专题3.11 圆锥曲线的方程全章综合测试卷（基础篇）（人教A版2019选择性必修第一册）（解析版）

第三章圆锥曲线的方程全章综合测试卷（基础篇）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1．（5分）（2023春·江苏镇江·高二校考期末）抛物线y=x2A．0,14 B．14,0 C．【解题思路】由抛物线方程求出p的值，从而可求出其焦点坐标.【解答过程】由于抛物线的方程为y=所以2p=1，p所以抛物线y=x2故选：A.2．（5分）（2022秋·陕西西安·高二校考期中）若方程C:x2+yA．∀a∈(0,+∞)，方程B．∀a∈(-∞,0)，方程C．∃a∈(-∞,0)，方程D．∃a∈R【解题思路】根据题意，进行判断即可.【解答过程】对于A，当a=1时，方程C表示圆，故A对于B，当a为负数时，方程C表示双曲线，故B正确．对于C，当a为负数时，方程C表示双曲线，故C不正确．对于D，当a≠0时，方程C表示椭圆、圆或双曲线，故方程C不会表示抛物线．故D故选B．3．（5分）（2023春·云南曲靖·高一校考期末）与双曲线y2-x23A．y29+C．x29+【解题思路】先求得双曲线的焦点坐标，再根据椭圆的长轴长为6求解.【解答过程】解：双曲线y2-x即椭圆的焦点为F1又长轴长为6，即a=3,所以椭圆的方程为y2故选：B.4．（5分）（2023春·广西河池·高二统考期末）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>A．12 B．22 C．32【解题思路】根据题意，结合椭圆离心率的定义，即可求求解.【解答过程】如图所示，椭圆C，其上顶点为A，左､右焦点分别为F1,F2则椭圆C的离心率为e=故选：A.

5．（5分）（2023春·河南·高三阶段练习）已知F1,F2分别为椭圆C:x2a2+yA．6 B．9 C．12 D．15【解题思路】根据离心率求解a=4，即可由焦点三角形求解周长【解答过程】因为C的离心率为12，且a>23，所以e2=a2-12故选：C.

6．（5分）（2023·四川遂宁·射洪中学校考模拟预测）已知双曲线C:x24-y212=1的右焦点为F，点AA．±2 B．±43 C．±23 D【解题思路】根据题意分析可得直线AF与渐近线平行，结合平行关系运算求解.【解答过程】双曲线C:x24-y2所以双曲线的渐近线方程为y=±3x因为直线AF与C只有一个交点，所以直线AF与双曲线的渐近线平行，所以kAF=m故选：B.7．（5分）（2023·全国·高三专题练习）过点P2,1的直线l与双曲线x2-y23=1相交于A,BA．6x-yC．2x-3【解题思路】利用点差法求解.【解答过程】解：设Ax1,两式相减得直线的斜率为k=又直线l过点P2,1所以直线l的方程为6x经检验此时l与双曲线有两个交点.故选：A.8．（5分）（2023春·江苏镇江·高二校考期末）已知椭圆C:x23+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，直线y=x+m与C交于A．23 B．23 C．-2【解题思路】首先联立直线方程与椭圆方程，利用Δ>0，求出m范围，再根据三角形面积比得到关于m的方程，解出即可【解答过程】将直线y=x+m与椭圆联立y=因为直线与椭圆相交于A,B点，则Δ=36设F1到AB的距离d1,F2到AB则d1=|-S△F1ABS故选：C.二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）9．（5分）（2023春·河南漯河·高二统考期末）下列命题中正确的是（

）A．若平面内两定点A､B，则满足PA+B．双曲线x2-yC．若方程x24-t-D．过椭圆一焦点F作椭圆的动弦PQ，则弦PQ的中点M的轨迹为椭圆【解题思路】根据椭圆定义可判断A；双曲线与直线联立求解可判断B；根据方程表示焦点在y轴上的双曲线求出t的范围可判断C；设椭圆方程为x2a2+y2b2=1a>b>0，弦PQ的中点为Mx,y，当直线PQ与x轴不垂直时，设弦PQ【解答过程】对于A，根据椭圆定义，若平面内两定点A､B，则满足PA的动点P的轨迹为椭圆，故A错误；对于B，由x-y-2=0x2-y2

对于C，若方程x24-t-y2t对于D，不妨设椭圆方程为x2a2则Fc,0，弦PQ的中点为当直线PQ与x轴不垂直时，设弦PQ方程为y=与椭圆方程y=kx所以动弦PQ的中点横坐标为x=ca所以x=ca2k2b2+a2k2y=kca2k2b2+

故选：BD.10．（5分）（2023春·河南南阳·高二校考阶段练习）已知双曲线E:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的左、右焦点分别为F1A．AB=25a B．C．矩形AF1BF2的面积为4【解题思路】对A、D：根据题意结合双曲线的定义可求得AF1=2AF2=4a,AB=F1F2=2【解答过程】不妨设点A在第一象限，如图，由题意可得：四边形AF

由双曲线的定义可得：AF1-对A：∵四边形AF1BF2对B：由选项A可得：2c=25a，则注意到双曲线E的焦点在x轴上，则E的渐近线方程为y=±ba对C：矩形AF1BF2对D：由A选项知，AB=25a，所以e=故选：AD.11．（5分）（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),C的上顶点为A，两个焦点为F1A．a=132C．直线DE的斜率为33 D．【解题思路】根据离心率为12，得到△AF1F2为等边三角形，再由过F1且垂直于直线AF2的，得到kDE，△ADF2,△【解答过程】解：如图所示：

∵椭圆C:x2∴不妨设椭圆C:∵C的上顶点为A，两个焦点为F1∴△A∵过F1且垂直于AF2的直线与C∴kDE=tan由等腰三角形的性质可得AD=由椭圆的定义可得△ADE的周长为DE∴a=132,b对于D项，设lDE:y消去y得：x2则Δ=由韦达定理得x1所以DE=1+3故选：ACD.12．（5分）（2023春·云南大理·高二统考期末）过抛物线C:y2=2px上一点A1,2作两条相互垂直的直线，与A．C的准线方程是xB．过C的焦点的最短弦长为2C．直线MN过定点5,-2D．若直线MN过点1,-1，则△AMN的面积为【解题思路】由题可得抛物线C为y2=4x，进而判断A；利用焦点弦的方程结合抛物线的定义结合条件可判断B；设直线MN为x=my+n，联立抛物线利用韦达定理结合条件可得m、n的数量关系，可判断C；由直线MN过点【解答过程】将A1,2代入C中得4=2p，即则抛物线C为y2所以C的准线方程是x=-1，故A抛物线C的焦点为1,0，可设过C的焦点的直线为x=联立x=ty+1y2则yE+y所以EF=xE+xF+2≥4设My124,y1联立x=my+所以y1+y又AM⊥所以AM⋅因为y1≠2，y2所以y1化简整理得y1即-4n+8所以直线MN为x=所以直线MN过定点P5,-2，故C若直线MN过点1,-1，则1=m-1+2+5，即所以y1+y直线MN为x=-4y+2所以MN=点A1,2到直线MN的距离为d所以S△AMN=1故选：AC.三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）（2023春·云南曲靖·高一校考期末）若抛物线C：x2=2py(p>0)上的一点到焦点的距离为p2，到x轴的距离为【解题思路】由抛物线的定义可得p2=3+p【解答过程】∵抛物线C：x2=2py∴该点到准线的距离为p2又该点到x轴的距离为3，∴p2=3+p2，解之可得又p>0∴p故答案为：2.14．（5分）（2023春·西藏林芝·高二校考期末）短轴长为8，离心率为35的椭圆两焦点分别为F1、F2，过点F1作直线l交椭圆于A、B两点，则△AB【解题思路】根据椭圆的几何性质，求得a=5，再结合椭圆的定义，进而求得△AB【解答过程】由椭圆的短轴长为8，可得2b=8，所以又由离心率为35，即ca=35如图所示，由椭圆的定义，可得AF则△ABF2的周长为AB故答案为：20.

15．（5分）（2023春·山西大同·高二校考期末）设双曲线x24-y23=1的左、右焦点分别为F1，F2，P【解题思路】根据双曲线方程求出a、b、c，再由双曲线的定义求出|PF1|【解答过程】因为双曲线x24-y23=1因为P为双曲线右支上一点，所以|PF1所以|PF1|=6，由余弦定理F1即272=62所以∠F故答案为：π316．（5分）（2023春·云南昆明·高三校考阶段练习）已知点M(5,43)是椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点，F【解题思路】根据椭圆的几何性质可得方程为x29+y24【解答过程】由M(5,43)和MF2⋅F1F2=0可得c=5设圆x2+y2=4的切线方程为x联立x=my+nx2Δ=64设Mx1,y1，NMN=设1+m2=当且仅当4t=5t，即t故答案为：3.四．解答题（共6小题，满分70分）17．（10分）（2023春·四川·高二统考期末）求符合下列条件的曲线方程：(1)以椭圆x225(2)已知抛物线C:y2=2pxp>0的焦点为F，点P2,nn【解题思路】（1）由椭圆的性质求出双曲线的焦点和顶点，即可得解．（2）根据抛物线的定义求出p，即可求出抛物线方程，再将P点坐标代入抛物线方程，求出n，即可得解.【解答过程】（1）由题意，椭圆x225+y29=1所以双曲线的焦点为±5,0，顶点为±4,0，设双曲线方程为x2a2-y2b所以该双曲线的方程为x2

（2）抛物线C:y2=2px因为点P2,nn>0在抛物线C上且PF=3所以抛物线方程为y2又点P2,nn>0在抛物线C，所以n2所以P2,2

18．（12分）（2023秋·四川南充·高二校考期末）已知点P是椭圆x2a2+y2b2=1(1)求椭圆的标准方程；(2)若动直线l过F2与椭圆交于A、B两点，求△AB【解题思路】（1）根据焦距可求c=3，根据所过点可求a（2）利用椭圆的定义可得△ABF1的周长为4a【解答过程】（1）设焦距为2c，由2c=6又椭圆x2a2+y2得b2∴椭圆的标准方程为x2（2）动直线l过F2与椭圆交于A、B∴AF1+∴AF∴△ABF

19．（12分）（2023春·内蒙古呼伦贝尔·高二校考阶段练习）已知抛物线C:x2=-2py(p(1)求抛物线C的方程；(2)已知直线l交抛物线C于M,N两点，且MN的中点为6,-4，求直线【解题思路】（1）根据抛物线的定义求解；（2）设点代入抛物线方程，然后利用点差法求解直线的斜率，然后根据点斜式即可解得直线的方程；【解答过程】（1）因为AF=9+所以p=12故抛物线C的方程为x2（2）

易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k,则x两式相减得x12-因为MN的中点为6,-4，所以k=所以直线l的方程为y+4=-1220．（12分）（2023春·上海徐汇·高二校考期中）已知双曲线C的方程为2x(1)直线y=x+m截双曲线C所得的弦长为(2)过点2,-1作直线交双曲线C于P、Q两点，求线段PQ的中点M的轨迹方程．【解题思路】（1）联立直线与双曲线方程，得到韦达定理式，利用弦长公式即可求出m值；（2）设Px1,y1,【解答过程】（1）联立y=x+m∵直线y=x+m被双曲线C截得的弦长为设直线与双曲线交于Ax则x1由弦长公式得42解得m=±1（2）设Px1,x1∴2x上式作差得4x当直线PQ的斜率不存在时，根据双曲线对称性知M2,0当直线PQ的斜率存在时，但y1+y2=0时，此时直线PQ当直线PQ的斜率存在时，且y1+y∵kAM=y+1x-而点2,0，0,0适合上述方程，则线段PQ的中点M的轨迹方程是2x

21．（2023·广东深圳·统考二模）已知椭圆C:x2a2+y2(1)求椭圆C的方程；(2)若经过定点0,-1的直线l与椭圆C交于P,Q两点，记椭圆的上顶点为M，当直线l的斜率变化时，求△【解题思路】(1)根据离心率的值和定义可以求出a,b(2)设出直线方程后，联立直线和椭圆方程，消元化简后，可得x1+x2=4【解答过程】（1）椭圆C的离心率e=则22=c所以a=2b将点4,1代入方程得b2故所求方程为x2（2）点0,-1在椭圆C内，直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=由x218+设Px1,PQ=点M0,3到l的距离d令t=2k2+1t因为0<1t≤1，所以当1t

22．（12分）（2023春·四川自贡·高二统考期末）已知椭圆C:x2a2(1)求椭圆C的标准方程；(2)M、N为椭圆C上的不同两点，设直线AM，AN的斜率分别为k1，k2