保定市定兴三中高一下学期第一次月考数学试卷

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2016—2017学年河北省保定市定兴三中高一(下）第一次月考数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知△ABC中，A=,B=，a=1，则b等于（）A．2 B．1 C． D．2．在等差数列｛an｝，若a3=16，a9=80，则a6等于（）A．13 B．15 C．17 D．483．在△ABC中,∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c,且a=1，b=2，c=，则∠C=()A．120° B．60° C．45° D．30°4．等差数列{an}中，a1=﹣5，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是（）A． B． C． D．5．已知△ABC中，A：B:C=1：1：4,则a：b：c等于（）A．1：1： B．2：2： C．1：1：2 D．1:1:46．设Sn是等比数列｛an｝的前n项和，S4=5S2，则的值为（）A．﹣2或﹣1 B．1或2 C．±2或﹣1 D．±1或27．在△ABC中，角A,B，C的对边分别是a,b,c，其中b为最大边，若sin2（A+C）＜sin2A+sin2C，则角B的取值范围是(）A． B． C． D．8．在△ABC中，角A，B,C所对的边分别为a，b,c,若C=60°,c=a，则(）A．a＞b B．a＜bC．a=b D．a与b的大中关系不能确定9．已知等差数列数列{an}满足an+1+an=4n，则a1=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．310．设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1a2＞0,则a2a3＞0 B．若a1a3＜0,则a1a2＜0C．若a1＜a2,则a22＜a1a3 D．若a1≥a2，则a22≥a1a311．设{an｝是公差不为零的等差数列，满足，则该数列的前10项和等于()A．﹣10 B．﹣5 C．0 D．512．在△ABC中,有正弦定理:=定值，这个定值就是△ABC的外接圆的直径．如图2所示,△DEF中，已知DE=DF,点M在直线EF上从左到右运动（点M不与E、F重合）,对于M的每一个位置，记△DEM的外接圆面积与△DMF的外接圆面积的比值为λ，那么（）A．λ先变小再变大B．仅当M为线段EF的中点时，λ取得最大值C．λ先变大再变小D．λ是一个定值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填写在答题纸相应的位置上．13．△ABC中,B=，且AB=1，BC=4，则BC边上的中线AD的长为．14．在△ABC中，角A，B，C的所对边分别为a，b，c,若a2﹣b2=c2，则的值为．15．数列｛an}的前n项的和，则此数列的通项公式an=．16．在数列｛an｝中，a1=1，an+2+（﹣1）nan=2，记Sn是数列{an｝的前n项和,则S60=．三、解答题：本大题共6小题，共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b,c，若bsinB﹣asinC=0（1）求证：a，b,c成等比数列；（2）若a=1，c=2，求△ABC的面积S．18．已知公差为正数的等差数列{an｝满足:a1=1，且2a1，a3﹣1，a4+1成等比数列．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若a2，a5分别是等比数列｛bn｝的第1项和第2项,求数列的前n项和Tn．19．如图，有一段河流,河的一侧是以O为圆心,半径为10米的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB(不计B离河岸的距离），且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为E．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45°,30°和60°．（1）求烟囱AB的高度；（2）如果要在CE间修一条直路，求CE的长．20．已知单调递增的等比数列{an｝满足：a2+a3+a4=28，且a3+2是a2,a4的等差中项．(Ⅰ）求数列{an}的通项公式；(Ⅱ)设bn=anlogan，求数列{bn｝的前n项和Sn．21．在△ABC中,角A,B，C所对的边分别为a,b,c,2（a2﹣b2)=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ)D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=,求tanC．22．已知数列｛an}的前n项和为Sn，且满足Sn=an+n2﹣1（n∈N*）．(1)求{an｝的通项公式；（2）求证：．四、附加题23．已知数列{an｝中，a1=1,a2=，且an+1=（n=2，3，4…)．(1）求数列{an｝的通项公式；（2）求证：对一切n∈N*,有ak2＜．

2016—2017学年河北省保定市定兴三中高一（下)第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知△ABC中,A=，B=，a=1，则b等于（）A．2 B．1 C． D．【考点】正弦定理．【分析】由已知利用正弦定理即可计算得解．【解答】解：∵A=，B=，a=1,∴由正弦定理，可得：b===．故选：D．2．在等差数列{an}，若a3=16，a9=80,则a6等于（）A．13 B．15 C．17 D．48【考点】等差数列的通项公式．【分析】直接由已知结合等差数列的性质得答案．【解答】解：在等差数列{an｝中，由a3=16，a9=80，得2a6=a3+a9=16+80=96,∴a6=48．故选：D．3．在△ABC中，∠A,∠B,∠C的对边分别为a，b，c，且a=1，b=2，c=,则∠C=（）A．120° B．60° C．45° D．30°【考点】余弦定理．【分析】由已知利用余弦定理可求cosC,结合C的范围即可得解．【解答】解：在△ABC中,∵a=1，b=2，c=，∴cosC===﹣．∵C∈(0，180°），∴C=120°．故选：A．4．等差数列{an}中，a1=﹣5，从第10项开始为正数，则公差d的取值范围是（）A． B． C． D．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由已知条件得,由此能求出公差d的取值范围．【解答】解：∵等差数列｛an}中，a1=﹣5，从第10项开始为正数,∴，解得．∴公差d的取值范围是（,］．故选：C．5．已知△ABC中，A：B：C=1:1：4,则a：b:c等于（）A．1：1： B．2：2： C．1：1：2 D．1：1:4【考点】余弦定理．【分析】利用三角形内角和公式求得三个内角的值，再利用正弦定理求得a：b：c的值．【解答】解:△ABC中,∵A:B：C=1：1：4，故三个内角分别为30°、30°、120°,则a:b：c=sin30°：sin30°：sin120°=1:1：，故选:A．6．设Sn是等比数列｛an}的前n项和，S4=5S2，则的值为(）A．﹣2或﹣1 B．1或2 C．±2或﹣1 D．±1或2【考点】等比数列的性质．【分析】设出等比数列的首项a1，通过公比是否为1,根据等比数列的前n项和的公式以及S4=5S2,求出q的值，利用等比数列的性质化简所求表达式，求解即可．【解答】解：由题设知a1≠0,当q=1时,S4=4a1≠10a1=5S2；q=1不成立．当q≠1时，Sn=，由S4=5S2得1﹣q4=5(1﹣q2),（q2﹣4）（q2﹣1）=0，(q﹣2）（q+2）（q﹣1）(q+1）=0，解得q=﹣1或q=﹣2,或q=2．==q，∴=﹣1或=±2．故选:C．7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，其中b为最大边，若sin2（A+C）＜sin2A+sin2C，则角B的取值范围是()A． B． C． D．【考点】正弦定理．【分析】根据正弦定理把不等式化为b2＜a2+c2，再根据余弦定理和b为三角形的最大边，即可求出B的取值范围．【解答】解：△ABC中,sin2（A+C）＜sin2A+sin2C，由正弦定理得：b2＜a2+c2，即a2+c2﹣b2＞0;由余弦定理得:cosB=＞0，∴B＜；又b为最大边，∴B＞；∴B的取值范围是(，)．故选：D．8．在△ABC中，角A，B,C所对的边分别为a，b，c，若C=60°,c=a,则（）A．a＞b B．a＜bC．a=b D．a与b的大中关系不能确定【考点】解三角形．【分析】由正弦定理求得sinA=，再由大边对大角可得A=30°，由三角形内角和公式可得B=90°，再由大角对大边可得a、b的关系．【解答】解:在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b,c，若C=60°，c=a，则由正弦定理可得，解得sinA=．再由题意可得，a不是最大边，故A为锐角，故A=30°．再由三角形内角和公式可得B=90°，再由大角对大边可得a＜b，故选B．9．已知等差数列数列｛an}满足an+1+an=4n，则a1=（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【考点】等差数列的通项公式．【分析】根据an+1+an=4n,写出a2+a1，a3+a2的值，两式作差可求出公差，从而可求出首项．【解答】解：∵数列{an}是等差数列,且an+1+an=4n，∴a2+a1=4，a3+a2=8，两式相减得a3﹣a1=8﹣4=4，∵数列｛an}是等差数列∴2d=4,即d=2，则a2+a1=2a1+d=4=2a1+2即a1=1．故选：B．10．设{an｝是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1a2＞0，则a2a3＞0 B．若a1a3＜0，则a1a2＜0C．若a1＜a2，则a22＜a1a3 D．若a1≥a2，则a22≥a1a3【考点】等差数列的通项公式．【分析】取等差数列﹣3,﹣1，2,即可判断出结论．【解答】解：取等差数列﹣3，﹣1，2，可知：A，B，C都不成立．D必然成立．故选:D．11．设｛an}是公差不为零的等差数列，满足，则该数列的前10项和等于（）A．﹣10 B．﹣5 C．0 D．5【考点】等差数列的前n项和．【分析】设出等差数列的首项和公差，把已知等式用首项和公差表示，得到a1+a10=0，则可求得数列的前10项和等于0．【解答】解：设等差数列{an｝的首项为a1，公差为d(d≠0），由，得，整理得：2a1+9d=0，即a1+a10=0,∴．故选：C．12．在△ABC中，有正弦定理：=定值，这个定值就是△ABC的外接圆的直径．如图2所示，△DEF中，已知DE=DF，点M在直线EF上从左到右运动（点M不与E、F重合），对于M的每一个位置，记△DEM的外接圆面积与△DMF的外接圆面积的比值为λ，那么(）A．λ先变小再变大B．仅当M为线段EF的中点时，λ取得最大值C．λ先变大再变小D．λ是一个定值【考点】正弦定理．【分析】设△DEM的外接圆半径为R1，△DMF的外接圆半径为R2，则由题意，=λ，由正弦定理可得：R1=，R2=，结合DE=DF，sin∠DME=sin∠DMF,可得λ=1，即可得解．【解答】解：设△DEM的外接圆半径为R1，△DMF的外接圆半径为R2，则由题意，=λ，点M在直线EF上从左到右运动（点M不与E、F重合），对于M的每一个位置,由正弦定理可得：R1=，R2=,又DE=DF,sin∠DME=sin∠DMF，可得：R1=R2，可得：λ=1．故选:D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分,共20分,把答案填写在答题纸相应的位置上．13．△ABC中,B=，且AB=1，BC=4,则BC边上的中线AD的长为．【考点】三角形中的几何计算．【分析】根据余弦定理进行求解即可．【解答】解：△ABC中，B=，且AB=1，BC=4，∴BD=2，∴由余弦定理得AD2=AB2+BD2﹣2AB•BDcosB=1+4﹣2×1×2×=3,则AD=．故答案为：．14．在△ABC中,角A，B,C的所对边分别为a,b,c，若a2﹣b2=c2，则的值为．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】利用余弦定理化简即可得出．【解答】解:∵a2﹣b2=c2，∴===．故答案为：．15．数列｛an}的前n项的和，则此数列的通项公式an=．．【考点】数列的函数特性．【分析】利用当n=1时，a1=S1；当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1即可得出．【解答】解：当n=1时,a1=S1=2﹣3=﹣1．当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1=(2n﹣3）﹣（2n﹣1﹣3）=2n﹣1．综上可得:．故答案为：an=．16．在数列{an}中，a1=1，an+2+（﹣1）nan=2，记Sn是数列{an}的前n项和，则S60=930．【考点】数列递推式;数列的求和．【分析】由an+2+（﹣1）nan=2得，当n为奇数时，an+2﹣an=2，可判断数列｛an｝的奇数项构成等差数列，当n为偶数时，an+2+an=2，即a2+a4=a4+a6=…=2，然后利用分组求和可求得答案．【解答】解：由an+2+（﹣1）nan=2得,当n为奇数时，an+2﹣an=2，即数列{an}的奇数项构成等差数列，首项为1,公差为2，当n为偶数时，an+2+an=2,即a2+a4=a4+a6=…=2，∴S60=（a1+a3+…+a59)+(a2+a4+…+a60）=（1+3+…）+(2+2+…）=30×1++2×15=930，故答案为:930．三、解答题:本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤．17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b,c,若bsinB﹣asinC=0(1）求证:a，b,c成等比数列；（2)若a=1，c=2,求△ABC的面积S．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】(1）由已知及正弦定理可得：b2=ac，从而证明得解．(2)由已知及余弦定理可求cosB,进而利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】（本题满分为12分）解：（1）证明:∵bsinB﹣asinC=0，∴bsinB=asinC,由正弦定理可得：b2=ac，∴a，b，c成等比数列…6分（2)∵a=1，c=2，则b2=ac=2,∴cosB==,…8分∴sinB==，…10分∴S△ABC=acsinB==…12分18．已知公差为正数的等差数列｛an｝满足：a1=1，且2a1，a3﹣1,a4+1成等比数列．（Ⅰ）求数列｛an｝的通项公式；(Ⅱ)若a2，a5分别是等比数列{bn}的第1项和第2项，求数列的前n项和Tn．【考点】数列的求和；数列递推式．【分析】(Ⅰ）设数列{an}的公差为d（d＞0)，运用等比数列的中项的性质，以及等差数列的通项公式,即可得到所求;(Ⅱ）求得b1=a2=3，b2=a5=9，进而得到公比q=3,即可得到是以为首项，以为公比的等比数列，再由等比数列的求和公式即可得到所求．【解答】解：（Ⅰ）设数列｛an}的公差为d（d＞0),由2a1,a3﹣1,a4+1成等比数列，可得,则2（1+3d+1)=(1+2d﹣1）2，解得（舍去）或d=2,所以{an｝的通项公式为an=2n﹣1；(Ⅱ）由（Ⅰ)可得，b1=a2=3，b2=a5=9,则等比数列｛bn｝的公比q=3，于是是以为首项,以为公比的等比数列．所以Tn=．19．如图，有一段河流，河的一侧是以O为圆心，半径为10米的扇形区域OCD，河的另一侧是一段笔直的河岸l，岸边有一烟囱AB（不计B离河岸的距离），且OB的连线恰好与河岸l垂直，设OB与圆弧的交点为E．经测量，扇形区域和河岸处于同一水平面，在点C，点O和点E处测得烟囱AB的仰角分别为45°，30°和60°．（1)求烟囱AB的高度；（2）如果要在CE间修一条直路,求CE的长．【考点】解三角形的实际应用．【分析】（1）求出OB=h，EB=h,可得h﹣h=10，即可求烟囱AB的高度；（2)求出cos∠COB，利用余弦定理求CE的长．【解答】解：（1)设AB的高为h,则在△CAB中，∵∠ACB=45°，∴CB=h,在△OAB中,∵∠AOB=30°，∠AEB=60°,∴OB=h，EB=h，∴h﹣h=10,∴h=15m;（2）在△OBC中,cos∠COB==,所以在△OCE中,=10m．20．已知单调递增的等比数列｛an}满足：a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式;（Ⅱ）设bn=anlogan,求数列{bn｝的前n项和Sn．【考点】等差数列与等比数列的综合；数列的求和．【分析】（I）根据a3+2是a2,a4的等差中项和a2+a3+a4=28，求出a3、a2+a4的值，进而得出首项和a1，即可求得通项公式；(II）先求出数列｛bn}的通项公式，然后求出﹣Sn﹣（﹣2Sn），即可求得的前n项和Sn．【解答】解：(I)设等比数列{an}的首项为a1,公比为q∵a3+2是a2，a4的等差中项∴2（a3+2）=a2+a4代入a2+a3+a4=28，得a3=8∴a2+a4=20∴∴或∵数列｛an｝单调递增∴an=2n(II）∵an=2n∴bn==﹣n•2n∴﹣sn=1×2+2×22+…+n×2n①∴﹣2sn=1×22+2×23+…+(n﹣1）×2n+n2n+1②∴①﹣②得，sn=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1=2n+1﹣n•2n+1﹣221．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b,c，2(a2﹣b2）=2accosB+bc．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）D为边BC上一点，BD=3DC，∠DAB=，求tanC．【考点】余弦定理；正弦定理．【分析】（Ⅰ)由余弦定理可得2accosB=a2+c2﹣b2，代入已知等式整理得cosA=﹣，即可求得A．（Ⅱ)由已知可求∠DAC=，由正弦定理有=,又BD=3CD，可得3sinB=2sinC，由B=﹣C化简即可得解．【解答】解：(Ⅰ）因为2accosB=a2+c2﹣b2，所以2（a2﹣b2)=a2+c2﹣b2+bc．…整理得a2=b2+c2+bc，所以cosA=﹣，即A=．…（Ⅱ）因为∠DAB=，所以AD=