2023届甘肃省高三（最后冲刺）数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知随机变量X服从正态分布N（4,9）,且P（XW2）=P（X2a）,贝此=（）

A.3B.5C.6D.7

2.若复数二满足zi=l-i（i为虚数单位），则其共朝复数二的虚部为（）

A.-iB・iC.-1D.1

3.设全集U={xeZ|（x+l）（x—3）40},集合A={0,l,2},贝！|。精=（）

A.{-1,3}B.{-1,0}c.{0,3}D.{-1,0,3）

4.在ABC中，为8C边上的中线，E为4。的中点，且|A8|=1JAC|=2,ZBAC=120°,贝!）|E5|=（）

V196V7

•----

5.正项等比数列{4}中，q%+2a3a7+a5a9=16,且与与。9的等差中项为4,则{4,}的公比是（）

L•--------

6.某四棱锥的三视图如图所示，该几何体的体积是（

84

33

3+i-1+3/

2

rrII

8.已知AABC为等腰直角三角形，A=],BC=2近,M为AABC所在平面内一点，且+5c4,

则（）

r75£

A.2V2-4B.--C.--D.

2

2+3/

已知i为虚数单位，则

9.(l-2z)z()

N+3B,Z-l/47.47.

—+—zD.-----1

55555555

10.设x、y、z是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①*、Kz均为直线；②x、y是直线，z是平面；③z

是直线，X、y是平面；④X、y、Z均为平面.其中使“x_Lz且为真命题的是（）

A.③④B.①③C.②③D.①②

11.网格纸上小正方形边长为1单位长度，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）

3

22

12.双曲线5-4=1（〃>0力>0）的右焦点为尸，过点尸且与x轴垂直的直线交两渐近线于M,N两点，与双曲线的

a~b

其中一个交点为P,若OP=4OM+〃ON（/l,〃eR）,且;1〃=郎，则该双曲线的离心率为（）

A3夜n5&„5x/3n576

4121212

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.点（2,1）到直线3x+4y=O的距离为

x+y+220

14.已知实数苍丁满足«2x—y—240,则z=3x+y的最小值是.

y<l

UUUUUUU

15.在AABC中，已知M是8C的中点，且AM=1,点P满足A4=2PM,则PA.（P5+PC）的取值范围是・

21

16.若x>0,y>0,且一+—=1,则％+2y的最小值是_____.

xy

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）某市环保部门对该市市民进行了一次垃圾分类知识的网络问卷调查，每位市民仅有一次参加机会，通过

随机抽样，得到参与问卷调查的100人的得分（满分：100分）数据，统计结果如表所示：

组别[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,1001

男235151812

女051010713

（1）若规定问卷得分不低于70分的市民称为“环保关注者”，请完成答题卡中的2x2列联表，并判断能否在犯错误概率

不超过0.05的前提下，认为是否为“环保关注者”与性别有关？

（2）若问卷得分不低于80分的人称为“环保达人”.视频率为概率.

①在我市所有“环保达人”中，随机抽取3人，求抽取的3人中，既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率；

②为了鼓励市民关注环保，针对此次的调查制定了如下奖励方案：“环保达人”获得两次抽奖活动；其他参与的市民获

得一次抽奖活动.每次抽奖获得红包的金额和对应的概率.如下表：

红包金额（单位：元）1020

3

概率

44

现某市民要参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加间卷调查获得的红包金额，求X的分布列及数学期

望.

_n(ad-bc)2

附表及公式:2n=a+b+c+d

(a+Z?)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2..k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

18.（12分）如图，已知抛物线E：y2=4x与圆（x-3）2+/=户（r>0）相交于A，B,C,。四个

点,

(1)求厂的取值范围;

(2)设四边形ABCD的面积为S,当S最大时，求直线A£＞与直线的交点P的坐标.

22

19.(12分)已知椭圆E:二+=1(。＞。＞0)的半焦距为C,原点0到经过两点(c,0),(0,。)的直线的距离为

a~F

-C・

2

(I)求椭圆E的离心率；

(U)如图，AB是圆M:(x+2＞+(y—的一条直径，若椭圆E经过A,B两点，求椭圆E的方程.

20.(12分)某单位准备购买三台设备，型号分别为A,8,C已知这三台设备均使用同一种易耗品，提供设备的商家规

定：可以在购买设备的同时购买该易耗品，每件易耗品的价格为100元，也可以在设备使用过程中，随时单独购买易

耗品，每件易耗品的价格为200元.为了决策在购买设备时应购买的易耗品的件数.该单位调查了这三种型号的设备各

60台，调查每台设备在一个月中使用的易耗品的件数，并得到统计表如下所示.

每台设备一个月中使用的易耗品的件数678

型号A30300

频数型号5203010

型号C04515

将调查的每种型号的设备的频率视为概率，各台设备在易耗品的使用上相互独立.

(1)求该单位一个月中A,B,C三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率；

(2)以该单位一个月购买易耗品所需总费用的期望值为决策依据，该单位在购买设备时应同时购买20件还是21件易

耗品？

21.（12分）在AAfiC角中，角A、B、C的对边分别是a、b、c,若asinB=KbcosA.

（1）求角A;

（2）若AABC的面积为26，a=5,求AA3C的周长.

22.（10分）某公司生产的某种产品，如果年返修率不超过千分之一，则其生产部门当年考核优秀，现获得该公司年

的相关数据如下表所示：

年份20112012201320142015201620172018

年生产台数（万台）2345671011

该产品的年利润（百万元）2.12.753.53.2534.966.5

年返修台数（台）2122286580658488

]81«&?

部分计算结果：亍=62>,=6,y=-£y,=4,Z(七一亍)一=72,

3/=!3/=ii=i

88

Xa-y)2=l8.045,-x)(y,--y)=34.5

i=\i=\

田七、匚故力年返修台数

注：年返修曾年生产台数

（1）从该公司年的相关数据中任意选取3年的数据，以&表示3年中生产部门获得考核优秀的次数，求J的分布列和

数学期望；

（2）根据散点图发现2015年数据偏差较大，如果去掉该年的数据，试用剩下的数据求出年利润,（百万元）关于年

生产台数x（万台）的线性回归方程（精确到0.01）.

附：线性回归方程y=R+d中，、=£$：一切?：/=（二-"：?,a=y-hx.

2,式为一制一£/，一〃•*

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.

【解析】

根据在关于X=4对称的区间上概率相等的性质求解.

【详解】

=4,a=3,

.,.P(XW2)=P(XW4—2)=P(XN4+2)=P(X»6)=P(XNa),;.a=6.

故选：C.

【点睛】

本题考查正态分布的应用.掌握正态曲线的性质是解题基础.随机变量X服从正态分布N(〃,b2),则

P^X<ju-m)-P^X>pi+ni).

2.D

【解析】

由已知等式求出z,再由共施复数的概念求得N,即可得N的虚部.

【详解】

故选D.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算和共期复数的基本概念，属于基础题.

3.A

【解析】

先求得全集包含的元素，由此求得集合A的补集.

【详解】

由(x+l)(x—3)40解得一故〃={-1,0,1,2,3},所以C°A={-1,3},故选A.

【点睛】

本小题主要考查补集的概念及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.

4.A

【解析】

31,

根据向量的线性运算可得EB=zAC，利用|£8『=£8一及IAB|=1,|AC|=2,ABAC=120°计算即可.

【详解】

因为质=函+4*=—工4方+而=一工乂!(而+4。)+4行=3通一工40,

22244

02923112

所以|E8『=EB=—AB-2X-X-ABAC+—AC

164416

9,23,/1、1-2

=—x1"—x1x2x(—)H--x2"

168216

19

16

所以|四|=亍，

故选：A

【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算，向量数量积的运算，向量数量积的性质，属于中档题.

5.D

【解析】

设等比数列的公比为q,q>0,运用等比数列的性质和通项公式，以及等差数列的中项性质，解方程可得公比q.

【详解】

由题意，正项等比数列｛aj中，ala5+2a3a7+a5a9=16,

2

可得a；+2a3a74-a^=(a3+a7)=16,即a?+a?=4,

与的等差中项为4,即a$+a9=8,

设公比为q,贝！Jq2(a3+a7)=4q2=8,

则q=0(负的舍去)，

故选D.

【点睛】

本题主要考查了等差数列的中项性质和等比数列的通项公式的应用，其中解答中熟记等比数列通项公式，合理利用等

比数列的性质是解答的关键，着重考查了方程思想和运算能力，属于基础题.

6.D

【解析】

根据三视图知，该几何体是一条垂直于底面的侧棱为2的四棱锥，画出图形，结合图形求出底面积代入体积公式求它

的体积.

【详解】

根据三视图知，该几何体是侧棱PA_L底面ABCD的四棱锥，如图所示:

结合图中数据知，该四棱锥底面为对角线为2的正方形，

高为PA=2,

]724

四棱锥的体积为V=LJ.2=?.

323

故选：D.

【点睛】

本题考查由三视图求几何体体积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力.属于中等题.

7.A

【解析】

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【详解】

2+i_(2+i)(l+i)_2+3i+/_Mi__j_+3.

1^7-(l-z)(l+z)-2~2~22l

本题正确选项：A

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题.

8.D

【解析】

以AB,AC分别为x轴和y轴建立坐标系，结合向量的坐标运算，可求得点”的坐标，进而求得由平面向

量的数量积可得答案.

【详解】

如图建系，则4（0,0）,5（2,0）,C（0,2）,

।y

\由易得则=

X>4212122八22

AB

故选：D

【点睛】

本题考查平面向量基本定理的运用、数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运

算求解能力.

9.A

【解析】

根据复数乘除运算法则，即可求解.

【详解】

2+3i_2+3i_（2+3i）（2-，）_74.

（l-2z）z-2+i~（2+z）（2-Z）-5+5，-

故选：A.

【点睛】

本题考查复数代数运算，属于基础题题.

10.C

【解析】

①举反例，如直线队y、z位于正方体的三条共点棱时②用垂直于同一平面的两直线平行判断.③用垂直于同一直线的

两平面平行判断.④举例，如X、小Z位于正方体的三个共点侧面时.

【详解】

①当直线X、八Z位于正方体的三条共点棱时，不正确；

②因为垂直于同一平面的两直线平行,正确；

③因为垂直于同一直线的两平面平行,正确；

④如X、y、z位于正方体的三个共点侧面时，不正确.

故选:C.

【点睛】

此题考查立体几何中线面关系，选择题一般可通过特殊值法进行排除，属于简单题目.

11.A

【解析】

采用数形结合，根据三视图可知该几何体为三棱锥，然后根据锥体体积公式，可得结果.

【详解】

根据三视图可知：该几何体为三棱锥

如图

该几何体为三棱锥A-38,长度如上图

所以5AM8。=SMEC=；X1X2=1,SMCN=；xlxl=g

、3

所以=2X2—S&YBD-S&DEC-SgCN]

所以%-BCD=2・SMCD.加=1

故选：A

【点睛】

本题考查根据三视图求直观图的体积，熟悉常见图形的三视图：比如圆柱，圆锥，球，三棱锥等；对本题可以利用长

方体，根据三视图删掉没有的点与线，属中档题.

12.D

【解析】

根据已知得本题首先求出直线与双曲线渐近线的交点，再利用OP=，OM+〃ON,求出点尸(/L+〃)c,(2-〃

z»6

因为点P在双曲线上，及6=一，代入整理及得4/切=1,又已知沏=一，即可求出离心率.

a25

【详解】

由题意可知/卜葭），+〃)c，(4-〃)—j,

代入OP=WM+〃0N得:

代入双曲线方程I-与=1整理得：4«2切=1,又因为切=色，即可得到-=亚，

a2h22512

故选:D.

【点睛】

本题主要考查的是双曲线的简单几何性质和向量的坐标运算，离心率问题关键寻求关于。，b,c的方程或不等式,

由此计算双曲线的离心率或范围，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.2

【解析】

直接根据点到直线的距离公式即可求出。

【详解】

|3x2+lx4|

依据点到直线的距离公式，点（2,1）到直线3x+4y=0的距离为=2。

【点睛】

本题主要考查点到直线的距离公式的应用。

14.-8

【解析】

先画出不等式组对应的可行域，再利用数形结合分析解答得解.

【详解】

x+y+2>0

画出不等式组2x-y-2<0表示的可行域如图阴影区域所示.

”1

由题得y=-3x+z,它表示斜率为-3,纵截距为z的直线系,

平移直线3x+y=0,

易知当直线z=3x+)，经过点”(-3,1)时，直线的纵截距最小，目标函数z=3x+)，取得最小值，且

Zmm=3x(-3)+1=-8・

故答案为：-8

【点睛】

本题主要考查线性规划问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和数形结合分析能力.

-4/

15•卜靖

【解析】

由中点公式的向量形式可得+=，即有=,

设PM=x,ZAPM=0,有PA.(尸8+PC)=2PA-PM=4/cos。，再分别讨论三点AP,M共线和不共线时的情况,

找到x,。的关系，即可根据函数知识求出范围.

【详解】

M是BC的中点，PB+PC=2PM，即PA(PB+PC)=2PAPM

设PM=x,<PA,PM>=6,于是PA(P8+PC)=2PAPM=4X2COS。

⑴当A,P,M共线时，因为AW=1,

14

①若点P在AM之间，则PM=-,<PAP"〉=%，此时，PA\PB+PC)=一一；

39

UUUULUL1U

②若点。在AM的延长线上，贝iJPM=l,vB4,PM>=(),此时，Q4.(P3+PC)=4.

⑵当AP,"不共线时，根据余弦定理可得，工2+4尤2-2xx2xxcos9=1

解得cos6=±匚由-1<COS0<1,解得一<W<1

4x29

PA(PB+PC)=41cos。=5d一1e(-9).

uiruuruunr4-

综上，PA・(PB+PC)w--,4

9

4

故答案为：一.

9

【点睛】

本题主要考查学中点公式的向量形式和数量积的定义的应用，以及余弦定理的应用，涉及到函数思想和分类讨论思想

的应用，解题关键是建立函数关系式，属于中档题.

16.8

【解析】

(?1、

利用1的代换，将x+2y写成(x+2y—+—，然后根据基本不等式求解最小值.

I》y)

【详解】

(2IAx(x=4

因为1+2y=(x+2y)—l——4d------1—28(x=2y即<取等号)，

(Xyjxy[y=2

所以最小值为8.

【点睛】

ab

已知一+-=c,求解/侬(a、b、c、m.n>0)的最小值的处理方法：利用

xy

得到皿〃,喘+第叱+叨，展开后利用基本不等式求解，注意取等号的条伟

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1Q75

17.(1)不能；(2)①石；②分布列见解析，

【解析】

(D根据题目所给的数据可求2x2列联表即可；计算K的观测值对照题目中的表格，得出统计结论.(2)由相

2312

互独立事件的概率可得男“环保达人”又有女“环保达人”的概率：P=l~(—)3-(-)3=_,解出X的分布列及

5525

数学期望E(X)=—75即可；

【详解】

⑴由图中表格可得2x2列联表如下:

非“环保关注者”是“环保关注者”合计

男104555

女153045

合计2575100

将2x2列联表中的数据代入公式计算得K”的观测值

n(ad一反尸_100(45x15—30x10产

K2»3.030<3.841,

(a+/?)(c+d)(a+c)(b+d)25x75x55x45

所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，不能认为是否为“环保关注者”与性别有关.

32

（2）视频率为概率，用户为男“环保达人”的概率为《.为女“环保达人”的概率为§,

①抽取的3名用户中既有男“环保达人”又有女“环保达人”的概率为

(2丫(3丫18

r=L—\———=——;

⑸⑸25

②X的取值为10,20,30,40.

133

p(X=10)=-x-=-,

248

P(X=20)=-1x-t1+-i1x3-x3-=—13,

2424432

ii33

P(X=30)=—xC^x—x—=—,

22416

P(X=40)=-xlxi=—,

24432

所以X的分布列为

X10203040

31331

P

8321632

3133175

E(X)=10x-+20x—+30x—+40x—=—

83216324

【点睛】

本题考查了独立性检验的应用问题，考查了概率分布列和期望，计算能力的应用问题，是中档题目.

18.（1）2>/2<r<3（2）点P的坐标为（T，0）

【解析】

（1）将抛物线方程V=4x与圆方程（x—3『+y2=/联立，消去），得到关于x的一元二次方程，抛物线E与圆加有

四个交点需满足关于x的一元二次方程在（0,+。）上有两个不等的实数根，根据二次函数的有关性质即可得到关于r的

不等式组，解不等式即可.

（2）不妨设抛物线E与圆M的四个交点坐标为4（%,2"），瓜）,C（x”-2庭）,。（赴,2后），据此可

表示出直线AD、BC的方程，联立方程即可表示出点P坐标，再根据等腰梯形的面积公式可得四边形ABCD的面积S

的表达式，令t=1高,由t=79^7及（1）知0<f<1，对关于t的面积函数进行求导，判断其单调性和最值，即可求出

四边形A3CD的面积取得最大值时t的值，进而求出点尸坐标.

【详解】

y=4x,

（1）联立抛物线与圆的方程[,—"/,=,广

消去y,得f-2X+9-/=0.

由题意可知一-2x+9-r=0在（（）,+8）上有两个不等的实数根.

所以<,''解得2及<r<3，

9-r2>0,

所以厂的取值范围为re（2"3）.

（2）根据（1）可设方程2x+9-尸=0的两个根分别为为，々（0<玉<々）,

则A（x,,2嘉），8（%,一2嘉），。（9,-2&）,D（x”2人）,

2

且占+工2=2,xtx2=9-r,

所以直线A£>、BC的方程分别为

—毒JR2后,

X]~X2

y+2以J瓜+2日）,

%一%

联立方程可得，点P的坐标为（-”^,0）,

因为四边形ABC。为等腰梯形，

所以5=3（|4邳+|。£）〉（々_玉）=14嘉+4嘉）（勺_西）

——2J%+X、+2,X]x：•J（X]+/）~-4X]X,——2^/2+25/9—r"-J4―4（9一厂）,

令仁血-rG（0,1）,贝!]/。）=52=4（2+2/）（4—4『）=一32（/+产——1）,

所以/”)=_32(3/+251)=_32«+1)(351),

因为0</<1,所以当0<，<；时,/'"）>0；当;<r<l时,/'（r）<0,

所以函数/（r）在（0,；）上单调递增，在（!」）上单调递减，

即当，=_1时，四边形A8C。的面积S取得最大值，

3

因为-Jx/2=T，点P的坐标为平2，°），

所以当四边形ABCD的面积S取得最大值时，点P的坐标为（-1,0）.

【点睛】

本题考查利用导数求函数的极值与最值、抛物线及其标准方程及直线与圆锥曲线相关的最值问题；考查运算求解能力、

转化与化归能力和知识的综合运用能力;利用函数的思想求圆锥曲线中面积的最值是求解本题的关键;属于综合型强、

难度大型试题.

19.（I）乌（II）—+^-=1.

2123

【解析】

1

试题分析：（1）依题意，由点到直线的距离公式可得d=空hr，又有d=-c,联立可求离心率；

a2

（2）由（1）设椭圆方程，再设直线AB方程，与椭圆方程联立，求得|A6|,令|A却=而，可得b,即得椭圆方程.

试题解析：（I）过点（c,O）,（O,。）的直线方程为云+cy—历=0,

behe

则原点0到直线的距离d=r-^——-=—,

yjb2+c2a

由“=（c,得a=2h=2册一c2，解得离心率e=2=3.

2a2

（II）由（1）知，椭圆£的方程为f+4y2=4〃.

依题意，圆心"（一2,1）是线段的中点，且|4却=屈.

易知，A6不与x轴垂直.

设其直线方程为y=Z（x+2）+l,代入（1）得

（1+4%2卜2+8左（2%+1）》+4（2左+11-4〃=0.

设g/），W"2）,则2=.4俳+叱病

-38M2Z+1)1

由西+々=—47t，得-----------=—4,解得k——.

■1+4/2

从而X/2=8-2〃.

于是1ABi=+卜一工21=|JU-、=也。①一2).

由|AB|=J1U,得J10伊-2)=回,解得〃=3.

22

故椭圆E的方程为±+±=1.

123

20.(1)-(2)应该购买21件易耗品

6

【解析】

(1)由统计表中数据可得型号分别为A,B,C在一个月使用易耗品的件数为6,7,8时的概率，设该单位三台设备一个月

中使用易耗品的件数总数为X,则P(X>21)=P(X=22)+P(X=23)，利用独立事件概率公式进而求解即可；

(2)由题可得X所有可能的取值为19,20,21,22,23,即可求得对应的概率，再分别讨论该单位在购买设备时应同时购买

20件易耗品和21件易耗品时总费用的可能取值及期望，即可分析求解.

【详解】

(1)由题中的表格可知

A型号的设备一个月使用易耗品的件数为6和7的频率均为3义0=一1；

602

B型号的设备一个月使用易耗品的件数为6,7,8的频率分别为称=(第；

603602606

C型号的设备一个月使用易耗品的件数为7和8的频率分别为II==，另=：;

604604

设该单位一个月中A,B,C三台设备使用易耗品的件数分别为%V，z，则

设该单位三台设备一个月中使用易耗品的件数总数为X,

则P(X>21)=P(X=22)+P(X=23)

而P(X=22)=P(x=6,y=8,z=8)+P(x=7,y=7,z=8)+P(x=7,y=8,z=7)

1111111137

=-X—X—4--X-X—+—x—X—=一,

26422426448

P(X=23)=P(x=7,y=8,z=8)=^x-lxl=^,

711

故尸逐>21)=—十—=一，

48486

即该单位一个月中A,8,C三台设备使用的易耗品总数超过21件的概率为'.

6

(2)以题意知,X所有可能的取值为19,20,21,22,23

1131

P(X=19)=P(^=6,y=6,z=7)=-x-x-=-；

11111311317

P(X=20)=P(x=6,y=6,z=8)+(x=6,y=7,z=7)+P(x=7,y=6,z=7)=-x-x-+-x-x-+-x-x-=—；

23422423448

P(X=21)=P(x=6,y=7,z=8)+(%=6,y=8,z=7)+P(x=7,y=6,z=8)+P(x=7,y=7,z=7)

11111311111317

-x—X—+—x—x—+—x—x—+—X—X—

22426423422448

71

由⑴知,P(X=22)=kP(X=23)=欣,

若该单位在购买设备的同时购买了20件易耗品，设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为升元，则X的所有可能取

值为2000,2200,2400,2600,

11723

产(年=2000)=P(X=19)+P(X=20)=-+—=—；

84848

17

产(年=2200)=P(X=21)=—；

7

P(Y}=2400)=P(X=22)=—；

尸(X=2600)=P(X=23)=*；

231771

EY,=2000x—+2200x—+2400x—+2600x—«2142；

48484848

若该单位在肋买设备的同时购买了21件易耗品，设该单位一个月中购买易耗品所需的总费用为Y2