利用换乘对称性简化积分的计算方法

利用换乘对称性简化积分的计算方法

在计算某些分数时，如果积分区域具有交替的对称性，可以简化积分计算过程。本文讨论了利用轮换对称性简化二重积分,三重积分,第一,二类曲线积分,第一,二类曲面积分的计算方法。(以下都在积分存在下予以讨论)定义1:若∀P(x1,x2,…,xn)∈Dn⊂Rn(n∈N),有P1(xi,xi+1,…,xn,x1,x2…xi-1)∈Dn(i=1,2,…,n)成立,则称Dn关于x1,x2,…xn具有轮换对称性。定义2:若函数F(x1,x2,…,xn)≡F(xi,xi+1,…xn,x1,x2…xi-1),(i=1,2,…,n),则称函数F(x1,x2,…,xn)关于x1,x2,…,xn具有轮换对称性。一、dfx,yd,u型若积分区域D关于x,y具有轮换对称性,则1.∬Df(x,y)dσ=12∬D(f(x,y)+f(y,x))dσ;2.D关于直线y=x对称,记D位于直线y=x上半部分区域为D1,(1)当f(x,y)=f(y,x)时,∬Df(x,y)dσ=2∬D1f(x,y)dσ;(2)当f(x,y)=-f(y,x)时,∬Df(x,y)dσ=0例1:求(1)∬D(x+y)dσ;(2)∬D(x-y)dσ,其中:D由x≥1,y≥1,x2+y2=2在第一象限内所围成的图形。解:积分区域D关于x,y具有轮换对称性,即积分区域D关于直线y=x对称,记D位于直线y=x的上半部分为D1。(1)因为被积函数f(x,y)=x+y,满足:f(x,y)=f(y,x),所以:∬D(x+y)dσ=2∬D1(x+y)dσ=2∫√21dy∫√2-y21(x+y)dx=43√2-1(2)因为被积函数f(x,y)=x-y,满足:f(x,y)=-f(y,x),所以∬D(x-y)dσ=0二、计算参数选取若积分区域Ω关于x,y,z具有轮换对称性,则:∭ΩF(x,y,z)dv=∭ΩF(y,z,x)dv=∭ΩF(z,x,y)dv=13∭Ω(F(x,y,z)+F(y,z,x)+F(z,x,y))dv例2:计算∭Ω(x2+z2)dv,其中Ω:x2+y2+z2≤1.解:因为积分区域Ω关于x,y,z具有轮换对称性,所以∭Ω(x2+z2)dv=13∭Ω((x2+z2)+(y2+x2)+(z2+y2))dv=23∭Ω(x2+y2+z2)=23∫02πdθ∫0πdφ∫01r4sinφdr=815π三、ax,y,z,x评分1.在第一类平面曲线积分∫Lf(x,y)ds的计算过程中,若积分曲线L关于x,y具有轮换对称性,则:(1)∫Lf(x,y)ds=∫Lf(y,x)ds=12∫L(f(x,y)+f(y,x))ds;(2):L关于直线y=x对称,记:L位于直线y=x上半部分区域为L1,则(a)当f(x,y)=f(y,x)时,∫Lf(x,y)ds=2∫L1f(x,y)ds,(b)当f(x,y)=-f(y,x)时,∫Lf(x,y)ds=02.在第一类空间曲线积分∫ΓF(x,y,z)ds的计算过程中,若积分曲线Γ关于x,y,z具有轮换对称性,则:∫ΓF(x,y,z)ds=∫ΓF(y,z,x)ds=∫ΓF(z,x,y)ds=13∫Γ(F(x,y,z)+F(y,z,x)+F(z,x,y))ds例3:计算∮Tx2ds其中Γ:{x2+y2+z2=R2x+y+z=0解:∵Γ关于x,y,z具有轮换对称性∴∮Τx2ds=13∮Γ(x2+y2+z2)ds=13∮ΤR2ds=23πR3四、x,z,x,z,x,y,z+2y2z2ds若积分曲面Σ关于x,y,z具有轮换对称性,则:∬ΣF(x,y,z)ds=∬ΣF(y,z,x)ds=∬ΣF(z,x,y)ds=13∬Σ(F(x,y,z)+F(y,z,x)+F(z,x,y))ds例4:计算∯Σ(x4+2y2z2)ds,其中Σ是闭曲面x2+y2+z2=2。解:因为积分曲面Σ关于x,y,z具有轮换对称性,所以∯Σ(x4+2y2z2)ds=13∯Σ((x4+2y2z2)+(y4+2z2x2)+(z4+2x2y2))ds=13∯Σ(x2+y2+z2)2ds=13∯Σ4ds=323π五、x,y,z,xx计算若积分曲线Γ关于x,y,z具有轮换对称性,则:∫ΓΡ(x,y,z)dx=∫ΓΡ(y,z,x)dy=∫ΓΡ(z,x,y)dz=13∫ΓΡ(x,y,z)dx+Ρ(y,z,x)dy+Ρ(z,x,y)dz六、z+y,z,xdzdzdx+若积分曲面Σ关于x,y,z具有轮换对称性,则∬ΣΡ(x,y,z)dydz=∬ΣΡ(y,z,x)dzdx=∬ΣΡ(z,x,y)dxdy=13∬ΣΡ(x,y,z)dydz+Ρ(y,z,x)dzdx+Ρ(z,x,y)dxdy例5:计算∯Σxzdxdy+xydydz+yzdzdx其中Σ是平面x=0,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧。解:因为积分曲面Σ关于x,y,z具有轮换对称性,所以∯Σxzdxdy+xy