北师大版九年级数学上册 （菱形的性质与判定）特殊平行四边形教学课件

1.1菱形的性质与判定

1.能灵活运用菱形的性质定理及判定定理解决一些相关问题，并掌握菱形面积的求法.2.经历菱形性质定理及判定定理的应用过程，体会数形结合、转化等思想方法.1、菱形的性质：①菱形既是中心对称图形，又是轴对称图形；②菱形的四条边都相等；③菱形的对角线互相垂直平分.ADBC2、菱形的判定：①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四边相等的四边形是菱形；④对角线互相垂直且平分的四边形是菱形.问题1菱形是特殊的平行四边形，那么能否利用平行四边形面积公式计算菱形ABCD的面积呢?ABCD思考前面我们已经学习了菱形的对角线互相垂直，那么能否利用对角线来计算菱形ABCD的面积呢?能.过点A作AE⊥BC于点E，则S菱形ABCD=底×高=BC·AE.E问题2如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD交于点O，试用对角线表示出菱形ABCD的面积.ABCDO解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD,∴S菱形ABCD=S△ABC+S△ADC=AC·BO+AC·DO=AC(BO+DO)=AC·BD.菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半例1、如图，将一个长为10cm、宽为8cm的长方形纸片对折两次后，沿所得长方形两邻边中点的连线(虚线)剪下，展开后得到菱形ABCD的面积为______cm2.

10解：矩形对折两次后，所得的矩形的长、宽分别为原来的一半，即为5cm，4cm，

而沿两邻边中点的连线剪下，剪下的部分打开前相当于所得菱形的沿对角线两次对折的图形，

所以菱形的两条对角线的长分别为5cm，4cm，

所以S菱形=×5×4=10

cm2．例2、如图，菱形花坛ABCD的边长为20m，∠ABC＝60°，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和BD，求两条小路的长和花坛的面积（结果分别精确到0.01m和0.1m2）.ABCDO解：∵花坛ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠ABO=∠ABC=30°.在Rt△OAB中，AO=AB=10m，BO=(m)，AC=2AO=20(m)，BD=2BO=≈34.64(m).∴S菱形ABCD=AC·BD=×20×20≈346.4(m2).合作探究如图两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分ABCD是菱形吗？为什么？是.由两组对边分别平行知四边形ABCD是平行四边形，因为纸条等宽，可知BC边上的高和CD边上的高相等，则△ABE≌△ADF，即得AB=AD.EFACDB所以四边形ABCD是菱形.例3、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；证明：（1）∵E是AD的中点，∴AE＝DE∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DBE在△AEF和△DEB中：∴△AEF≌△DEB（AAS）∴AF＝DB，∴四边形ADCF是平行四边形∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，∴AD＝CD＝BC∴四边形ADCF是菱形；例3、如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADCF是菱形；（2）若AC＝6，AB＝8，求菱形ADCF的面积．解：（2）连接DF∵AF＝DB，AF∥DB∴四边形ABDF是平行四边形∴DF＝AB＝8∴S菱形ADCF＝AC•DF=×6×8=241．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为（）A．40 B．24 C．20 D．15B2．如图，两张等宽的纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD，若测得A，C之间的距离为12cm，点B，D之间的距离为16cm，则线段AB的长为（）A．9.6cm B．10cm C．20cm D．12cmBACDB3．如图△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝8，则四边形AEDF的周长是（）A．24 B．32 C．40 D．48B4．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG＝BD，连接BG、DF．若，CF＝6，则四边形BDFG的周长为________．205.如图，在菱形ABCD中，点O为对角线AC与BD的交点，且在△AOB中，OA＝5，OB＝12.求菱形ABCD两对边的距离h.解：在Rt△AOB中，OA＝5，OB＝12，∴S△AOB＝OA·OB＝×5×12＝30，∴S菱形ABCD＝4S△AOB＝4×30＝120.∵AB=又∵菱形两组对边的距离相等，∴S菱形ABCD＝AB·h＝13h，∴13h＝120，得h＝.6.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.ABCOD解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)OB=OD=BD=×6=3(菱形的对角线互相平分)在等腰三角形ABC中，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形.∴AB=BD=6.在RtΔAOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2，∴OA==∴AC=2OA=（菱形的对角线相互平分）.课堂小结菱形的性质与判定的综合性问题菱形的面积综合运用面积=底×高=两条对角线乘积的一半菱形的性质与判定第一章特殊平行四边形导入新课讲授新课当堂练习课堂小结第1课时

1.了解菱形的概念及其与平行四边形的关系；2.探索并证明菱形的性质定理.（重点）3.应用菱形的性质定理解决相关问题.（难点）学习目标问题:什么样的四边形是平行四边形？它有哪些性质呢？平行四边形的性质：边：对边平行且相等.对角线：相交并相互平分.角：对角相等,邻角互补.导入新课活动:观察下列图片，

找出你所熟悉的图形.问题1:观察上图中的这些平行四边形，你能发现它们有什么 样的共同特征？平行四边形菱形菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.菱形的概念及其与平行四边形的关系一讲授新课

菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，但平行四边形不一定是菱形.问题2:菱形与平行四边形有什么关系？归纳平行四边形菱形集合平行四边形集合做一做请同学们用菱形纸片折一折，回答下列问题：

（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称 轴？对称轴之间有什么位置关系？

（2）菱形中有哪些相等的线段？菱形的性质二1.菱形是轴对称图形，有两条对称轴(对称轴直线AC和直线BD).2.菱形四条边都相等(AB=BC=CD=AD).3.菱形的对角线互相垂直(AC⊥BD).ABCOD

发现菱形的性质已知：如图，在菱形ABCD中，AB=AD,对角线AC与BD相交 于点O.求证:(1）AB=BC=CD=AD；

（2）AC⊥BD.

证明菱形的性质证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=CD，AD

=BC（菱形的对边相等）.又∵AB=AD;

∴AB

=

BC

=

CD

=AD.ABCOD求证：菱形的四条边相等，对角线互相垂直.

思考：菱形的一条对角线所分成的两个内角有什么关系？试证明AC平分∠BAD和∠BCD，BD平分∠ABC和∠ADC.（2）∵AB=AD,∴△ABD是等腰三角形.又∵四边形ABCD是菱形，∴OB=OD.在等腰三角形ABD中，∵OB=OD，∴AO⊥BD，

即AC⊥BD.ABCOD

菱形是特殊的平行四边形，它除具有平行四边形的所有性质外，还有平行四边形所没有的特殊性质.对称性：是轴对称图形.边：四条边都相等.对角线：互相垂直.

角：对角相等，邻角互补.边：对边平行且相等.对角线：相交并相互平分.菱形的特殊性质平行四边形的性质总结归纳1.如图，在菱形ABCD中，两条对角线AC与BD相交于点O，图中的等腰三角形有______________________________，直角三角形有_____________________________

，而且它们是________（“全等”或“不全等”）.

口答：2.菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）

A.内角和为360°B.对角线互相垂直

C.对边平行

D.对角线互相平分△ABD,△BCD，△ABC,△ADC△ABO，△ADO,△BCO,△CDO全等B例1：已知菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=5cm,BD=8cm.则：（1）BO=____________;(2)AC=_____________.典例精析BACDO4cm6cm

菱形中已知边长或对角线，求相关长度问题，一般利用菱形的对角线垂直平分，再结合勾股定理解题.归纳例2：如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的边长AB和对角线AC的长.解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD(菱形的对角线互相垂直)

OB=OD=BD=×6=3(菱形的对角线互相平分)在等腰三角形ABC中，∵∠BAD=60°，∴△ABD是等边三角形.∴AB=BD=6.ABCOD典例精析在RtΔAOB中，由勾股定理，得OA2+OB2=AB2，∴OA===∴AC=2OA=

（菱形的对角线相互平分）.ABCOD

若菱形有一个内角为60°，那么60°角的两边与较短的对角线可构成等边三角形，且两条对角线把菱形分成四个全等的含30°角的直角三角形.归纳当堂练习1.菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）

A.对角相等B.对边相等C.对角线互相垂直D.对角线相等2.如图，菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（）A.40B.32C.24D.20CD3.在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，E、F分别为BC，CD的中点，那么∠EAF的度数是（）A.75°B.60°C.45°D.30°B6.已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的四个内角度数分别为_____________________.

4.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是______.5.菱形ABCD中∠ABC＝120°，则∠BAC＝_