实数与向量的积市名师优质课比赛一等奖市公开课获奖课件

向量数乘运算(1)学校：江苏省洪泽中学教师：傅启峰第1页1.向量加法三角形法则作法:在平面中任取一点O,o回顾旧知:过O作OA=

a过A作AB=

b则OB=a+b.a+bbaA如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.bBa首尾相接首尾连第2页2.向量加法平行四边形法则作法:在平面中任取一点O,o以OA,OB为边作平行四边形C如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.baaAbB过O作OA=

a过O作OB=

ba+b则对角线OC=a+b共起点第3页3.向量减法(三角形法则）如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.ab作法:在平面中任取一点o,过O作OA=

a过O作OB=

boaAbB则BA=a-ba-b共起点第4页实际背景第5页探索1:aCaABaO-aQ-aMN-aP已知非零向量a

（如图）a试作出：a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)依据向量加法法则可得

思索:相同向量相加以后，和长度与方向有什么改变？第6页OABC

由图可知，向量OC=OA+AB+BC=a+a+a,我们把a+a+a记作3a，即OC=3a.显然，3a方向与a方向相同，3a长度是a长度3倍，即|3a|=3|a|.第7页PQMN由图可知，PN=PQ+QM+MN=(-a)+(-a)+(-a)，把(-a)+(-a)+(-a)记作-3a，即PN=-3a显然，-3a方向与a方向相反，-3a长度是a长度3倍，即|-3a|=3|a|。第8页（1）

普通地，我们要求实数λ与向量积是一个向量，这种运算叫做向量数乘，记作，它长度和方向要求以下：（2）当时，方向与方向相同；当时，方向与方向相反。尤其，当时，思索:向量数乘和实数乘法有那些相同点?那些不一样点?①a是一个向量；②a长度等于绝对值与向量a长度乘积。第9页=探索2:(1)依据定义，求作向量3(2a)和(6a)(a为非零向量)，并进行比较。(2)已知向量a,b，求作向量2(a+b)和2a+2b，并进行比较。第10页设为实数，那么尤其，我们有第一分配律第二分配律

向量加、减、数乘运算统称为向量线形运算.对于任意向量，以及任意实数，恒有第11页例1.计算：第12页第13页探索.如图：已知，，试判断与是否共线．

ABDEC∴与共线．

解：第14页思索:问题2：假如向量a与b共线那么，b=λa？问题1：假如b=λa,那么，向量a与b是否共线？对于向量a(a≠0),b，以及实数λ,第15页向量共线定理

对于向量a（a≠0）、b，假如有一个实数，使b=a，那么由实数与向量积定义知，a与b共线.

反过来，已知向量a与b共线，a≠0，且向量b长度是向量aλ倍，即|b|︰|a|=λ，那么当向量a与b同方向时，有b=λa，当向量a与b反方向时，有b=-λa.

也就是说：假如a与b共线，那么有且只有一个实数，使b=a.第16页例2:如图，在平行四边形ABCD中，M是AB中点，点N是BD上一点，，求证M、N、C三点共线.AMBCDN提醒：设AB=aBC=b则MN=…=a+

bMC=…=a+

b

所以M.N.C三点共线第17页一、①λa定义及运算律②向量共线定理(a≠0)

b=λa向量a与b共线二、定理应用：1.证实向量共线2.证实三点共线: