基于数学类比思维的偏导数与全微分教学

基于数学类比思维的偏导数与全微分教学

数学类比思维是数学思维的重要形式。在科学探索中,类比思维的价值为世界上许多科学家所称道,开普勒说:“我珍视类比胜于任何别的东西,它是我最可信赖的老师,它能揭示自然界的秘密.”康德曾说:“每当理智缺乏可靠论证的思路时,类比这个方法往往能指引我们前进。”运用数学类比思维可以把陌生的对象和熟悉的对象进行对比,把未知的东西和已知的东西相对比,特别是在资料少,还不足以进行归纳推理和演绎思维的情况下,类比更是得天独厚,它可以启发思路,提供线索,进一步认识世界。一元微分学到多元微分学,是数学史上的一大进步。而偏导数、全微分又是多元微分学中重难点之一,因为较一元函数而言,二元函数的相关概念有了很大程度的拓展和延伸,并且概念较为抽象,较为复杂,对高职高专只要求“够用、会用”的学生理解起来显得难度很大,这给数学教学带来一定的难度。教师应引导学生对于已有的、熟练掌握的一元函数的导数和微分的定义、公式及计算方法等类比的推到二元函数的导数和微分中,使新知识化难为易,达到很好的理解效果。本文试图通过一元函数与多元函数的类比来创设有效的偏导数与全微分的教学策略。一、实践能力型人才培养白通过游戏掌握了哪些理论知识,在游戏中有哪些经验和教训,可以获得哪些技巧等。在人力资源管理课程的教学中引入管理游戏,不仅能够有效地激发学生的学习兴趣,让学生在情景中巩固所学的抽象理论知识并消除理论知识学习中的疑点、难点,而且可以培养学生的创新精神和团队合作意识。随着我国经济的发展,社会对人才的需求和要求也在提高,高校的学生不但要掌握一定的理论知识,还要有较强的实践能力。人力资源管理课程教学过程中应始终坚持知识传授、能力培养、素质提高协调发展和共同提高原则,针对我国目前高校教学现状,传统教学法在知识传授的系统性、扎实性和快速性方面仍具有一定的优势,也是现阶段最为经济的一种教学模式。然而人力资源管理又是一门实践性很强的应用性学科,在教学过程中结合运用案例教学、情景模拟和游戏教学能够使学生加深对理论知识的理解,提高独立思考、独立研究和独立探索问题的能力,进而可以提高学生实际操作能力和解决实际问题的能力,适应经济发展的需求。因此,在实际教学过程中,教师应综合使用以上教学方法取长补短,以期提高教学质量,培养出既有扎实的理论功底又具有实践能力的复合型人才。1.陈维政,余凯成,程文文.人力资源管理(第2版)[M].北京:高等教育出版社,2006,102.郭成.MBA管理方法与情景案例[M].郑州:郑州大学出版社,2004,43.兰策元.多元化方法与HRM教学研究[J].黄山学院学报,2006,8(5):118～1204.钱士茹,吴笛.亲验式教学法在“人力资源管理”教学中的应用[J].合肥学院学报,2006,6(2):60～62(一)复习回顾一元函数导数的定义。在讲解二元函数偏导数的定义时,首先让学生回顾已有的一元函数导数的定义,我们可分五步来对一元函数导数进行回忆:1.条件:函数f(x)在x0的某邻域内有定义。2.操作:在x0处给自变量一增量:Δx∶x0→x0+Δx;计算相应函数值的增量:Δy=f(x0+Δx)-f(x0)。3.假设:若自变量的增量趋向于0时,函数值的增量比自变量的增量的极限值存在为A。4.结论:称A为函数f(x)在x0处的导数。5.符号:f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)-f(x0)Δx=Af′(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx=A(二)讲授二元函数偏导数的定义。二元函数只不过比一元函数多一个自变量,那么对于二元函数偏导数的定义也可类比着通过这五步来得到,教师引导学生一起按照这五步进行,遇到困难,试图寻找简化的策略。1.条件:函数Z=f(x,y)在(x0,y0)的某邻域内有定义。2.操作:给自变量增量,对二元函数两个自变量,到底给谁增量呢?在这里我们遇到了困难,为了简化问题,我们可让其中一个自变量不变,而给另一个自变量一增量。不妨,在点(x0,y0)处给x0一增量:Δx∶x0→x0+Δx,而让y0保持不变,即y0→y0。下步是计算相应函数值的增量,即后来函数值减去原来函数值:给一符号表示为:ΔxZ=f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)这实际上是给出了关于自变量x的偏增量的定义。3.假设:因对二元函数上步我们是对自变量x给的增量,所以可假设当Δx→0时,ΔxΖΔxΔxZΔx极限值存在为A。4.结论:因我们在给自变量增量时,只是让x进行改变,为了表述清楚,我们可称A为函数Z=f(x,y)在(x0,y0)处关于x的偏导数。5.符号:f′(x0,y0)=∂Ζ∂x|(x0,y0)=f′(x0,y0)=∂Z∂x|(x0,y0)=limΔx→0ΔxΖΔx=limΔx→0f(x0+Δx,y0)-f(x0,y0)Δx=A。limΔx→0ΔxZΔx=limΔx→0f(x0+Δx,y0)−f(x0,y0)Δx=A。按照上述这五步进行,若让x固定,而给另一自变量y一增量,相应可得出,关于y的偏导数的定义。在由一元函数导数向二元函数偏导数类比过程中,我们实际上给出了偏增量的概念,这样做的目的是降低难度,使学生有足够的心理能力和知识背景通过概念同化的途径获得偏导数新概念。这种类比教学策略,使晦涩难懂的偏导数定义,接受起来理所当然,并且容易理解掌握和运用。类比中我们还可以得到,二元函数的偏导数实质上是把一自变量固定而将二元函数看成是关于另一自变量的一元函数的导数。因此在求解二元函数的偏导数时,只需将一个自变量暂时看做常量,利用一元函数求导方法,直接对另一自变量进行求导数即可。二、元函数全微分与偏导数的结构关系一般的我们要讲解全微分的概念时要注意两方面的问题:一是全增量能否用自变量增量的线性函数来代替,二是余下的部分能否用ρ的高阶无穷小来表示。我们不需要对证明详加理解,只需用一元微分的概念类比的推到二元函数的情形,在讲解二元函数全微分与偏导数的关系时,只需要用反例加以说明。在实际教学过程我们首先复习回顾一元函数微分的概念由浅入深的使知识向二元函数情形过渡,对于二元函数全微分的讲解,教师可提出问题;二元函数全增量能否如一元函数一样用自量增量的线性函数来代替?以这一问题为线索引起学生的兴趣和好奇,通过一元函数微分概念继而给出全微分的定义,并参照一元函数的做法来分析二元函数中ΔZ,dZ与Δx,Δy,ρ的关系,进而使学生对全微分概念有一完整认识。最后给出全微分与偏导数的关系,并用反例加以说明,另外,告诫学生任何知识的理解都是一循环反复的过程,需要通过一定量的练习来加深理解。(一)恢复和总结1元函数的概念1.条件函数f(x)在点x的某邻域内有定义。2.x+0x首先给自变量一增量Δx,然后计算相应的函数值的增量Δy,若增量能表示成这样一种形式:Δy=AΔx+0(Δx)。这种形式具有这样的特点:函数值的增量Δy有两部分组成,第一部分为自变量增量的线性函数,第二部分为自变量增量的高阶无穷小,当然第二部分也可以写成自变量增量模的高阶无穷小,即自变量增量与原点距离(不妨,记作ρ)的高阶无穷小,即Δy=AΔx+0(ρ)。3.结论若函数值的增量表示成这种形式,我们称前面的线性部分为函数f(x)在点x处的微分记作:dy=AΔx。4.深化若函数f(x)在点x处可导,则dy=f′(x)dx。5.利用微变量体现线性函数近似由一元函数微分的概念可以得出:当自变量改变量Δx很小时,函数值的增量可以用微分近似代替即可用自变量改变量的线性函数近似代替。在几何上体现了局部的“以直代曲”。(二)本文介绍了二维函数的概念和完整差分1.条件函数Z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义。2.基于一元函数给微分时增量的形式二元函数两自变量,首先可以分别给两自变量一增量Δx和Δy,然后计算相应的函数值的增量Δz,若函数值的增量能表示成一种类似于一元函数给微分时增量的形式,即增量有两部分组成:第一部分为自变量增量的线性函数,对二元函数来说两个自变量,那么自变量增量的线性函数应该写成AΔx+BΔy形式,另一部分为自变量增量与原点距离的高阶无穷小,二元函数有两个自变量,故距离ρ=√Δx2+Δy2ρ=Δx2+Δy2−−−−−−−−√,所以对二元函数来说,增量表示成如下形式:ΔZ=AΔx+BΔy+0(ρ)。3.约化和线性时、线、面间线上的微分若对二元函数来说,函数值的增量能表示如上述形式,我们类比一元函数微分的概念,同样可称前面的线性部分为函数Z=f(x,y)在(x,y)处的微分记作:dZ=AΔx+BΔy。4.偏导数的函数如果函数Z=f(x,y)在(x,y)处的某一邻域内有连续的偏导数∂Ζ∂x∂Z∂x和∂Ζ∂y∂Z∂y,则函数Z=f(x,y)在(x,y)处可微,并且dΖ=∂Ζ∂xdx+∂Ζ∂ydy。5.微分近似替代由二元函数微分的概念同样可以得出:当自变量改变量Δx,Δy很小时,函数值的增量可以用微分近似代替即用自变量改变量的线性函数近似代替,可写成如下表达式:ΔZ≈dZ=AΔx+BΔy。从几何直观上我们可以看出,这体现了三维立体空间中在局部上可以用切平面代替曲面,即体现了“以平代曲”的理念。三、从学生实际数据处理中行为表现的意义上看,一元、二元函数“任何比喻都是蹩脚的”类比方法跟比喻方法很类似,也存在着不足的地方:由类比所得出的结论都具有一定的或然性,有时会出现错误。从一元函数和二元函数之间在某些方面的相同或相似,并不一定得出它们在其他属性方面也必然相同或相似的结论。我们知道,一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件,同时可导必然连续,连续必然有极限。可对于二元函数来说情况就完全不一样了,我们可以通过下图来分别说明他们之间的关系