全等三角形的专题

.全等三角形问题中常见的辅助线的作法1、添加辅助线的方法和语言表述(1)作线段：连接……；(2)作平行线：过点……作……∥……；(3)作垂线(作高)：过点……作……⊥……，垂足为……；(4)作中线：取……中点……，连接……；(5)延长并截取线段：延长……使……等于……；(6)截取等长线段：在……上截取……，使……等于……；(7)作角平分线：作……平分……；作角……等于已知角……；(8)作一个角等于已知角：作角……等于……。2、全等三角形中的基本图形的构造与运用(1)倍长中线：倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”法构造全等三角形．(2)截长补短法：若遇到证明线段的和差倍分关系时，通常考虑截长补短法，构造全等三角形。①截长：在较长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等于另一条；一条较短线段等于较长线段，然后证明延长部分等于另一条较短线段(3)角平分线：以角平分线为对称轴利用”轴对称性“构造全等三角形，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”。可以在角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理．可以在角平分线上的一点作该角平分线的垂线与角的两边相交，形成一对全等三角形。三角形。(4)一线三等角问题(“K”字图、弦图、三垂图)：两个全等的直角三角形的斜边恰好是一个等腰直.1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________.2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，比较BE+CF与EF的大小.二、截长补短3、如图，AD∥BC，EA,EB分别平分∠DAB,∠CBA，CD过点E，求证;AB＝AD+BC。4：如图，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求证：AB＝AC＋CD．转转(一)、含半角绕顶点旋转如图，四边形ABCD是正方形，方法：延长其中一个补角的线段(延长CD到E，使ED=BM，连AE或延长CB到F，使FB=DN，连AF)结论：①MN=BM+DN②AM、AN分别平分∠BMN和∠DNM由△ABE≌△BCD导出BC=BE+ED=AB+CDED=AE-CDEC=AB-CD思路:分别将△ABM和△ADN以AM和AN为对称轴翻折，但一定要证明M、P、N三点共线.(∠B+∠D=180°且AB=AD).(二)、等腰三角形绕顶点旋转①△ABE和△ACF均为等边三角形结论：(1)△ABF≌△AEC；(2)∠B0E=∠BAE=60°(“八字型”模型证明)；(3)OA平分∠EOF条条件：△ABC和△CDE均为等边三角形结论：(1)、AD=BE(2)、∠ACB=∠AOB(3)、△PCQ为等边三角形(4)、PQ∥AE(5)、AP=BQ(6)、CO平分∠AOE(7)、OA=OB+OC(8)、OE=OC+OD((7)，(8)需构造等边三角形证明)②②条件：△ABD和△ACE均为等腰直角三角形结论：(1)、BE=CD(2)BE⊥CD③③条件：ABEF和ACHD均为正方形结论：(1)、BD⊥CF(2)、BD=CF变形一：ABEF和ACHD均为正方形，AS⊥BC交FD于T，DF变形二：ABEF和ACHD均为正方形，M为FD的中点，求证：AN⊥BC练习巩固1、如图在△ABC中，AB＞AC，∠1＝∠2，P为AD上任意一点，求证;AB-AC＞PB-PC2、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE.4、如图，已知在△ABC中，∠B=60°，△ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证