第三章 群论基础及在化学中应用

第三章群论基础及在化学中应用

§3-1行列式一、行列式定义一个行列式就是n2个元素的正方排列。行与列的数目相同。n是行列式的阶。二、行列式的计算

(按行展开，i=1,2,…n)（按列展开，j=1,2,…n）其中，，代表的代数余子式。如的代数余子式为：

三、行列式的性质1、若行列式的某一行或某一列的每元素都为零，则行列式的值为零。2、将行列式的任意两行（或列）互相交换，等于将行列式的值乘以-1。但是绝对值不变。3、若行列式的两行（或列）相同，则行列式的值等于零。4、将行列式的某行（或列）的所有元素乘以一个常数K，等于将行列式乘以K。5、若任何一行的所有元素是两个或是更多个数的和（或差），则此行列式可以写作两个或更多个具有相同阶数的行列式的和（或差）。例如：6、若行列式的所有行列交换但并不改变次序，则此行列式的值不变。7、将行列式的某行（或列）的所有元素乘以一个数后加于另一行（或列）的对应元素，行列式的值不变。四、行列式应用利用n阶行列式求解含多个未知数的线性方程组。§3.2矩阵矩阵是群表示的数学基础，我们这里介绍中矩阵的有关基础知识。一、矩阵的定义把数字或符号排列为如下形式的表：但在化学中使用的大多为方矩阵，即行数与列数相等的矩阵；及行阵和列阵（仅一行或是一列）二、矩阵的迹定义对于方阵，矩阵A的对角元素之和称为矩阵的迹三、矩阵的代数运算规则1、两个矩阵A和B相等：A=B，即它们的元素对应相等。2、两个同阶矩阵A和B可以相加成另一矩阵C：C=A+B（矩阵的加法服从交换律和结合律）推论：常数λ乘以矩阵A得矩阵B，则3、两个矩阵A和B相乘可以得到另一矩阵C：C=AB（矩阵乘法但服从分配律和结合律，不服从交换律）四、几种特殊矩阵的名词定义1、零矩阵2、行矩阵和列矩阵3、对角矩阵4、块因子矩阵（准对角矩阵）5、纯量（常数）矩阵6、单位矩阵1、复数共轭矩阵五、派生矩阵2、转置矩阵3、共轭矩阵4、逆矩阵5、厄米矩阵6、么正矩阵（酉矩阵）7、正交矩阵8、实矩阵9、对称矩阵§2.3群论的基本知识一、群的数学定义一个集合G（A，B，C，…），当在G中定义称为“乘法”的运算时，如果满足下列四个条件，则称集合G为一个群。1）封闭性2）结合律3）单位元素4）逆元素二、群的乘法表由于群中任意两个元素的乘积仍是群中元素，因此，我们可以将群元素的乘积排列成一个表，称为群的乘积表。例：（H2O）三、子群如果群G中的一部分元素对于群G的乘法也构成群H，则群H称作群G的子群。有二个平凡子群（非真子群）：E（单位元素）和G（G群本身），其它为真子群。例：C2v群的C2群是子群。四、共轭元素与类1、共轭元素定义：设A，B，X是一个群的任何三个元素，若满足则称A，B相互共轭。2、类的定义一个群中相互共轭的元素的集合称为一个共轭类，简称类。3、共轭元素的性质（1）每个元素自身共轭。（2）A与B共轭，则B与A共轭（3）A与B共轭，A与C共轭，则B与C共轭。（4）群中二个不同类没有共同元素（5）单位元素自成一类（6）对易群每个元素自成一类对易群，AB=BA，则有：。

（7）若两元素（对称操作）同类，则两对称元素可经某一操作使之重合。五、同构与同态§

2.4群的表示理论群的表示就是对称操作群元素的用矩阵来描述。一、群的矩阵描述1、基的定义：常将群元素的作用对象称为基。