第二节 二重积分的计算

第二节二重积分的计算第1页，课件共52页，创作于2023年2月（1）如果积分区域为：其中函数、在区间上连续.［X－型］一、直角坐标系下二重积分的计算.

X型区域的特点：

穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.第2页，课件共52页，创作于2023年2月由几何意义知,以D为底的曲顶柱体体积V.

如图.过点x0作平面x=x0,截面是平面x=x0上的,以z=f

(x0,y)为曲边的曲边梯形.由定积分的几何意义,zx0yDz=f

(x,y)z=f

(x0,y)x0ab第3页，课件共52页，创作于2023年2月从而,故右端称为先对y,再对x的二次积分(累次积分).计算原则:由里到外.即先将x看作常数,以y为积分变量,求里层积分.

得到的结果是只含x,不含y的函数式,再求外层积分(以x为积分变量).第4页，课件共52页，创作于2023年2月注1.

公式虽是在条件f(x,y)0下得到的,但对一般的f(x,y)都成立,只须D是x—型区域即可.注2.

习惯上常将右端的二次积分记作即第5页，课件共52页，创作于2023年2月定理1设有界闭区域D是一个X型区域其中函数、在区间上连续.第6页，课件共52页，创作于2023年2月（2）如果积分区域为：［Y－型］则二重积分可化为先对x,再对y的二次积分.

即

Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.第7页，课件共52页，创作于2023年2月定理2设有界闭区域D是一个Y型区域第8页，课件共52页，创作于2023年2月若区域即非X-型区域，又非Y-型区域(如图)，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割，使得每个部分区域是X-型区域或Y-型区域.第9页，课件共52页，创作于2023年2月例1.xy0y=xy=x2x

为确定累次积分的上、下限.作与y轴同向的射线,从下至上穿过D.则y是由下方的曲线y=x2变到上方的曲线y=x的.解:

先画区域D的图形.方法1：先对y积分.里层积分的下限为x2,上限为x.由于该射线变化范围是[0,1].因此,外层积分下限为0,上限为1.即第10页，课件共52页，创作于2023年2月第11页，课件共52页，创作于2023年2月xy0y=xy=x211方法2：

先对x积分.作与x轴同向射线,从左至右穿过D.y则x是从左方曲线x=y变到右方曲线y=x2.即故里层对x积分的下限为y,上限为而该射线的变化范围是[0,1].故外层对y的积分下限为0,上限为1.第12页，课件共52页，创作于2023年2月第13页，课件共52页，创作于2023年2月例2.

解:

先画D的图形.先对x积分.作与x轴同向的射线穿过D.易知,x从左方曲线y=x2即右方曲线y=

x+2即x=2

y.而y[0,1].xy0y=

x+2y=x2112故第14页，课件共52页，创作于2023年2月所以,原式=

问,若先对y积分,情形怎样?xy0y=

x+2y=x2112第15页，课件共52页，创作于2023年2月例3.

求解：由于是“积不出”的，怎么办？要改换积分次序.先画积分区域D的图形.由积分表达式知，D：y

x1,0

y1画曲线x=y和x=1，直线y=0,y=1.如图：故原式=yx0Dy

=x第16页，课件共52页，创作于2023年2月

由例2，例3知，选择适当的积分顺序，有时能使积分变得简便，易行.在作题时，当按某一顺序积分很难，或不可行时，可改换积分顺序试一试.第17页，课件共52页，创作于2023年2月例4.

改换解：写出D的表达式，画D的图形改为先对x再对y的积分yx0D24第18页，课件共52页，创作于2023年2月解积分区域如图第19页，课件共52页，创作于2023年2月解第20页，课件共52页，创作于2023年2月例7解先去掉绝对值符号，如图第21页，课件共52页，创作于2023年2月第22页，课件共52页，创作于2023年2月关于利用对称性积分的问题(1)若D的图形关于x轴对称.(i)若f(x,–y)=f(x,y),

即函数也关于y是偶函数.yx0D2D1(ii)若f(x,–y)=–f(x,y),

即函数也关于y是奇函数.第23页，课件共52页，创作于2023年2月(2)若D的图形关于y轴对称.yx0D2D1(i)若f(–

x,y)=f(x,y)，(ii)若f(–

x,y)=–

f(x,y)，即函数也关于x是偶函数.即函数也关于x是奇函数.第24页，课件共52页，创作于2023年2月(3)若D关于原点对称(i)(ii)第25页，课件共52页，创作于2023年2月利用对称性来简化重积分的计算是十分有效的，它与利用奇偶性来简化定积分的计算是一样的，不过重积分的情况比较复杂，在运用对称性是要兼顾被积分函数的奇偶性和积分区域的对称性两个方面，不可误用.第26页，课件共52页，创作于2023年2月二、利用极坐标系计算二重积分当一些二重积分的积分区域D用极坐标表示比较简单，或者一些函数它们的二重积分在直角坐标系下根本无法计算时，我们可以在极坐标系下考虑其计算问题。第27页，课件共52页，创作于2023年2月1直系与极系下的二重积分关系（如图）（1）面积元素变换为极系下：（2）二重积分转换公式：第28页，课件共52页，创作于2023年2月（3）注意：将直角坐标系的二重积分化为极坐标系下的二重积分需要进行“三换”：第29页，课件共52页，创作于2023年2月2极系下的二重积分化为二次积分用两条过极点的射线夹平面区域，由两射线的倾角得到其上下限任意作过极点的半射线与平面区域相交，由穿进点，穿出点的极径得到其上下限。将直系下的二重积分化为极系后，极系下的二重积分仍然需要化为二次积分来计算。第30页，课件共52页，创作于2023年2月二、利用极坐标系计算二重积分第31页，课件共52页，创作于2023年2月具体的（如图）（1）区域特征如图第32页，课件共52页，创作于2023年2月区域特征如图第33页，课件共52页，创作于2023年2月（2）区域特征如图第34页，课件共52页，创作于2023年2月极坐标系下区域的面积（3）区域特征如图第35页，课件共52页，创作于2023年2月解第36页，课件共52页，创作于2023年2月解第37页，课件共52页，创作于2023年2月解第38页，课件共52页，创作于2023年2月第39页，课件共52页，创作于2023年2月第40页，课件共52页，创作于2023年2月解第41页，课件共52页，创作于2023年2月解第42页，课件共52页，创作于2023年2月解第43页，课件共52页，创作于2023年2月第44页，课件共52页，创作于2023年2月二重积分在直角坐标下的计算公式（在积分中要正确选择积分次序）二、小结［Y－型］［X－型］第45页，课件共52页，创作于2023年2月二重积分在极坐标下的计算公式（在积分中注意使用对称性）第46页，课件共52页，创作于2023年2月计算二重积分应该注意以下几点：

先要考虑积分区域的形状，看其边界曲线用直角坐标系方程表示简单还是极坐标系方程表示简单，其次要看被积函数的特点，看使用极坐标后函数表达式能否简化并易于积分。首先，选择坐标系。其次，化二重积分为二次积分。

根据区域形状和类型确定积分次序，从而穿线确定内限，夹线确定外限。最后，计算二次积分。