（人教A版）2021年新高二数学暑假讲义-第十四讲 导数在不等式中的应用

第十四讲导数在不等式中的应用

【考点剖析】

考点一构造函数证明不等式

x—1

【例1】已知函数Hx)=l-g(x)=x—Inx.

(1)证明:g(x)21；

(2)证明：(x—lnx次

Y---1

证明(1)由题意得g'(x)=—j(x>0),

当0<r<l时，g'(x)<0；当尤>1时，g'(x)>0,

即g(x)在(0,1)上是减函数，在(1,+8)上是增函数.

所以g(x)2g(l)=l,得证.

x-1x-2

(2)由火》)=1一一二，得〃龙)=『，

所以当0<r<2时，/(x)<0,当x>2时，/(.r)>0,

即IAx)在(0，2)上是减函数，在(2,+8)上是增函数,

所以/U)羽2)=1一卜(当且仅当x=2时取等号).①

又由⑴知x—lnx》l(当且仅当x=l时取等号)，②

且①②等号不同时取得，

所以(x—In—^2.

规律方法1.证明不等式的基本方法：

⑴利用单调性：若危)在[a,加上是增函数，则①VxC[”，b],有②Vxi,X2

G[a,b],且X1<X2,有4a)勺(X2).对于减函数有类似结论.

(2)利用最值:若危)在某个范围D内有最大值M(或最小值m),则VxW。,有火x)WM(或加)2加).

2.证明/)<g(x),可构造函数尸(x)=/(x)—g(x),证明尸(x)<0.先通过化简、变形，再移项构造不

等式就减少运算量，使得问题顺利解决.

考点二利用“若兀T)min>g(X)max,则4X)>g。)”证明不等式

【例2】已知函数段)=xlnx-ax.

(1)当a=—1时，求函数人x)在(0,+8)上的最值；

12

(2)证明：对一切xG(O,+8),都有Inx+Q/rr一而成立.

(I)解函数_/U)=xlnx—ox的定义域为(0,+°°).

当a=-1时,/(x)=xlnx+x>/(x)=lnx+2.

由了(元)=0,得尤=£.

当犬《0,时，/(x)<0；当x>9时，/(x)>0.

所以./U)在(0,3上单调递减，在e，+8)上单调递增.

因此7U)在X=F处取得最小值，即/U)min=X§=—2，但/(X)在(0,+8)上无最大值.

12.x2

⑵证明当x>0时，Inx+l>yi■一芯等价于x(lnx+l)>/]■一£.

由(1)知。=—1时，«r)=xln尤+x的最小值是一*,当且仅当无=2时取等号.

x2

设G(x)='^q'一二，xW(0,+°°),

]—X1

f

则G(x)=-v-J，易知G(x)max=G(1)=—T2，

12

当且仅当x=l时取到，从而可知对一切尤e(0,+8),都有y(x)>Ga),即Inx+l〉/7一芭.

规律方法1.在证明不等式中，若无法转化为一个函数的最值问题，则可考虑转化为两个函数

的最值问题.

2.在证明过程中，等价转化是关键，此处_/(X)min>g(X)max恒成立.从而7(X)>g(X),但此处/(X)与g(X)

取到最值的条件不是同一个“X的值”.

考点三不等式恒成立或有解问题

角度1不等式恒成立求参数

【例3—1】已知函数危)=郎。#0).

⑴判断函数_Ax)在区间(。，9上的单调性；

(2)若危)<a在区间(0,舒上恒成立，求实数a的最小值.

Kxcos%—sinx

解(1)/«=----?-----，

令g(x)=xco$x—sinx，贝ljg'(x)=-xsinJG

显然，当xG(O,卯寸，g，(x)=—xsinx<0,即函数g(x)在区间(0,舒上单调递减，且g(0)=0.

从而g(x)在区间(0,雪上恒小于零，

所以一(X)在区间(0,野上恒小于零，

所以函数/U)在区间(o,电上单调递减.

(2)不等式火x)<a,xG(0,习恒成立，即sinx-ax<0恒成立.

令夕(x)=sin九一以，电，

贝U“(x)=cosx—a,且s(0)=0.

当心1时，在区间(0,百上“。)<0,即函数9⑴单调递减，

所以夕(X)<夕(0)=0,故sinx—ax<0恒成立.

当0<a<l时，s'(x)=cosx—”=0在区间(0,?上存在唯一解刈，

当xG(0,xo)时，"(x)>0,故p(x)在区间(0,尤o)上单调递增，且夕(0)=0,

从而夕(x)在区间(0,xo)上大于零，这与sinx一以<0恒成立相矛盾.

当aWO时，在区间(0,1上s'(x)〉O，即函数夕(x)单调递增，且研0)=0,得sinx—ar>0恒成

立，这与sinx—ax<0恒成立相矛盾.

故实数。的最小值为1.

规律方法1.破解此类题需''一形一分类"，“一形”是指会结合函数的图象，对函数进行求

导，然后判断其极值，从而得到含有参数的方程组，解方程组，即可求出参数的值；“一分类”

是指对不等式恒成立问题，常需对参数进行分类讨论，求出参数的取值范围.

2.利用导数研究含参数的不等式问题，若能够分离参数，则常将问题转化为形如。宓外(或

a))的形式，通过求函数)，=/U)的最值求得参数范围.

角度2不等式能成立求参数的取值范围

【例3—2】已知函数於)=/—(2a+l)x+alnR).

⑴若_/U)在区间［1,2］上是单调函数，求实数a的取值范围；

(2)函数g(x)=(l—a)x,若三次G"，e］使得应必)2g(xo)成立，求实数。的取值范围.

(—1)(x—a)

解(l)/(x)=———1---------,当导函数/(九)的零点x=a落在区间(1,2)内时，函数7U)在

区间［1,2］上就不是单调函数，即。0(1,2),

所以实数a的取值范围是(一8,1］U［2,4-00).

(2)由题意知，不等式./U)与g(x)在区间［1,e］上有解,

即?-2x+«(lnx—x)20在区间［1,e］上有解.

因为当无G［l,e］时，InxWlWx(不同时取等号)，x-\nx>0,所以“W二^在区间［1,e］上有

解.

x2-2x(龙―1)(尤+2—21nx)

令/?(%)=则厅(x尸

x-Inx(x-Inx)2

因为xWU，e］,所以x+2>2221nx,

所以"(x)与0,〃(x)在［1,e］上单调递增,

e(e—2)

所以xW［Le］时,/?(x)max=/?(e)=,~，

e(e-2)

所以aW

e—1

e(e—2)

所以实数a的取值范围是一8,

e-1

规律方法1.含参数的能成立(存在型)问题的解题方法

a刃⑴在x££)上能成立，则a//(x)min;

aW«r)在xe。上能成立，则aW«r)max.

2.含全称、存在量词不等式能成立问题

(1)存在X|WA,任意―3使y(Xl)2g(X2)成立,则«r)max2g(x)max；⑵任意XlSA,存在

使兀Xl)2g(X2)成立，贝可火X)min》g(X)min.

［方法技巧］

1.证明不等式的关键是构造函数，将问题转化为研究函数的单调性、最值问题.

2.恒(能)成立问题的转化策略.若7U)在区间。上有最值，则

⑴恒成立：VxC。，火X)>0=/(X)min>0；

YxGD,X%)<0<=>/(x)max<0.

(2)能成立：Bx^D,«r)>0=y(x)max>0;

Bx&D,犬X)<0钙*X)min<0.

3.证明不等式，特别是含两个变量的不等式时，要注意合理的构造函数.

4.恒成立与能成立问题，栗注意理解“任意”与“存在”的不同含义，要注意区分转化成的最

值问题的异同.

【真题演练】

1.(2021.全国高考真题(理))设函数〃x)=ln(a-x),已知x=0是函数y=4(x)的极值点.

(1)求4;

,、X+fix),、

(2)设函数g(x)~aJ.证明:g(x)<L

xf(x)

【详解】

1Y

(1)由〃x)=ln(Q-x)=>/(%)=----,y=9(x)n歹=ln(a-x)H------,

x-ax-a

又x=0是函数y=4(x)的极值点，所以y'(0)=lna=0,解得〃=1；

/、/、x4-f(x)x+ln(l-x)

(2)由(1)得/(x)=ln(l-x),g(x)=———=——--7-,xvl且xwO，

7、7V(x)xln(l-x)

/、x+ln(l-x)/、

当X£(O,1)时，耍证g(x)=——---^<1,vx>0,ln(zl-x)<0,/.xln(l-x)<0,即证

xln(1—x\

x+ln(l-x)>xln(l-x),化简得了+(1_工)111(1_#〉0；

/、x+ln(l-x)/、

同理，当不£(一8,0)时，要证g(%)=——7；----<1，vx<0,ln(l-x)>0,/.xlnz(l-x)<0,即证

7xln(l-x)

x+ln(l-x)>xln(l-x),化简得x+(l-％)皿1--)>0；

令力(x)=x+(l—x)ln(l—x),再令.=1一%,则，£(0,12(1,+°0)，x=\-t,

令g")=1一+"nz,g'。)=-l+lnr+l=lnr,

当f«O,l)时,g")vO,g(x)单减，假设g⑴能取到，则g⑴=0,故g«)>g(l)=O；

当1W(L+OO)时,g'(x)>(),g(x)单增，假设g(l)能取到，则g(l)=o,故g«)>g⑴=0：

x+ln(l—x)

综上所述,g(x)V1在X£(—8,0)U(O/)恒成立

xln(l—x)

2.(2021•全国高考真题)已知函数/(九)=(x-l)e'-or?+。.

(1)讨论/(X)的单调性；

(2)从下面两个条件中选一个，证明：/(x)有一个零点

1

①一<QW—,b>2a；

22

®0<a<—,Z?<2a.

2

【详解】

⑴由函数的解析式可得：f\x)=x(ex-2a),

当“40时，若XC(TQ,0),则/'(%)<0J(x)单调递减,

若xe(0,4OO),则广(X)>0,/(x)单调递增；

当0<a<g时，若xe(ro』n(2a)),贝ij/'(x)>0,/(x)单调递增，

若x«ln(2a),0),则尸(x)<0J(x)单调递减，

若x€(0,同,则r(x)>0,/(%)单调递增；

当.=(时，在R上单调递增；

当时，若xe(-oo,0),则尸(x)>0J(x)单调递增，

若xe(0,ln(2a)),则尸(x)<0,/(x)单调递减，

若xe(in(2a),+oo),则尸(x)>0J(x)单调递增；

(2)若选择条件①：

由于万，故1<2々4/,则人〉勿>1,/(0)=〃一1>0,

而/(-/?)=-ah2-/?<0,

而函数在区间(3,0)匕单调递增，故函数在区间(一8,。)上有•个零点.

/(ln(2a))=2Q[ln(2a)-l]-q[ln(2a)丁+b

>2Q[ln(2Q)-l]-Q[ln(2Q)丁+2。

=2aln(2a)-a[ln(2Q)丁

=aIn(2a)|^2—In(2a)J,

[2

由于，<q,幺，I<2a4e2,故aln(2a)[2—ln(2a)]N0,

结合函数的单调性可知函数在区间（0,+。）上没有零点.

综上可得，题中的结论成立.

若选择条件②：

由于故2a<1,则/（O）=b-lW2a—1<0,

当b20时，e2>4,4«<2,f（2）=e2-4a+b>0,

而函数在区间（0,+e）上单调递增，故函数在区间（0,+。）上有一个零点.

当6<0时，构造函数”（x）=e*—x—1,则=

当x«T»,0）时,H'（x）<0,H（x）单调递减，

当xe（0,-K»）时，H'（x）>Q,H（x）单调递增，

注意到“（0）=0，故〃（x）»0恒成立，从而有：e'Nx+1，此时：

/（x）=（x-l）ev-or2-/?>（x-l）（x+l）-ar2+b=（l-«）x2+（Z?-1）,

当x>JF时,（1一a*+仅一l）>0,

取/=*+l,则/(%)>0,

V\-a

即：/(0)<0,/叵+]>。,

\'\—a7

而函数在区间（0,+。）上单调递增，故函数在区间（0,+8）上有一个零点.

/（ln（2a））=2a[ln（2a）-l]-〃[ln（2a）丁+Z?

<2a[ln（2a）-l]-a[ln（2Q）丁+2Q

=2Qln（2a）-a[ln（2Q）丁

=〃ln（2a）[2-ln（2a）],

由于0<2a<1,故aln(2a)[2-ln(2a)]<0,

结合函数的单调性可知函数在区间(TO,0)上没有零点.

综上可得，题中的结论成立.

【过关检测】

X—1

1.(2021•全国高三专题练习(理))当xeR时，不等式——《办-1恒成立，则实数"的取值范围为()

ev

A.a=&B.a=2C.a>2D.

【答案】B

【详解】

X—1

令/(x)=--,时/(x)>o,...aWO不合条件.

e

令〃(x)=+l,故//(x)WO恒成立，又

eA

.•"(X)要在x=0处取最大值，故x=0为〃(X)在R匕的极大值点，

故1(0)=0,又〃(x)=2xae'故2_()_ae°=0

ex

，a=2,故选：B.

2.(2021•全国高三月考(理))若关于X的不等式2*2>%2+2(1_。口+42在(0,+8)上恒成立，则实数

a的取值范围为()

A.[-2e,2e]B.[疝.疝]C.[-e,e]D.[-0e,缶]

【答案】D

【详解】

依题意，ex+2-x-^x-a)2>0,设g(x)=ek2-x—g(x—a)2,g'(x^ex+2-l-x+a,易知g'(x)在

(0,+8)上单调递增，g'(Q)=e2+a-l.

①当aNl-e?时，g'(0)>0,g'(x)>0，所以g(x)单调递增，则g(0)=e2-1«220，即—Wa<叵e-

②当avi—e?时，g'(0)<0,可知存在%>0，%«0,〈)使得>@)<0,g(x)单调递减,

g(0)=e2-g/<e2_g(]_e2y<0,所以存在xe(0,%J,g(x)<0,故不成立.

综上所述，

故选：D

3.（2021•河南鹤壁市•高二月考（理））已知关于x的不等式1____1—>/也在（0,+“）上恒成立，则实

数2的取值范围为（

D.(0,e)

【答案】A

【详解】

关于x的不等式（e"+l）〃>愿在（o,y）上恒成立,

则+l)Ax>(x+l)/ra:=(*r+l)/nx,

设/(x)=(e"+l)x,x>。，

,・"'(x)=，(x+l)+l>。,

，/(九)在(O,+。)上递增,

Ax>Inx.

>----

x

设g(x)=—,x>0'

,(、1-lnx

，g(x)=-7-

令g'(x)=0,解得x=e,

当0<x<e时，g'(x)>0,函数g(尤)单调递增,

当x>e时，g'(x)<0,函数g(元)单调递减，

g(x)max=g(e)=!

故选：A

4.(2020.重庆西南大学附中高三月考)已知函数/(%)=111工一公，若不等式/0+1)>》-花在%«0,+20)

上恒成立，则实数。的取值范围为()

A.(-00,1]B.[1,+8)C.(f,0]D.[0,1]

【答案】B

【详解】

f[ex^=x-aex,

所以/(x+1)>ar-2ex在((),+8)上恒成立，

等价于/(x+l)>/S)在(0,+力)上恒成立，

x

因为xe(0,+oo)时，\<x+\<e

所以只需/(x)在(1，讨)上递减，

即尤>1,r(%)1o恒成立,

即x>l时，一一aWO恒成立，即—恒成立，

XX

只需aN

Ux

所以“21,

故选：B

32

5.(2020•黑龙江哈尔滨市•哈师大附中高三期末(文))已知关于x的不等式/+12竺二士£在(0,+?)

上恒成立，则实数。的取值范围为()

A.(-00,e]B.1一°°，e—gC.D.(-oo,e-2]

【答案】B

【详解】

依题意，XG(O,-H»),故”二。_L令g(x)=，急，fe«<[^(x)]in.n，

%3+xxx2+1

e"(l)l—levx+1

而g'(x)=("T)+

冗2272

x+lV尤2+1

令g^x)=0,故X=1,故当xe(0,l)时，g«x)<0,当xe(l,+oo)时，g")>0,故a<g(l)=e—g,

即实数a的取值范围为-8,e-g

故选：B.

6.(2020•全国高三月考(文))设函数=若不等式/(如―叫J(xlnx+lnx)

对任意的xe[l,3)都成立，则实数机的取值范围是()

A.(—,2]B.[0,2]C.[0,1]D.(-oo,l)

【答案】A

【详解】

解：由函数“X)解析式知，/(x)在R匕单调递增，若不等式/(/nx—〃2),J(xlnx+lnx)对•任意的

xe[l,3)都成立，等价于mx-〃小工111%+111%对任意的工€[1,3)恒成立，令g(x)=(x+l)lnx-，nx+/〃,

11Y—\

g，(x)=lnx+—+1-加，令"(x)=lnx+—+1,〃")=—―..0(XG[1,3)),所以/z(x)在x«l,3)单

XXX

调递增,因为力(力..〃(1)=2,故当/%,2时，g'(x)..O,g(x)单调递增；因为g(l)=0,所以g(x)..O,

满足题意；当相>2时，取〃z=3,x=2,

Q

g(x)=(x+l)lnx-/7ix+/7?=31n2-6+3=31n2-3=ln—<0,不满足；综上：实数m的取值范围为

(-oo,2],

故选：A

7.(2021•全国高三专题练习(文))已知不等式(f-2x)e*N2x+ae*对xeR恒成立，则实数。的最

大值为()

e,ei212

A.B.-1C.-1D.1

22ee

【答案】C

【详解】

不等式(X2-2x)e*>2x+aex对xeR恒成立

2r

可化为a«x2-2x--_对尤eR恒成立，

e

r/\2c2x2(x—+

i&f(x)=x-2xr,则=J----11----L.

eex

所以当X<1时，函数/(x)单调递减，

当X>1时，函数"力单调递增，

2

所以函数“X)的最小值是/⑴=一1——，

22

所以。<一1—，即。的最大值是一1—.

ee

8.(2020•黑龙江哈尔滨市•哈九中高二月考(理))函数/(x)=e、，g(x)=f+a,对任意的王,々耳1,2卜

都有/(%)>g(%)恒成立，则实数。的取值范围是()

A.B.(742-1)C.D.(-oo,e-l)

【答案】C

【详解】

因为对任意的玉,ZG[1,2],

都有/(药)>g(七)恒成立，

又因为/(x)和g(尤)在[1，2]上为增函数，

所以“X