冀教版九年级数学上册 （垂径定理）课件

垂径定理第二十八章

圆

情景导入问题

赵州桥的半径是多少？它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？获取新知知识点一：垂径定理问题1

如图，AB是⊙O的一条弦，做直径CD，使CD⊥AB，垂足为E．沿着CD所在的直线折叠，你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？·OABCDE线段：AE=BE弧：AD=BD，AC=BC⌒⌒⌒⌒理由如下：把圆沿着直径CD折叠时，根据前面的说理，点A与点B重合，AE与BE重合，AD和BD,AC与BC重合．⌒⌒⌒⌒·OABCED证明:如图所示,连接OA,OB.在△OAB中,∵OA=OB,OE⊥AB,∴AE=BE,∠AOE=∠BOE.∵∠AOC=180°-∠AOE,∠BOC=180°-∠BOE,∴∠AOC=∠BOC.如图所示,在☉O中,CD为直径,AB为弦,且CD⊥AB,垂足为E.求证：AE=BE，AD=BD，AC=BC⌒⌒⌒⌒∴AD=BD.⌒⌒∴AC=BC.⌒⌒垂径定理垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.几何语言：∵

CD是直径，CD⊥AB，∴

AE=BE,⌒⌒AC

=BC,⌒⌒AD=BD.·OABCDE例题讲解例1

已知：如图，

CD为⊙O的直径，AB为弦，且AB⊥CD，垂足为E.若ED=2，AB=8，求直径CD的长.

解：如图，连接OA.设⊙O的半径为r.∴

CD为⊙O的直径，AB⊥CD，∴AE=BE.

∴AB=8，∴AE=BE=4，

在Rt△OAE

中，OA2=OE2+AE2，OE=OD－ED，即r2=(r－2)2+42.

解得r=5，从而2r=10.

所以直径CD的长为10.获取新知知识点二：垂径定理的推论如图所示,在☉O中,直径CD与弦AB(非直径)相交于点E.【思考】(1)若AE=BE,能判断CD与AB垂直吗?AD与BD(或AC与BC)相等吗?说明你的理由.⌒⌒⌒⌒(2)若AD=BD(或AC=BC),能判断CD与AB垂直吗?AE与BE相等吗?说明你的理由.⌒⌒⌒⌒解:(1)CD⊥AB,AC=BC(或AD=BD).理由是:连接OA,OB,如图所示,则△OAB是等腰三角形,∵AE=BE,∴CD⊥AB.⌒⌒⌒⌒由垂径定理可得AC=BC，AD=BD.

⌒⌒⌒⌒(2)CD⊥AB,AE=BE.又∵OA=OB,∴AE=BE,CD⊥AB.理由是：∵AD=BD,∴∠AOD=∠BOD,⌒⌒平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.垂径定理推论1几何语言：·OABCDE你还有其他的结论吗？你发现了什么？∵

CD是直径，AE=BE，∴

CD⊥AB,⌒⌒AC

=BC,⌒⌒AD=BD.平分弦（不是直径）的所对的两对弧，则垂直平分这条弦.垂径定理推论2·OABCDE几何语言：∴

CD⊥AB,

AE=BE,∵

CD是直径，AC

=BC，⌒⌒垂径定理的本质是:知二得三（1）一条直线过圆心（2）这条直线垂直于弦（3）这条直线平分不是直径的弦（4）这条直线平分不是直径的弦所对的优弧（5）这条直线平分不是直径的弦所对的劣弧例题讲解例2解决求赵州桥拱半径的问题：如图，用弧AB表示主桥拱，设弧AB所在圆的圆心为O，半径为R．经过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足，OC与弧AB相交于点C.根据前面的结论可知，D是弦AB的中点，C是弧AB的中点，CD就是拱高．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m解得R≈27.9.ODABCR在Rt△OAD中，由勾股定理，得即R2=18.72+(R－7.2)2因此，赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.OA2=AD2+OD2OD=OC－CD=R－7.2AB=37.4m，CD=7.2m，在图中随堂演练1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为M，下列结论不成立的是()A．CM＝DM B.CB＝DBC．∠ACD＝∠ADC D．OM＝MB⌒⌒D2.如图，AB是⊙O的弦，AB的长为8，P是⊙O上一个动点(不与点A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为___43.已知：⊙O中弦AB∥CD,求证：AC＝BD.⌒⌒证明：作直径MN⊥AB.∵AB∥CD，∴MN⊥CD.则AM＝BM，CM＝DM（垂直平分弦的直径平分弦所对的弧）

AM－CM＝BM－DM∴AC＝BD⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒⌒.MCDABON4.如图，AB，CD是⊙O的弦，M，N分别为AB，CD的中点，且∠AMN＝∠CNM.求证：AB＝CD.证明：如图，连接OM，ON，OA，OC.∵M，N分别为AB，CD的中点，∴AB＝2AM，CD＝2CN.∴OM⊥AB，

ON⊥CD.∴∠OMA＝∠ONC＝90°.∵∠AMN＝∠CNM，∴∠OMN＝∠ONM.∴OM＝ON.又∵OA＝OC，∴Rt△OAM≌Rt△OCN.∴AM＝CN.∴AB＝CD.课堂小结垂径定理内容推论辅助线一条直线满足:（“知二推三”）①过圆心;②垂直于弦;③平分弦（不是直径）;④平分弦所对的优弧;⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧两条辅助线：连半径;作弦心距构造Rt△利用勾股定理计算或建立方程.基本图形及变式图形反比例函数

知识回顾1.什么是函数?在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数.2.我们已经学习了哪些函数?我们已经学习了一次函数（包括正比例函数）获取新知知识点一：反比例函数的概念问题：下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的表达式.(1)要制作容积为15700cm3的圆柱形水桶，水桶的底面积为Scm2，高为hcm，则Sh=______，用h表示S的函数表达式为________;15700(2)自行车运动员在长为10000m的路段上进行骑车训练，行驶全程所用时间为ts,行驶的平均速度为vm/s,则vt=______，用t表示v的函数表达式为_______;10000(3)

y与x的乘积为-2，用x表示y的函数表达式为______.问题：我们已经得到了三个函数关系式，试着发现它们之间的共同点，并进行归纳.都具有

的形式，其中

是常数．共同点：分式分子具有________的形式

如果两个变量

x

，y

之间的函数关系可以表示成＿＿（k≠0）的形式，那么y是x的反比例函数，k称为比例系数.容易看出，在反比例函数中，自变量x的取值范围是不等于0的实数

例题讲解例1写出下列问题中y与x之间的函数关系式,指出其中的正比例函数和反比例函数,并写出它们的比例系数k.(1)y与x互为相反数.(2)y与x互为负倒数.(3)y与2x的积等于a(a为常数,且a≠0).解:(1)因为y+x=0,即y=-x,所以y是x的正比例函数,比例系数k=-1.(2)因为xy=-1,即

,所以y是x的反比例函数,比例系数k=-1.(3)因为2xy=a，即

,所以y是x的反比例函数，比例系数

.

例2

已知函数是反比例函数，求m

的值.所以2m2+3m－3=－1，2m2+m－1≠0.解得m=－2.解：因为是反比例函数，获取新知知识点二：待定系数求反比例函数表达式反比例函数的三种表达方式：(注意

k≠0)y=kx－1xy=k求反比例函数的解析式，就是确定反比例函数解析式中常数k的值，它一般需经历：“设→代→求→还原”这四步．即：(1)设：设出反比例函数解析式

；(2)代：将所给的一对变量的数值代入函数解析式；(3)求：求出k的值；(4)还原：写出反比例函数的解析式．例题讲解例3已知y是x的反比例函数，当x=4时，y=6.

(1)写出这个反比例函数的表达式；

(2)当x＝－2时，求y的值.解：(1)设

把x=4，y=6代入得k=24.所以这个反比例函数的表达式为(2)当x＝－2时，随堂演练1.下列函数中，表示y是x的反比例函数的是(

)A．y＝xB．y＝C．y＝D．y＝D2.生活中有许多反比例函数的例子，在下面的实例中，x

和y

成反比例函数关系的有()

①x人共饮水10kg，平均每人饮水

ykg；②底面半径为x

m，高为

y

m的圆柱形水桶的体积为10

m3；③用铁丝做一个圆，铁丝的长为

x

cm，做成圆的半径为

y

cm；④在水龙头前放满一桶水，出水的速度为

x，放满一桶水的时间

yA.1个B.2个C.3个D.4个Bm

≠1m

≠0且m

≠－23.填空(1)若是反比例函数，则m

的取值范围是

.(2)若是反比例函数，则m的取值范围是

.(3)若是反比例函数，则m的取值是

.

m

=－14.

已知变量y

与x

成反比例，且当x=3时，y

=－4.(1)写出y关于x

的函数解析式；(2)当y=6时，求x

的值.解：(1)设.因为当x

=3时，y

=－4，解得k

=－12.

因此，y

关于x的函数解析式为

所以有

(2)把