欧拉公式与闭曲面分类

欧拉公式与

欧拉公式与闭曲面分类

第一节拓扑变换与拓扑不变量第二节多面体的欧拉公式第三节拓扑思想的一些应用

第一节拓扑变换与拓扑不变量一、拓扑变换二、几个最简单的拓扑不变量一笔画问题平面上由曲线段构成的一个图形能不能一笔画成，使得在每条线段上不重复？例如汉字“日”、“中”都是可以一笔画出来的，而“田”和“目”则不能一笔画成。你知道如何画吗？一、拓扑变换第一节

拓扑变换与拓扑不变量

显然，通常的几何方法在一笔画问题上是没有用的，因为“图形能不能一笔画成”和图形中线段的长度、形状等几何概念没有关系，要紧的是线段的数目和它们之间的关系，也就是说一笔画问题的关键是图形的整体结构。

例如图1-1中的(a）和(b）都是“日”字的变形，都能一笔画出；c），d）和e）都是“田”字的变形，都不能一笔画出。第一节

拓扑变换与拓扑不变量

上面的“一笔画问题”涉及到图形在整体结构上的特性，这就是“拓扑性质”。显然，它们与几何图形的大小、形状，以及所含线段的曲直等等都无关，也就不能用普通的几何方法来处理，需要有一种新的几何学来研究它们，这个新学科就是拓扑学。也有人形象地称它为橡皮几何学，因为它所研究的性质在图形作弹性形变时是不会改变的。

ABCD凡是一一对应而且是双方连续的变换就叫做拓扑变换或同胚映射。若两个图形存在一个拓扑变换，则这两个图形是同胚的或拓扑等价的。第一节

拓扑变换与拓扑不变量

图形的拓扑性质或拓扑不变量是图形在同胚映射下不变的性质。因此两个图形若同胚就必须具有相同的拓扑性质或拓扑不变量；反之，若两个图形的拓扑不变量不同，那么它们就一定不会同胚。二、几个最简单的拓扑不变量１、连通性与连通支的个数从直观上说连在一起的图形是连通的，如果图形由几个不相连接的部分组成的，则图形是不连通的，组成图形的互不连接部分的数目称为连通支的个数。

第一节

拓扑变换与拓扑不变量

对平面区域来说，任一封闭曲线都能连续地变形或收缩成这个区域内的一个点，我们把具有这种性质的区域称为单连通的。

不是单连通的区域称为多连通的。如果沿半径把上面图形中的区域（ｂ）切开（如图）得到的区域是单连通的，区域（ｂ）称为是双连通的。

第一节

拓扑变换与拓扑不变量

一般地，如果必须作（ｎ－１）次彼此不相交的从边界到边界的切割，才能把给定的多连通区域Ｄ化成单连通区域，那么这个区域Ｄ就称为ｎ重连通的。

注意：平面上一个区域的连通性重数是这个区域的一个重要的拓扑不变量。因而，包含“洞”的个数不同的平面区域是不同胚的，因为它们连通性重数不同。

第一节

拓扑变换与拓扑不变量

２、割点与割点的个数

注意：割点和非割点的概念是一个拓扑性质，也就是说割点在同胚映射下的象点仍然是割点，非割点在同胚映射下的象点也仍然是非割点，从而一个图形中割点的个数是一个拓扑不变量，非割点的个数也是拓扑不变量。在一个图形上有这样的点ｘ，去掉该点ｘ后，余下的是一个不连通的图形，即连通支个数多于一个,具有这样性质的点称为图形的割点。例如图中的（ｂ）.

第一节

拓扑变换与拓扑不变量

思考：下列图形各有几个割点？第一节

拓扑变换与拓扑不变量

3、点的指数设一个图形是由有限条弧组成的，ｘ是这个图形的点，从ｘ点引出的该图形的弧的个数，叫做点ｘ在该图形中的指数。

第一节

拓扑变换与拓扑不变量

注意：与前面类似，借助于指数的概念可以证明一些图形是不同胚的。

第二节多面体的欧拉公式一、欧拉公式的发现二、欧拉公式的证明三、欧拉公式的应用第二节多面体的欧拉公式一、欧拉公式的发现由若干个平面多边形围成的封闭的立体叫多面体。若多面体在它的每一个面所决定的平面的一侧，它就叫凸多面体。一个多面体，如果它的表面能同胚于一个球面，就称为简单多面体。多面体的顶点数为Ｖ，棱数为Ｅ，面数为Ｆ，请对于上述诸多面体分别计算Ｖ—Ｅ＋Ｆ的值。

设简单多面体的顶点数、棱数及面数分别为Ｖ、Ｅ及Ｆ，则Ｖ-Ｅ＋Ｆ＝２，这就是著名的关于简单多面体的欧拉公式。

多面体VEFV—E+F(a)4644—6+4=2(b)5855—8+5=2(c)6956—9+5=2(d)81268—12+6=2(e)81378—13+7=2(f)16321616—32+16=0(g)71287—12+8=3第二节多面体的欧拉公式

网络是平面上或空间中的有限个点和有限条线段组成的图形，这些点叫网络的顶点，这些线叫网络的棱，网络的顶点和棱之间满足以下条件：（1）每一条棱连接它的两个不同的顶点；

（2）它的任意两条棱或者不相交，或者有一个公共顶点。二、欧拉公式的证明

第二节多面体的欧拉公式不是任何一条棱的端点的顶点如图中的Ａ点，叫孤立的顶点。只是一条棱的端点的顶点如图中的Ｂ点，叫自由的顶点。

由每一个多面体的顶点和棱所组成的图形都是一个空间网络，而且这个空间网络还满足：

（3）

没有孤立的顶点，也没有自由的顶点（4）是连通的。

我们将用平面网络来证明欧拉公式，有两种思路：

第二节多面体的欧拉公式1、剖分成三角形2、树形证明过程：1、变成平面网络，只需证明V—E+F=1，图（a-b）；2、剖分成三角形，图（b-c）；3、去掉平面网络的边界（图（c-d））；4、去掉PQR之类的三角形，保留PR，图d-e；5、再去掉一个三角形，此时V—E+F=1，图e-f。第一种思路：以立方体为例，具体证明过程如图所示。

第二节多面体的欧拉公式第二种思路：

一个连通网络，若不包含任何由一串棱组成的封闭折线，也就是它的棱不组成任何环路，则称为一个树形。

注意：树行中V-E=1。证明思路：简单多面体平面网络树形第二节多面体的欧拉公式证明过程：1、变成平面网络，只需证明V—E+F=1，图（a-b）；2、抹去4和5两个区域的公共棱，合并成一个区域，V—E+F的值不变，图（b-c）；3、按此方法，最后得到图（g）。4、图（g）为一个树形，因此有V—E+F=1。第二节多面体的欧拉公式三、欧拉公式的应用

欧拉公式的应用非常广泛，也可以渗透到许多其它学科之中，这里举两个比较重要的应用。

应用１C60是由６０个Ｃ原子组成的分子，它的结构为简单多面体形状。这个多面体有６０个顶点，从每一个顶点都引出３条棱，各面的形状分别为五边形或六边形两种。根据欧拉公式，我们可分别算出五边形和六边形面的个数。可以设五边形和六边形的面各有ｘ个和ｙ个。

其顶点数Ｖ＝６０，面数Ｆ＝ｘ＋ｙ，棱数Ｅ＝1/2（3•60）。根据欧拉公式，可得：６０＋（ｘ＋ｙ）—1/2（3•60）＝２第二节多面体的欧拉公式另一方面，棱数也可以有多边形的边数来表示，即

1/2（5x+6y）=1/2（3•60）由以上两方程可解出：ｘ＝１２，ｙ＝２０。应用２正多面体的种类正多面体是多面体的一种特殊情形，要求它的各顶点，各棱和各面的结构相同，度量全等，而且还要求它的各个面都是正多边形。

现在，我们应用欧拉公式证明正多面体只有五种。

设正多面体的每个面是ｎ边形，在每个顶点相遇的棱数是ｒ，于是必须有ｎ≥３，ｒ≥３，为什么？

可得：nF=2EF=2/n•E第二节多面体的欧拉公式同样，可以得到：rV=2EV=2/r