBA,

：.ZA0E=Z0AD+Z0DA=2Z0ADf

ZEAC=2ZCADf

：.ZEAO=ZAOE,

VAE1BD,

・・・NA£O=90°,

AZAOE=45°,

.•./O48=/OBA=JL(180°-45°)=67.5

2

AZBAE=ZOAB-ZOAE=22.5°.

故选：D.

9.解：：四边形P8EF为正方形，

:.NPBE=9Q°,

,：NCBE=a,

：.ZPBC=9O°-a,

:四边形APC。、P8E尸是正方形,

：.AP=CPfNAPF=NCPB=90°,PF=PB,

^£/\APF和△"3中，

'AP=CP

,NAPF=NCPB，

PE=PB

:•△APF9XCPB(SAS),

：.ZAFP=ZPBC=90°-a.

故选：B.

10.解：如图，连接AC、BD交于点O,连接MMOM,OM交PN于K.

・・•四边形A8CO是菱形，

：・OD=OB,ZADC=ZABC=\40°,

AZDBC=ZDBA=10°,NC5P=40°,

■:DN=CN,CM=MB,

：.OM//CD,MN//BD,

・・・四边形DNMO是平行四边形，

：.OM//CD,MN=OD=OB,

•.•PNLCD,

：.OMLPN,

9：PB//0K//DN,OD=OB,

:・NK=PK,

:・MN=PM,

:・PM=OB,

・・・四边形OMP8的等腰梯形，

；・/MPB=NOBP=700+40°=110°.

故选：D.

二.解答题（共14小题）

11.证明：（1）•四边形ABCO是正方形,

：.BC=CD=AD^AB,N8CD=NAOC=90°,

,：BM1CE,

：.ZHMC=ZADC=90°,

二NH+/HCM=90°NE+NECD,

：.NH=NE,

在△£■£)(7和△HCB中，

，ZE=ZH

<ZEDC=ZHCB=90°-

CD=BC

:./\EDC冬AHCB(A4S),

:.CE=BH；

(2)△BCG,/XDCF,^DHF,△AB尸，

理由如下：'：AE=AB,

：.AE=BC^AD=CD,

■:△EDgXHCB,

：.ED=HC,

'：AD=CD,

:.AE=HD=CD=AB,

在△AEG和aBCG中，

rZEAG=ZCBG=90°

<ZAGE=ZBGC，

AE=BC

.♦.△AEG丝△BCG(A4S),

，AG=BG=LB,

2

同理可证△AFB丝△Z)F4,

:.AF=DF=1AD,

2

：.AG=AF=DF,

在△4EG和△ABF中，

<AE=AB

-ZEAG=ZBAF=90°，

AG=AF

:.缸AEG空缸ABF(SAS),

同理可证AAEG会AAEG^ADCF.

12.(1)证明："JAD//BC,AB//CD,

，四边形ABCD是平行四边形，

'：\B//CD,

：.ZB+ZC=180°,

又；ZB=ZC,

：.ZB=ZC=90°,

...四边形ABC。为矩形；

图2

为A。的中点，N为AB中点,

:.AN=BN=2,AM^MD,

：.AB=CD=4,

'.'AE//DC,

：.NE=4DCM,

在△AEM和△OCM中，

rZE=ZMCD

<ZAME=ZDMC，

AH=DM

AAAME^ADCM(AAS),

.,.AE=CD=4,

:NBNC=2NDCM=NE+NNCE,

：.ZNCE=NDCM=NE,

・•・CN=EN=AE+AN=4+2=6,

fiC^VcN2-BN2=V62-22=4^2-

13.解：(1)：四边形OABC为矩形，B(5,2),

:.BC=OA=5,AB=OC=2,

:点。时OA的中点，

.\OD=AOA=2.5,

2

由运动知，PC=2t,

：.BP=BC-PC=5-It,

'：四边形PODB是平行四边形，

，PB=00=2.5,

.*.5-2/=2.5,

.1=1.25；

•••四边形。OQP为菱形，

：.OD=OP=PQ=25,

在Rtz^OPC中，由勾股定理得：PC=1.5,

.*.2/=1.5；

.1=0.75,

：.Q(4,2)；

②当。点在P的左边且在8c线段上时，如图,

：.Q(1.5,2),

③当。点在尸的左边且在BC的延长线上时，如图,

：.Q(-1.5,2)；

14.(1)证明：垂直平分BE,

:.PB=PE,OB=OE,

•.•四边形A8C。是矩形，

：.AD//BC,

：.ZPEO=ZQBO,

在△BOQ与中，

，ZPE0=ZQB0

<BO=OE，

ZP0E=ZQ0B

:.△BOgXEOP(ASA),

；.PE=QB,

又‘:AD"BC,

•••四边形BPEQ是平行四边形，

又<PB=PE,

二四边形BPEQ是菱形；

(2)解：设PE=8P=x,则AP=8-x,

在RtZXABP中，AP2+AB2=BP2,

即(8-x)2+42=，，

解得x=5,

:.PE=5.

15.证明：♦.•四边形ABC。是正方形，

：.AB=AD,NB=ND=90°,

♦：BE=DF,

在RtAABE与RtAADF中，

，AB=AD

-ZB=ZD-

BE=DF

.'.RtAABE^RtAADFCSAS),

：.AE^AF.

16.证明：(1)'：PQLCP,

：.ZQPC=90°,

：.ZQPA+ZBPC=\SO°-90°=90°,

"：ZQPA^ZPCB,

；.NBPC+NPCB=90°,

•,.ZB=180°-(NBPC+NPCB)=90°

：四边形ABCD是平行四边形，

二四边形ABC。是矩形；

•..四边形ABC。是矩形，

.•./。=90°,

；NCPQ=90°,

...在Rtz^COQ和RtACPQ中

fCQ=CQ；

1DQ=PQ，

ARtACDe^RtACPQ(HL),

：.CD=CP.

17.(1)证明：在正方形ABC。中，

,:BC=CD,NB=NCDF,DF=BE,

:.XCBE空IXCDF(SAS).

：.ZBCE=ZDCF.

(2)解：,:“BEqACDF,

：.CE^CF.

'：GE=GD+DF=GF,GC=GC,

：./\ECG^/\FCG(SAS).

J.ZGCE=ZGCF,

NECF=NECD+/DCF=NEC£>+NBCF=90°,

又,/ZECF=ZGCE+ZGCF=2ZGCE,

.\ZGCE=45°.

18.(1)证明：E分别为AB、AC的中点，

：.DE//BC,DE=LBC,

2

•：CF=^BC,

2

：.DE=CF；

(2)证明：'JDE//BC,DE=CF,

四边形CDEF是平行四边形，

"：ZCAB=ZB=30°,

：.ZACF=60°,

AZCED=60°,

'：DE=^BC,CE=1AC,BC^AC,

22

：.DE=CE,

.♦.△DEC是等边三角形，

：.DE=DC,

...平行四边形CDE尸为菱形.

(3)解：•.•平行四边形CQEF为菱形，

:.DE=EF=FC=CD,

：△£>£(?是等边三角形，

：.DE=EC=CD,

：.EF=FC=EC,

'JAE^EC,

J.AE^EF^EC,

"：ZCEF=60°,

：.ZEAF=ZEFA=3G°,

AZAFC=90°,

CF=」BC=1,

2

:.AF=MCF=M.

19.(1)证明：•；四边形ABC。是正方形,

：.BC=DC,NACB=NACD,

在△P3C和△「£>(?中，

rBC=DC

<ZPCB=ZPCD,

PC=PC

:.△PBgMPDC(SAS),

:.PB=PD,

,:PE=PB,

:.PE=PD；

(2)解：BC2+EC2=2PE1,证明如下：

连接。E,如图所示：

；四边形A8C£>是正方形，

/.ZBCD=90°,BC=CD,

由(1)得：4PBC学4PDC,

：.4PBC=4PDC,

•：PE=PB,

：.NPBC=NPEB,

：.ZPDC=ZPEB,

VZP£B+ZP£C=180°,

：.ZPDC+ZPEC^\SOa,

：.ZEPD=360°-(NPDC+NPEC)-/BCD=360°-180°-90°=90°,

又，：PE=PD,

△PZ)E是等腰直角三角形，

Z.DE1=PE^+PD1=2PE1,

在RtZXCCE中，由勾股定理得：CD2+Ed=DE2,

:.Bd+Ed=2P岸.

20.解：(1)；四边形ABC。为正方形,

：.BC=CD,ZBCG=ZDCE,

"：BFVDE,

：.NE+NCBG=/E+NEDC,

:.NCBG=NEDC,

在RtABCG与RtZXDCE中，

'NCBG=/CDE

•BC=DC

ZGCG=ZDCE

/.RtABCG^RtADCC(ASA),

：.CG=CE.

(2)作CM_LC/交BF于点M,

VAfiCG^ADCE,

NE=ZBGC,

'：/MCG+NFCG=NECF+NFCG=90°,

：.ZMCG^ZFCE,

在△MCG和△尸CE中，

，ZMCG=ZFCE

<CG=CE，

ZMGC=ZE

/.△MCG^AFCE(ASA),

：.MG=FE,MC=FC,

.•.△MCF为等腰直角三角形,

/.ZBFC=45°.

(3)作CN上BF于点、N,

.♦.△CNF为等腰直角三角形，CN=NF,

为C£>中点，正方形ABC。的边长为2,

：.CG=DG=CE=1,

2=5/5,

IBC-CG=LBG・CN,

22_

•CN=GJCG=2X1=27^

""BG755~,

在△CNG和△OFG中，

'/CNG=/DFG

•ZNGC=ZFGD-

CG=DG

:.4CNG空/\DFG(M5),

:.DF=CN=2E,

5_

：.EF=DE-DF=-Js-空屋色叵

55

21.(1)解：；四边形A8C£>是正方形，且尸。J_OE,

：.AD=CD,ZA=ZDCB=ZADC=90Q,

\'DE±DF,

：.ZEDF=90°,

AZ2=900-ZEDC=ZCDF,NA=NDCF=90°,

在和△OCF中，

，Z2=ZCDF

<AD=CD，

ZA=ZDCF

/.RtAD4E^RtADCF(ASA),

：.AE=CF,