一元二次方程的解集及其根与系数的关系（原卷版）

2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系TOC\o"13"\h\z\u题型2方程根的个数的判断及其应用 3题型3根与系数的关系与求值问题 4题型4构造一元二次方程法 5题型5根与系数的关系与范围问题 5知识点：1．一元二次方程的解集一般地，Δ＝b2－4ac称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式．(1)当Δ>0时，方程的解集为{eq\f(－b＋\r(b2－4ac),2a)，eq\f(－b－\r(b2－4ac),2a)}；(2)当Δ＝0时，方程的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(－\f(b,2a)))；(3)当Δ<0时，方程的解集为∅．注意：一元二次方程的基本特征有两个：一是最高次幂，其指数为2;二是二次项系数不为0.判断方程解的情况，需依据判别式的符号。若二次项系数含有参数，则需要对参数进行分类讨论。2．一元二次方程根与系数的关系若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根，则x1＋x2＝－eq\f(b,a)，x1x2＝eq\f(c,a)．题型1一元二次方程的解【例题1】（2023·高一课时练习）求下列方程的解集：（1）2x-2x+1（2）3x（3）3x（3）12x（5）2x（6）2【变式11】1.（2023秋·高一课时练习）下列一元二次方程没有实数根的是（）A．x2+2x+1=0 B．C．x2-1=0【变式11】2.（2023·高一课时练习）若关于x的方程x2+kx-2=0的一个根是【变式11】3.1+11+11+…（“…”代表无限次重复）可以通过方程1+1x=xA．19+12 B．21+【变式11】4.（多选）（2022秋·重庆璧山·高一统考阶段练习）已知x1，x2x1A．k>5或k<1 B．xC．x1x【变式11】5.（2021秋·吉林长春·高三长春十一高校考阶段练习）设一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的两个根分别为x1、x2，则方程可写成ax-x1x-x2=0，即a①x1+x2+x3=-ba【变式11】6.（2023·全国·高三专题练习）设k≥9，解关于x的方程x3题型2方程根的个数的判断及其应用【例题2】（2023·江苏·高一假期作业）求证：方程x2-2x-3m=0有两个同号且不相等实根的充要条件是【变式21】1.（2022秋·山东东营·高一利津县高级中学校考阶段练习）已知关于x的方程x2A．m≤1B．m≤0C．0<m≤1D．0≤m≤1【变式21】2.（2023·江苏·高一假期作业）函数y＝x2＋x＋m的两个零点都是负数，则m的取值范围为．【变式21】3.（2023·高一课时练习）若关于x的一元二次方程kx【变式21】4.（2020秋·广东佛山·高一顺德一中校考开学考试）已知关于x的一元二次方程kx(1)若上述方程无正数根，求实数k的取值范围；(2)若上述方程的两根都是正数，求实数k的取值范围；(3)若上述方程的两根恰有一个是正数，且k为整数，如果有直接写出实数k的取值，如果不存在说明理由.题型3根与系数的关系与求值问题【例题3】（2023秋·湖北孝感·高一孝感高中校考阶段练习）已知关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根xA．-2或6 B．6 C．-2 D．5【变式31】1.（2020秋·陕西榆林·高一陕西省神木中学校考阶段练习）若关于x的方程x2-bx+c=0的两根分别为2,-1，则A．－1 B．1 C．－3 D．3【变式31】2.（2021秋·山西吕梁·高一统考期中）若a，b是方程x2+x-2021=0的两个实数根，则A．2021 B．2020 C．2019 D．2018【变式31】3.（2023·高一课时练习）下列说法中正确的是（

）A．方程x2+x+1=0的两个实数根x1、B．关于x的一元二次方程x2C．若关于x的一元二次方程x2-x-1=0的两实数根xD．已知方程x+32+x+2=0的两实数根x1、x2【变式31】4.（2023秋·上海宝山·高一上海市吴淞中学校考期末）已知一元二次方程x2-ax-a=0(a>0)的两个实根为x1【变式31】5.（2023春·浙江·高三校联考开学考试）已知p，q是关于x的一元二次方程ax2-(b+2)x+4a=0的两根，其中a,b∈RA．仅与a有关 B．仅与b有关C．与ab均有关 D．是与ab无关的定值【变式31】6.（2020秋·上海浦东新·高一上海市进才中学校考阶段练习）已知一元二次方程x2+rx+s=0的两根为p和q，x2+px+q=0的两根为r和题型4构造一元二次方程法【例题4】（2023·高一课时练习）已知a2-a-1=0,b2-b-1=0，且a≠b【变式41】1.（2023·全国·高三专题练习）已知a2－3a＝1，b2－3b＝1，且a≠b，则1a2+【变式41】2.（2023·上海·高一专题练习）若x1+x2=3【变式41】3.（2023春·湖南长沙·高一校联考开学考试）已知实数m、n满足m＋n＝4，m3【变式41】4.（2022秋·上海静安·高一上海市回民中学校考期中）已知一元二次方程x2+3x-3=0的两个实根分别为x1,x题型5根与系数的关系与范围问题【例题5】（2022秋·高一单元测试）已知关于x的方程x2+2A．17 B．－1 C．17或－1 D．－17或1【变式51】1.（2023·高一课时练习）已知抛物线y=m-1（1）当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？（2）若关于x的方程(m－1)x2＋(m－2)x－1＝0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m的取值范围．【变式51】2.（2022秋·辽宁·高一辽宁实验中学校考期中）已知方程x2+2ax+a+6=0的两根分别是x1和x2，且满足A．-5,-1 B．1,5 C．-5,-2 D．3,5【变式51】3.（2021·高一课时练习）已知a，b∈R，证明：“a≥2且b≤4”是“关于x的方程x【变式51】4.（2022秋·新疆和田·高一统考期中）设函数y=2ax2(1)求证：方程2a(2)若ba∈-3,-