人教版八年级数学上册 （提公因式法）整式的乘法与因式分解教学课件

第十四章整式的乘法与因式分解提公因式法

学习目标12了解因式分解的意义，理解因式分解的概念及其与整式乘法的区别和联系．（重点）

理解提公因式法并能熟练地运用提公因式法分解因式．（难点）

新课导入

从这两种方法列出的式子中,你发现了什么?ma+mb=m(a+b)这个变化过程是什么？怎么变化的?知识讲解计算下列各式：(1)x(x+1)=

；

(2)(x+1)(x-1)=

；(3)(a+b)2=

.

x2+xx2-1a2+2ab+b2把下列多项式写成整式的乘积的形式:(1)x2+x=()()(2)x2-1=()()

(3)a2+2ab+b2=()2xx+1x+1x-1a+b整式乘法？

把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.

因式分解整式乘法等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积.想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？是方向相反的变形.判断一个式子是不是因式分解，要看等式的左边是不是一个多项式，右边是不是几个整式的积的形式.

(1)分解因式是多项式的恒等变形,也就是分解因式的结果的积等于多项式;(2)分解因式的结果必须是整式的积的形式,每个因式必须是整式且每个因式的次数都不高于原来多项式的次数.(3)因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止.注意：多项式ma+mb有什么特点？

观察：3.看字母的指数：各相同字母的指数取指数最低的；1.看系数：若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；2.看字母：公因式的字母是各项相同的字母；确定公因式的基本步骤4.看整体：若多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开.说出下列多项式各项的公因式：(1)ma+mb；(2)4kx－

8ky；(3)5y3+20y2；(4)a2b－2ab2+ab.练一练：m4k5y2ab一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.提公因式法分解因式：

提公因式法分解因式的一般步骤：（1）确定公因式：先确定系数，再确定字母和字母的指数；（2）提公因式并确定另一个因式；（3）把多项式写成这两个因式的积的形式.例1把8a3b2+12ab3c

分解因式.解:8a3b2+12ab3c=4ab2•2a2+4ab2•3bc=4ab2(2a2+3bc).

例2

例3

先分解因式，再求值.

随堂训练1.下列各式由左边到右边的变形中,属于分解因式的是 (

)

A.a(x+y)=ax+ayB.x2-4x+4=x(x-4)+4C.10x2-5x=5x(2x-1)D.x2-16+6x=(x+4)(x-4)+6x解析:A.是多项式乘法,故选项错误;B.右边不是积的形式,故选项错误;C.提公因式法,故选项正确;D.右边不是积的形式,故选项错误.故选C.C2.设x2+3x+y=(x+1)(x+2),则y的值为(

)A.1 B.2 C.3 D.4B3.观察下列各式:①2a+b和a+b

;②5m(a-b)和-a+b;③3(a+b)和-a-b

;④x2-y2和x2+y2.其中有公因式的是 (

)A.①② B.②③C.③④ D.①④B4.用提公因式法分解因式.(1)4x2-4xy+8xz;(2)6x4-4x3+2x2;(3)6m2n-15mn2+30m3n;(4)(a+b)-(a+b)2;(5)x(x-y)+y(y-x);(6)(m+n)2-2(m+n).解:

(1)4x2-4xy+8xz=4x(x-y+2z).(2)6x4-4x3+2x2=2x2(3x2-2x+1).

(3)6m2n-15mn2+30m2n=3mn(2m-5n+10m2).

(4)(a+b)-(a+b)2=(a+b)(1-a-b).

(5)x(x-y)+y(y-x)=x(x-y)-y(x-y)=(x-y)2.

(6)(m+n)2-2(m+n)=(m+n)(m+n-2).

6.计算：(1)39×37－13×91；(2)29×20.18＋72×20.18＋13×20.18－20.18×14.(2)原式＝20.18×(29＋72＋13－14)＝2018.＝13×20＝260.解：(1)原式＝3×13×37－13×91＝13×(3×37－91)课堂小结1.因式分解

把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.2.提公因式法分解因式提公因式法

630能被哪些数整除?讨论在小学我们知道，要解决这个问题，需要把630分解成质数乘积的形式．

类似地，在式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式．计算下列各式试着把下列式子写成整式乘积的样子把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．x（x+1）=________探究（x+1）（x-1）=_______因式分解与整式乘法有何关系呢？因式分解与整式乘法是方向相反的变形思考因式分解的结果是整式的乘积

整式乘法的结果是单项式的和

因式分解整式乘法1．什么是因式分解？

2．怎么判断一个式子是不是因式分解？因式分解的概念判断下列各式哪些是整式乘法？哪些是因式分解?练习总结：关键就是看结果是和还是积．因式分解因式分解因式分解因式分解整式乘法整式乘法整式乘法(1)x

-4y

=(x+2y)(x-2y)；(2)2x(x-3y)=2x

-6xy(3)(5a-1)

=25a

-10a+1；(4)x

+4x+4=(x+2)

；(5)(a-3)(a+3)=a

-9(6)m

-4=(m+2)(m-2)；(7)2πR+2πr=2π(R+r).下列各式哪些是整式乘法？哪些是因式分解？或者两者都不是？练习二者都不是因式分解整式乘法因式分解判断下列各式哪些是因式分解？哪些不是．练习你能试着将多项式pa+pb+pc因式分解吗？观察：这个多项式有什么特点？多项式的每一项都含有一个公共的因式p逆用乘法分配律可得：探究pa+pb+pc=p（a+b+c）pa+pb+pc=p（a+b+c）提公因式法多项式的每一项都含有的项叫做这个多项式各项的公因式

把多项式pa+pb+pc分解成p(a+b+c)的形式，其中p是各项的公因式，另一个因式(a+b+c)是pa+pb+pc除以p的商，像这种分解因式的方法，叫做提公因式法．说出下列多项式各项的公因式：(1)ma+mb；(2)4kx-8ky；(3)5y

+20y

；(4)a

b-2ab

+ab.提公因式法思考与讨论：多项式的公因式是如何确定的呢？①定系数最大公约数②定字母公共字母③定指数最小指数m4k5y

ab找3x

–6xy的公因式．3x1公因式：3x例题说出下列多项式各项的公因式：练习（1）ac+bc（2）3x

+9xy（3）a

b–2ab

+ab（4）4xy

-6xy+8x

yc3xab2xy先找公因式公因式是4ab

例题再提公因式总结：用提公因式法分解因式要分两步，

先找公因式，再提公因式．点拨：公因式不一定是单项式，也可以是多项式先找公因式公因式是（b+c）例题再提公因式把-24x

–12x

+28x分解因式例题总结：当多项式第一项系数是负数时，通常先提出“-”号，使括号内第一项系数变为正数，注意括号内各项都要变号．总结：（a-b）和（b-a）互为相反数，即b-a=-（a-b）．【方法1】【方法2】例题易错点下面的解有误吗？试说明理由，并给出正解.把

分解因式解：原式=公因式没有提彻底，还可以提出公因式2【正解】原式=6【注意】公因式要提彻底.易错点小亮给出的解有误吗？试说明理由，并给出正解.把

分解因式.当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.【正解】原式=【注意】某项提出莫漏1.解：原式=易错点小亮给出的解有误吗？试说明理由，并给出正解．把

分解因式．提出负号时括号里的项没有变号解：原式=【正解】原式=【注意】提“负”要记得变号.归纳提公因式时要注意三点：1．提取要彻底．2．不要漏1．3．提出负号要变号．1．什么是提公因式法？

2．怎么用提公因式法分解因式？提公因式法练习下面的分解因式对吗？如不对，请指出原因：应为：原式=应为：原式=下面的解法对吗？练习把

分解因式.解：练习多项式公因式因式分解结果（1）3a

-9ab

（2）3x+6y

（3）24xm

-16xm

（4）3x

-9x

+3x练习因式分解：（1）24x

y－18x

y；

（2）7ma+14ma

；

（3）－16x

+32x

－56x

；

（4）－7ab－14abx+49aby．练习因式分解：（1）-4a

b

+6a

b-2ab

（2）-9a

b

-12ab

+15ab

（3）-4x

y+2x

y

+xy

（4）-x

y

-2x

y-xy练习因式分解：1．把下列各式分解因式：练习2.先分解因式，再求值答案：970练习练习答案：8102004

+2004能被2005整除吗?判断能否整除解：2004

+2004=2004×（2004+1）=2004×2005所以2004

+2004能被2005整除判断能否整除5

－5

能被120整除吗?答案：能分解因式计算：（-2）

+（-2）

答案：-2

利用因式分解求值利用因式分解求值分解因式计算：（-2）

+（-2）

答案：2

利用因式分解求值已知a+b=5，ab=3，求a

b+ab

的值．答案：15．利用因式分解求值已知x+y=2，xy=-3，求x

y+xy

的值．答案：-6．利用因式分解求值某建筑工地需绕制半径分别为0.24米，0.37米，0.39米的三个钢筋环，问需钢筋多长？（结果保留π）答案：2π．利用因式分解求值答案：0．答案：x=9，y=2．因式分解与整除综合已知有两个孩子的年龄分别为x岁，y岁，且

，试求这两个孩子的年龄.小