关于等的等关于等的教学设计

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初等论是一门古老的数学基础学科。这是数学的一个非常重要的数学分支，尤其是数学的一个非常重要的分支。算术和几何通常被认为是数学科学的起源，是数学最原始的两个分支，而初始结论是算术的重要组成部分。现在，国际数学界，特别是欧洲和美国的数学界，仍然将算术视为数学的同义词。例如，被称为“欧洲最重要的数学相遇论文”的日本理论已经解决，但传统的计算实践中积累了越来越多的问题，并已成为一个难以克服的茂密森林。从费马大理论和其他数论问题的研究过程来看，深入研究古代数学问题是现代数学发展的重要动力之一。近代数学主要由费马、梅、莎拉、高斯、勒让德、李、曼、希尔伯特等人发展起来。这项研究的内容主要是基于寻找数量分布规律的。从初始数学到解析数论和代数论的转变，人们越来越多地无法解决的问题。随着数学和历法研究的发展，数学和历法从最初的小学数学发展到现在的小学数学、解析数论、代数论、算术代数论、几何、计算结论、超越数论、组合数论等分支。同时，在现代秘密理论、算术理论、算术方法、组合代数和信息科学等领域应用了数学、算术理论和方法。我国高校的数学专业,尤其是师范院校的数学专业大都开设有初等数论这门课程.初等数论课程的教学工作不仅对培养数学系学生系统的、科学的数学思维能力和严密的逻辑思维能力起着重要的作用,而且对学生日后的科学研究和实践有重要意义.由于初等数论的内容与中小学数学教学以及奥数的联系非常紧密,因而提高初等数论课程的教学水平和质量,对使师范生能比较扎实地在较高层次上掌握中小学数学的知识,提高他们的教学能力有着重要的意义.关于初等数论课程的设置对师范生培养的重要性已有不少的研究,本文将对该课程教学目的的针对性,教学内容的安排和教学内容的适度延伸提出几点看法,供读者参考.1本课程的相关性1.1数学学习的训练是数学的基础对数学专业师范生的基本要求可归纳为以下几方面:首先,学生应该热爱数学,并对数学研究具有浓厚的兴趣.作为未来的中小学数学教师,如果缺乏对数学研究的热情和兴趣,则很难在日后的教学工作中激发他们的学生对数学的学习兴趣,也就很难成为一名合格的数学教师.初等数论在形式上初等的特点,对激发学生学习数学的兴趣有很大的帮助.国内外大量的事实表明,不少的数学工作者,甚至一些原来不了解数学的人对数学产生兴趣,并开始数学研究工作的主要原因是初等数论中的许多易理解、难证明的问题所具有的魅力.其次,师范生应该熟悉中小学数学课程的相关内容.这种熟悉过程不仅会出现在教学实习和对中学教材的了解过程中,还会出现在大学基础课程特别是像初等数论这样的与中小学数学联系紧密的基础课程的学习中.第三,师范生应该学会从更高的层次,更深的角度看待中学数学中的问题.在大学数学课程的学习过程中,有不少的师范生都错误地认为学习许多与中学内容无关的知识是在浪费时间和精力,这是我们在教学工作中应该及时发现和纠正的问题.也有学生认为初等数论与中学数学内容结合紧密,因此应该在教学过程中以中学数学教学内容为重,只需讲解相关的题目和解题方法即可.笔者认为这种想法也是错误的,我们应该以基础知识为重,系统地介绍基础理论和数学思想,这样才能使学生在今后的教学工作中从更高的层次、更深的角度看待问题,才能应付千变万化的数学题目,才能引导中学生认识数学、喜欢数学和学好数学.最后,师范生还应该具有一定的科研能力.中学数学教师不仅应该是教育工作者,也应该成为数学研究的积极参与者.只有真正参与到具体的研究工作中,才能更真实地体会到数学的思想和精髓,才能提高自身的数学修养,才能在教学工作中更好地引导学生学习数学.因此,应该要求师范生具有探索性的研究思维,了解和掌握基本的研究方法.1.2完善以中学数学为基础的初始个数师范专业初等数论课程的教学应以培养学生的数学素质,介绍基础理论和数学思想为主.同时,也应该结合教材和中学数学的特点,详细讲解一些与中学数学联系紧密的部分,适当地补充介绍一些中小学数学问题的基本解题思路和解题方法,这样会使学生更容易体会解题的乐趣,体会到初等数论的知识对中小学数学教学的影响.特别值得注意的是,中学数学中所涉及的数论内容大部分没有进行理论证明,只要求中学生掌握相应的求解方法即可.但作为未来的中学教师,却不能只知其然而不知其所以然.初等数论课程对很多中学数学中用到的相关结论和计算方法进行了严格的证明,在教学过程中我们应该明确地指出.例如文献中第8页定理5中的(am,bm)=(a,b)m,就是中学常用的计算最大公因数的方法的理论依据.此外,初等数论中还有一些内容与中学数学有着直接或间接的联系,例如整数的整除和代数式的整除的相关理论和实例在中学数学中得到了广泛的应用.再如不定方程特别是二元一次不定方程的内容,虽然在中学的数学课程中较少有直接讨论,但有不少的问题可以转化为不定方程的形式进行分析和讨论,因此在教学过程中可以适当地引入相关例题进行分析和讲解.初等数论中的剩余理论也是中学数学中关于整数的划分和区分实数的有理性和无理性部分的理论基础和依据,因而也需要多花一点时间和精力讲解该部分内容.2关于教材的选择和使用要求笔者有多年从事本科师范生数学专业初等数论课程的教学经历,所用教材是闵嗣鹤、严士健的《初等数论》,这是一本经典的初等数论教材,得到了同仁们的广泛认同,主要的参考书是潘承洞、潘承彪的《初等数论》.初等数论的主要内容就是研究整数环的整除理论及同余理论,此外,它也包括了连分数理论和少许不定方程的问题.本质上说,初等数论的研究手段局限在整除性质上.初等数论中经典的结论包括算术基本定理、欧几里得的质数无限证明、费马大定理、中国剩余定理、欧拉定理(其特例是费马小定理)、高斯的二次互逆律、勾股方程的商高定理等.好的教学内容和教学计划的安排对课程教学起着重要的作用.正如闵嗣鹤在《初等数论》的第一版序中写道:“作为一个好的教本,我认为要具有三个条件.第一是教材要选择得恰当,安排得自然.第二是说理要严格而清楚,深入而浅出,也就是逻辑性与直观性都要强.第三是要引人入胜,使人有‘欲穷千里目,更上一层楼’之感,换句话说,问题的来源与发展都要交代清楚,使读者能从少许见多许,增加他们目前学习与今后钻研的兴趣”.我们应该遵循上述标准,结合教材的选用、总学时的分配和学生的具体情况,合理安排具体的教学内容.由于近年来试探性的教学改革,初等数论课程的总学时被压缩,导致一些重要的内容被放弃,影响了课程的完整性.笔者认为,若选用闵嗣鹤、严士健的《初等数论》为教材,合理的教学总课时数应为72学时.这样可将该教材中除最后两章和*号部分外所有与中小学教材结合紧密的基础理论部分全部介绍完,使师范生能完整、系统地学习初等数论,为将来的教学工作打下良好的基础.在教学过程中,我们应该注意结合教材,介绍数论发展的历史,特别是中国古今数学家对数论的突出贡献,如孙子定理、勾股定理和歌德巴赫猜想等,增强学生的民族自豪感,提高学生学习数学和研究数学的兴趣,这对师范生来说是非常重要的.同时,在教学过程中,我们应该结合教材,适当地增加一些必要的辅助内容.例如在上初等数论的第一课时,可适当地回顾自然数和整数的定义、性质、运算法则以及归纳原理和由此推导出的数学归纳法、最小自然数原理等与初等数论密切相关的基础理论,然后再引入整除性的讨论.这对帮助学生更全面、更系统地了解数论的知识是有用的.再有,由于数论与现代计算机科学的紧密联系,我们可以在教学过程中借助计算机的快速计算能力,让学生能更深刻地理解和掌握数论中的一些基础的、重要的算法,同时提高学生的学习兴趣.例如,对于辗转相除法,我们可以要求学生在课外设计出相应的计算程序,并在计算机上进行运算.还可以进一步要求学生对相对较大的整数利用辗转相除法求它们的公因数,让学生体会到:虽然从理论上讲,辗转相除法解决了求两个整数的最大公因数问题,但在实际计算中仍有很多的问题存在,激发学生进行深入研究的兴趣.此外,我们还可以结合教材,将一些最新的研究成果和研究动向介绍给学生,特别是一些没有被完全解决,又能使学生较容易理解和接受的问题(如关于不定方程的研究),使学生了解相关问题的研究前沿,掌握学科动向,开拓学生的视野,激发学生的学习兴趣和创新热情.3加强对数值论的学习,提高教学的基础和能力.树立完成了初等数论的教学工作后,在教学时间允许的情况下,该课程还可以在以下两个方面进行必要的延伸:一是参考《数论导引》和冯克勤的《代数数论》等经典书籍,初步地介绍一些代数数论和解析数论的基础理论知识,让学生了解现代数论的主要研究内容和发展方向,使学生对数论有更深入的了解,为培养更多的数论研究工作者作准备,笔者认为这对本科生来说是适当的、可行的.二是开设与中小学数学和奥数联系紧密的数论内容的选修课,使学生在系统地掌握了初等数论的基础理论知识后,学会如何灵活应用基础理论,解决他们将要面对的中小学数学问题,增强他们迎接未来教学工作的信心和能力,为他们未来的教学工作打下良好的基础.4关于竹子定理《古今数学思想》的序言中写道:“为着不使资料漫无边际,我忽略了几种文化,例如中国的、日本的和玛雅的文化,因为他们的工作对于数学思想的主流没有重大的影响”.这种片面性的观点成为了该书的不足之处.中国数学的历史已得到许多公正的评价,如JosephNeedham的《ScienceandCivilizationinChina》,以及初等数论中的孙子定理被普遍译为“Chineseremaindertheorem”等.笔者认为,孙子定理虽然被国际数学界公认为数论中同余理论的重要基础,但千百年来,国人并未将其构建成一套完整的理论体系加以系统的、科学的研究.此现象也反映了中国古代数学,特别是数论研究的辉煌成果背后的局限性,即