高二数学课件：圆的方程

7.61圆的方程

(一)

7.61圆的方程(一)问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？平面内与一定点距离等于定长的点的轨迹称为圆.问题2：图中哪个点是定点？哪个点是动点？动点具有什么性质？圆心和半径都反映了圆的什么特点？圆心C是定点，圆周上的点M是动点，它们到圆心距离等于定长|MC|=r，圆心和半径分别确定了圆的位置和大小．问题3：求曲线的方程的一般步骤是什么？其中哪几个步骤必不可少？2023/9/152重庆市涪陵实验中学问题1：具有什么性质的点的轨迹称为圆？平面内与一定点距离等于（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；（2）写出适合条件p(M)；（3）用坐标翻译条件p(M)，列出方程f(x,y)=0；（4）化简方程f(x,y)=0；（5）证明化简后的方程为所求曲线的方程．其中步骤(1)(3)(4)必不可少．2023/9/153重庆市涪陵实验中学（1）建立适当的坐标系，用有序实数对(x,y)表（2）写出用求曲线方程的一般方法来建立圆的标准方程：解：设M(x,y)是圆上任意一点，xyO．rM据圆的定义有|MC|=rC由距离公式，得两边平方，得说明：1.特点：明确给出了圆心和半径；2.确定圆的方程必须具备三个独立的条件。2023/9/154重庆市涪陵实验中学用求曲线方程的一般方法来建立圆的标准方程：解：设M(x,y)练习1.写出下列各圆的方程：（1）圆心在圆点，半径是3；（3）经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3)（2）圆心在点C(3,4)，半径是；2023/9/155重庆市涪陵实验中学练习1.写出下列各圆的方程：（3）经过点P(5,1)，圆练习2.写出下列各圆的圆心坐标和半径（1）（2）（3）（-1，2）32023/9/156重庆市涪陵实验中学练习2.写出下列各圆的圆心坐标和半径（1）（2）（3）（-1例1.求以C(1,3)为圆心，并且和直线3x-4y-7=0相切的圆的方程。解：因圆C和直线3x-4y-7=0相切，所以圆心到直线的距离等于半径r，CxyOr因此，所求的圆的方程是2023/9/157重庆市涪陵实验中学例1.求以C(1,3)为圆心，并且和直线3x-4y-7=0解练习3.已知一个圆的圆心在原点，并与直线4x+3y-70=0相切，求圆的方程。2023/9/158重庆市涪陵实验中学练习3.已知一个圆的圆心在原点，并与直线2023/8/38重例2.已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M(x0,y0)

的切线的方程。分析(一)：设切线斜率为k，OM斜率为k1，则：所以切线方程为：x0x+y0y=r2xOMyP分析(二)：设P为切线上任意一点，则OM⊥MP，所以：(x0，y0)·(x-x0，y-y0)=0所以切线方程为：x0x+y0y=r2.当M在坐标轴上时，上面方程仍适用。2023/9/159重庆市涪陵实验中学例2.已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M(x0P(x,y

)由勾股定理：|OM|2+|MP|2=|OP|2分析(三)：

在直角三角形OMP中yxOx0x

+y0y=r2例2.已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M(x0,y0)

的切线的方程。2023/9/1510重庆市涪陵实验中学P(x,y)由勾股定理：分析(三)：在直角三角形O总结：过一点求圆的切线的方程1、求经过圆上一点M（x0,y0）的切线的方程：（1）圆C的方程为：（2）圆C的方程为：2023/9/1511重庆市涪陵实验中学总结：过一点求圆的切线的方程1、求经过圆上一点M（x0,y2、求经过圆外一点M（x0,y0）的切线的方程。常用求法简介：2023/9/1512重庆市涪陵实验中学2、求经过圆外一点M（x0,y0）的切线的方程。常用求法简练习4.写出过圆x2+y2=10上一点M的切线的方程练习5.已知圆的方程是x2+y2=1，求（1）斜率等于1的切线的方程；（2）在y轴上截距是的切线的方程。2023/9/1513重庆市涪陵实验中学练习4.写出过圆x2+y2=10上一点M例3：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m)yx解：如图建立坐标系，设圆的方程是x2+(y-b)2=r2(r>0)。2023/9/1514重庆市涪陵实验中学例3：如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图。该圆拱跨度AB=20yx把P(0,4)、B(10,0)代入圆的方程得方程组：02+(4-b)2=r2102+(0-b)2=r2解得：b=-10.5r2=14.52所以圆的方程是：x2+(y+10.5)2=14.52把点P2的横坐标x=-2代入圆的方程，得

(-2)2+(y+10.5)2=14.52因为y>0,所以y=14.52-(-2)2-10.5≈14.36-10.5=3.86(m)答：支柱A2P2的长度约为3.86m。2023/9/1515重庆市涪陵实验中学yx把P(0,4)、B(10,0)代入圆的方程得方程组：0小结

(1)圆心为C(a,b)，半径为r

的圆的标准方程为

(x-a)2+(y-b)2=r2

当圆心在原点时a=b=0，圆的标准方程为：

x2+y2=r2(2)由于圆的标准方程中含有a,b,r

三个参数，因此必须具备三个独立的条件才能确定圆；对于由已知条件容易求得圆心坐标和圆的半径或需利用圆心坐标列方程的问题一般采用圆的标准方程。2023/9/1516重庆市涪陵实验中学小结2023/8/316重庆市涪陵实验中学2.求圆心C在直线x+2y+4=0上，且过两定点A(-1,1)、B(1,-1)的圆的方程。3.从圆x2+y2=10外一点P(4,2)向