三次样条插值课件

引例2.7.1三次样条插值函数的概念一背景二、样条函数的定义

例2.13

定理2.8（3次样条插值函数存在唯一）2.7.2三弯矩法边界条件1（固支边界）边界条件2（简支边界）边界条件3（周期边界）例2.14,2.152.7.3m关系式2.7.4三次样条插值函数的性质§2.7三次样条插值引例2.7.1三次样条插值函数的概念一背景二、样条函1引例:y=sinx

在区间[0，

]上的插值逼近

1.二次插值

2.两点埃尔米特插值3.分段埃尔米特插值x 0

/2

Sinx 0 1 0Cosx 1 0 –1x 0

Sinx 0 0Cosx 1 –1引例:y=sinx在区间[0，]上的插值逼近2高次插值出现龙格现象L-插值（牛顿插值）Hermite插值分段插值但分段线性插值在节点处不一定光滑分段Hermite插值但导数值不容易提取（找到）●为得到光滑度更高、应用方便的插值函数,我们引入样条插值函数。“样条”名词来源于工程中船体、汽车、飞机等的外形设计：给出外形曲线上的一组离散点(样点)，如(xi,yi)，i=0,1,2,…,n,将有弹性的细长木条或钢条(样条)在样点上固定，使其在其它地方自由弯曲，这样样条所表示的曲线，称为样条曲线(函数)。一背景2.7.1三次样条插值函数的概念高次插值出现龙格现象L-插值（牛顿插值）Hermite插值分3x=-5:5;y=1./(1+x.^2);plot(x,y,x,y,'o')x=-5:5;y=1./(1+x.^2);xi=-5:.05:5;yi=spline(x,y,xi);plot(xi,yi,'b',x,y,'ro')被插值函数:-5≤x≤53/18x=-5:5;x=-5:5;被插值函数:-5≤x≤54x=[0,0.0155,0.1485,0.3493,0.6480,1.0547,2.0];y=[0,0.1242,0.3654,0.4975,0.5472,0.4781,0];n=length(x);t=0:n-1;tt=0:.25:n-1;xx=spline(t,x,tt);yy=spline(t,y,tt);plot(xx,yy,x,y,'o')x=[0,0.0155,0.1485,0.3493,5相同数据3次样条插值与Lagrange插值效果比较CubicSplineInterpolationLagrangeInterpolation三次样条插值课件6下面介绍应用最广且只有二阶连续导数的三次样条函数．在数学上，三次样条曲线表现为近似于一条分段的三次多项式，它要求在节点处具有一阶和二阶连续导数。二、样条函数的定义定义2.8（三次样条函数）在每一个小区间上是次数多项式。，即具有连续的一阶，二阶导数。满足下述条件：如果函数设有对[a,b]的剖分的一个3次样条函数。为关于剖分则称下面介绍应用最广且只有二阶连续导数的三次样条函7定义2.8*给定区间[a,b]上的一个分划:a=x0<x1<…<xn=b已知

f(xj)=yj(j=0,1,···,n),如果满足:(1)S(x)在[xj，xj+1]上为三次多项式;(2)S”(x)在区间[a，b]上连续;(3)S(xj)=yj

(j=0,1,···,n).则称

S(x)为三次样条插值函数.定义2.8*给定区间[a,b]上的一个分划:满足:(8注：三次样条与分段Hermite插值的根本区别在于S(x)自身光滑，不需要知道f的导数值（除了在2个端点可能需要）；而Hermite插值依赖于f在所有插值点的导数值。f(x)H(x)S(x)注：三次样条与分段Hermite插值的根本区别在于S(x9三次样条插值课件10①插值条件:S(xj)=yj

(j=0,1,···,n)n+1个②连续性条件:S(xj+0)=S(xj-0)

(j=1,···,n-1)S'(xj+0)=S'

(xj-0)

(j=1,···,n-1)S'

'

(xj+0)=S'

'

(xj-0)

(j=1,···,n-1)3(n-1)个共可建立方程(4n-2)个！！方程数少于未知数个数？？①插值条件:S(xj)=yj(j=0,1,11

共有个条件,要唯一确定,还必须附加2个条件这两个条件常在插值区间[a,b]的边界点a,b处给出，称为边界条件。边界条件的类型很多，常见的有：③附加2个条件，有多种给法.最常见的给法是:(a)固支边界(b)简支边界特别地,(自然边界,三次自然样条);(1)(2)注：一般不取一端是一阶导数而另一端是二阶导数。共有个条件,要唯一确定,还必须附加212第3种边界条件（周期边界条件）：注意：上述②给出的个条件是问题本身隐含的，①和③共个独立条件须提供，故节点三次样插值问题只有个自由度.(请与分段三次Hermite插值比较!)第3种边界条件（周期边界条件）：注意：上述②给出的13且(1)如果是定义在上函数且已知函数表定理2.8（3次样条插值函数存在唯一）唯一3次样条插值函数,且满足(2)给定边界条件，则于存在且(1)如果是定义在上函数且已知函数表定理2.14例2.13已知f(–1)=1,f(0)=0,f(1)=1.求[–1，1]上的三次自然样条(满足自然边界条件).解设

则有:S(-1)=–a1+b1–c1+d1=f(-1)=1,S(0)=d1=f(0)=0,S(1)=a2+b2+c2+d2=f(1)=1,

S(0-0)=d1=S(0+0)=d2,S'-(0)=c1=S'+(0)=c2,S''-(0)=b1=S''+(0)=b2

由自然边界条件:S''(0)=–6a1+2b1=0,S'(1)=6a2+2b2=0解方程组,得a1=-a2=1/2,b1=b2=3/2,c1=c2=d1=d2=0例2.13已知f(–1)=1,f(0)=15问题的解

x=[-1,0,1];y=[1,0,1];f1=inline('0.5*x.^3+1.5*x.^2');f2=inline('-0.5*x.^3+1.5*x.^2');t1=-1:.1:0;t2=0:.1:1;p1=f1(t1);p2=f2(t2);plot(x,y,'o',[t1,t2],[p1,p2],’r’)Holdon,plot([t1,t2],[t1,t2].^2)y=x2问题的解x=[-1,0,1];y=[1,0,1];y=x16三次样条插值函数可以有多种表达式，有时用二阶导数值表示时，使用更方便。在力学上解释为细梁在处的弯矩，并且得到的弯矩与相邻两个弯矩有关，故称用表示的算法为三弯矩算法。2.7.2

构造三次样条插值函数的三弯矩法

------三次样条插值函数的二阶导数表示三次样条插值函数可以有多种表达式，有17由两点拉格朗日插值可表示为参数对上式积分,得再积分,得由两点拉格朗日插值可表示为参数对上式积分,得再积分,得18由条件，确定积分常数由条件，确定积分常数19将上式代入(2.48)得到三次样条插值函数的表达式由上讨论可知,只要确定Mj(j=0,1,…n)这n+1个值,就可定出三次样条插值函数S(x)。为了确定Mj(j=0,1,…n),对S(x)求导得将上式代入(2.48)得到三次样条插值函数的表达式由上20三次样条插值课件21三次样条插值课件22（2.55）

上式两边同乘以,即得方程

若记

（2.56）（2.55）上式两边同乘以,即得方程若记23所得方程可简写成（2.58）

即

（2.57）——三弯矩方程所得方程可简写成（2.58）即（2.57）——三弯矩方24这是一个含有n+1个未知数、n-1个方程的线性方程组.要完全确定Mi(i=0,1,…,n)的值还需要补充两个条件,这两个条件通常根据实际问题的需要，根据插值区间

a,b

的两个端点处的边界条件来补充。这是一个含有n+1个未知数、n-1个方程的线性方程组25由(2.53),得由(2.54),得(1)若已知，则令j=0，令j=n，边界条件1（固支边界）-----由(2.53),得由(2.54),得(1)若已知，则令j26对角占优的三对角带状矩阵对角占优的三对角带状矩阵27(2)若已知，代入方程(2.58)，只需解n-1个方程边界条件2（简支边界）-----对角占优的三对角带状矩阵(2)若已知，代入方程(2.58)，只需解n-1个方程边28(3)对第三类边界条件：两边同除以(j=n)(j=n)(j=0)边界条件3（周期边界）-----(3)对第三类边界条件：两边同除以(j=29令得又由,三弯矩方程可写为令得又由,三弯矩方程可写为30小结：在三个边界条件下的三弯矩方程小结：在三个边界条件下的三弯矩方程31说明：（1）方程组(2.59)~(2.61)系数矩阵都是严格对角占优矩阵，因此方程组(2.59)~(2.61)有唯一解（2）Mj在力学上为细梁在xj处截面处的弯矩,且弯矩与相邻的两个弯矩有关,故方程组(2.59)~(2.61)称为三弯矩方程。Mj在数学上称为曲率。

实际上,方程组(2.59)~(2.61)的系数矩阵是一类特殊的矩阵，在后面线性方程组的解法中，将专门介绍这类方程组的解法和性质。

说明：（1）方程组(2.59)~(2.61)系32.三次样条插值课件33三次样条插值课件34三次样条插值课件35在本例中，将代入整理后可得：故所求三次样条插值函数为：在本例中，将故所求三次样条插值函数为：36例2.15

已知的函数值如下：

x1245

f(x)1342在区间

1,5

上求三次样条插值函数S(x),使它满足边界条件

解:这是在第二种边界条件下的插值问题，故确定

的方程组形如（2.60）所示，由已知边界条件,有

则得求解的方程组为

例2.15已知的函数值如下：在区间1,5上求三次样条37根据给定数据和边界条件算出与根据给定数据和边界条件算出与38则得方程组解得

又

即得S(x)在各子区间上的表达式,由式（2.51）知,S(x)在上的表达式为代入式(2.50)将代入上式化简后得

则得方程组解得又即得S(x)在各子区间上的表达式代入式39同理S(x)在上的表达式为

S(x)在上的表达式为同理S(x)在上的表达式为S(x)在40故所求的三次样条插值函数S(x)在区间上的表达式为故所求的三次样条插值函数S(x)在区间上的表达式41练习设在节点上，函数的值为，。试求三次样条插值函数，满足条件

解（1）是固支边界，先求，再求解，可知练习设在节点42对第一类边界条件代入三次样条插值函数的表达式（2.50），经化简有对第一类边界条件代入三次样条插值函数的表达式（2.50），经43（２）是简支条件，不过要注意的不同。由于和已知，故可以化简得代入三次样条插值函数的表达式（2.50），经化简有（２）是简支条件，不过要注意44由此解得。

将代入三次样条插值函数的表达式（2.50），经化简有由此解得45练习已知离散点:

(1.1,0.4000),(1.2,0.8000),(1.4,1.6500),(1.5,1.8000),取自然边界条件

M0=Mn=0,构造三次样条插值函数，并计算

f(1.25).解

n=3.

∵

h0=x1-x0=0.1,h1=0.2,h2=0.1,因此，分段的三次样条插值函数为,由（2.50）由(2.56)计算得练习已知离散点:(1.1,0.4000),(1.246

上述三次样条插值的基本思想和特点是：先利用一阶导数在内节点上的连续性以及边界条件,列出确定二阶导数的线性方程组（力学上称为三弯矩方组），由此解出，再用来表达S(x)。实际上，还可以通过别的途径来求取三次样条插值函数。如：可以先利用二阶导数在内节点上的连续性及边界条件，列出确定一阶导数的线性方程组（力学上称为三转角方程组），由此解出，再用表达S(x),在某些情况下，这种方法比前者更简单适用。上述三次样条插值的基本思想和特点是：实际上，还可以通过别的途472.7.3m关系式——用一阶导数表示的样条插值函数

给定插值点

(xi,yi),设S'(xi)=mi,

i=0,1,2,…,n,则[xi,xi+1]上的三次Hermite插值为

令

hi=xi+1-xi,∵S(x)∈C2[a,b],对(2.62)求二阶导数2.7.3m关系式——用一阶导数表示的样条插值函数48

令

xi+=xi+0,在[xi,xi+1]上得到xi点的右导数，

同理，在[xi-1,xi]上构造三次样条插值

S(x),在[xi-1,xi]上得点xi的左导数，令xi+=xi+0,在[xi,xi+1]49三种边界条件：

三种边界条件：50由此可解得m1,m2,…,mn-1，从而得S(x)的表达式.（2.66）①对于边界条件(1),两个方程则m1,m2,…,mn-1满足方程组

由此可解得m1,m2,…,mn-1，从而得S(x)的表51①对于边界条件(2),可导出两个方程:(2.67)①对于边界条件(2),可导出两个方程:(2.67)52若令则（2.65）和（2.67）可合并成矩阵形式（2.68）可解出从而得S(x)的表达式.若令则（2.65）和（2.67）可合并成矩阵形式（2.68）53由(2.65)和(2.6)可解出，方程组的矩阵形式为③对于边界条件（3），可得（2.69）其中（2.70）由(2.65)和(2.6)可解出54在实际应用中，如果不需要规定内节点处的一阶导数值，那么使用三次样条插值函数会得到很好的效果。三次样条插值函数不仅在内节点处的二阶导数是连续的，而且逼近具有很好的收敛性，也是数值稳定的。下面给出三次样条插值