2023届北京市西城区高三一模数学试卷

西城区高三统一测试试卷

数学2023.3

本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试

卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选

出符合题目要求的一项.

i

j已知集合&={T，°/，2,3},B={x\x-3x<0}(则AB-(

A.{-1}B.{1,2}

C.{1,2,3)D.{-1,0,1,2}

2.下列函数中，在区间（（）,+<»）上为增函数的是()

A.y=T乂B.y=x2-2x

1

C.y=sinxD.y=x一—

X

3.设。=lg2,Z?=cos2,C=2°2,则()

A.h<c<aB.c<b<a

C.b<a<cD.a<b<c

2

4.在（x——）5的展开式中，X的系数为（）

X

A.40B.10

C.-40D.-10

UUUUL1

5.已知P为-ABC所在平面内一点，BC=2CP>则()

umiinm3皿皿

A.AP=——A3+二ACB.AP=-AB+-AC

2233

uunQLnjD1HIBI21I8411

CAP=-AB——ACD.AP=-AB+-AC

2233

6.函数/（%）=sin2工・tan%是（）

A.奇函数，且最小值为0B.奇函数，且最大值为2

C.偶函数，且最小值为。D.偶函数，且最大值为2

7.已知双曲线。的中心在原点，以坐标轴为对称轴.贝广。的离心率为2”是“。的一条渐

近线为y=的（）

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

8.在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度“km/s)和燃料的质量M(kg)以及火箭

(除燃料外)的质量N(kg)间的关系为v=21n(l+=).若火箭的最大速度为12km/s,则

N

下列各数中与竺最接近的是()(参考数据：e=2.71828)

N

A.200B.400

C.600D.800

x—c,x>0,

9.设ceR,函数…°c若〃x)恰有一个零点，则。的取值范围是

2'-2c,x<0.

()

A.(0,1)B.{0}U[l,+8)

c.(0,1)D.{0}吗,+8)

io.〃名学生参加某次测试，测试由加道题组成.若一道题至少有2〃名学生未解出来，

3

2

则称此题为难题；若一名学生至少解出了§机道题，则该生本次测试成绩合格.如果这次

2?

测试至少有一〃名学生成绩合格，且测试中至少有一用道题为难题，那么加〃的最小值为

33

()

A.6B.9

C18D.27

第二部分(非选择题共110分)

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

G*

11复数Z=——,则曰=.

12.已知抛物线>2=2px(p>0)的顶点为0,且过点A,8.若是边长为46的

等边三角形，则P=.

13.已知数列{。,,}的通项公式为%=2"L{2}的通项公式为记数列{4+〃}

的前〃项和为s“，则S《=—；s”的最小值为一.

14.设A(cosa,sina),8(2cos夕,2sin/7),其中a,万eR.当a=7t,尸时，|AB|=；

当|A8|=g时，a的一个取值为一.

15.如图，在楼长为2的正方体ABC。—A4GA中，点M，N分别在线段A2和BC

上.

给出下列四个结论：

①MN的最小值为2；

4

②四面体的体积为一；

③有且仅有一条直线MN与A。垂直；

④存在点M,N,使△M&V为等边三角形.

其中所有正确结论的序号是一.

三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

2兀

16.如图，在A3C中，Z/l=—,AC=BCD平分NACB交AB于点。，

CD=6

(1)求/ADC的值；

(2)求△BCD的面积.

17.根据《国家学生体质健康标准》，高三男生和女生立定跳远单项等级如下(单位:

cm）：

立定跳远单项等级高三男生高三女生

优秀26()及以上194及以上

良好245-259180-193

及格205-244150-179

不及格204及以下149及以下

从某校高三男生和女生中各随机抽取12名同学，将其立定跳远测试成绩整理如下(精确到

1cm)：

男生180205213220235245250258261270275280

女生148160162169172184195196196197208220

假设用频率估计概率，且每个同学的测试成绩相互独立.

(1)分别估计该校高三男生和女生立定跳远单项优秀率；

(2)从该校全体高三男生中随机抽取2人，全体高三女生中随机抽取1人，设X为这3人

中立定跳远单项等级为优秀的人数，估计X的数学期望E(X)；

(3)从该校全体高三女生中随机抽取3人，设“这3人的立定跳远单项既有优秀，又有其

它等级”为事件A,“这3人的立定跳远单项至多有1个是优秀”为事件B.判断A与B是否

相互独立.(结论不要求证明)

18.如图，在四棱锥P—ABC。中，24,平面A8CD,AB//CD,ABLAD,

43=1，PA^AD=CD=2.E为棱PC上一点，平面与棱PZ)交于点尸.再从

条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，完成下列两个问题

(2)求二面角8-9C-P的余弦值.

条件①：BE//AF；

条件②：BEVPC.

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.

19.已知函数/(X)=e*-cosx.

(1)求曲线y=.f(x)在点(0,/(0))处的切线方程；

(2)设g(x)=x_T(x)-/(x),证明:g(x)在(0,+8)上单调递增；

(3)判断3/弓)与的大小关系，并加以证明.

20.已知椭圆C:/+2y2=2,点在椭圆。上，且。(O为原点).设

中点为