第二章极限与连续高等数学

第二章极限与连续高等数学第1页，课件共134页，创作于2023年2月设函数yn=f(n),其中n为正整数,

那么按自变量n增大的顺序排列的一串数f(1),f(2),f(3),,f(n),,称之为数列,记作{yn

}或数列yn.

…

…简单地说：数列就是定义在正整数集合上的函数一、数列的极限数列第一张幻灯片第2页，课件共134页，创作于2023年2月------单调减少------单调增加------有界但不单调例第3页，课件共134页，创作于2023年2月前面三个数列当n无限增大时的极限可分别表示为第4页，课件共134页，创作于2023年2月显然，数列yn

无限地接近于1，可用数列yn与1之差的绝对值可以任意地小来描述.如果用符号e

表示任意小的正数，那么就可用|yn-1|<e表示.于是数列yn的极限现象可表述为：当n无限变大时，就有|yn-1|<e.一般地，当n无限变大时，数列yn无限接近于一个常数A的极限现象可定义如下：

第5页，课件共134页，创作于2023年2月

对任意给定的正数

e，总存在正数N，当n＞N时，恒有

|yn

A|<e

成立，则称数列{yn}当n→∞时以A为极限。定义如果数列有极限，则称该数列是收敛的第6页，课件共134页，创作于2023年2月存在一充分大正整数N，当n>N时，点yn都落在点A的

e

邻域内，而不管

e有多么小(如图)，形象一点讲，数列yn会密集在点A的周围.AA-

eA+eyN+1yN+2Ox如果把数列yn中每一项都用数轴Ox上一个点来表示，那么数列yn趋向于A可解释为:数列极限的几何意义第7页，课件共134页，创作于2023年2月发散数列：当n→∞时,数列不趋于某个固定常数A，称为发散数列

.第8页，课件共134页，创作于2023年2月A∞发散不确定------收敛收敛的数列一定有界返回本章目录第9页，课件共134页，创作于2023年2月函数极限第一张幻灯片第10页，课件共134页，创作于2023年2月对于任意给定的正数，总存一个正数M，当时，恒有

成立，则称当时，函数以为极限，记作或当时，的极限第11页，课件共134页，创作于2023年2月yx0(1)∵第12页，课件共134页，创作于2023年2月(2)(3)0xyxy0第13页，课件共134页，创作于2023年2月例第14页，课件共134页，创作于2023年2月作直线y=A+e和y=A-e

A+eAA-eNyOx不管它们之间的距离有多么小，当x>N时，曲线y=f(x)一定落在这两条直线之间.的几何意义第15页，课件共134页，创作于2023年2月当x→1时，趋向于什么？当时，函数的极限显然有0xy1f(x)在当x→1时是否有极限与在X=1点处是否有定义无关和第16页，课件共134页，创作于2023年2月定义：如果当x无限接近于x0时，恒有|f(x)-

A|<e

(e是任意小的正数)

则称当自变量x趋于x0时，函数f(x)趋于A，记作

x无限接近x0即为0<|x-x0|<d.（d充分小的正数）第17页，课件共134页，创作于2023年2月A

-e

<

f(x)<A+e．AA+eA-ey=f(x)x0-dx0+dx0yxO

不论它们之间的距离有多么小.只要x进入

是指：当0<|x-

x0|<d时，

恒有|f(x)-

A|<e.即作两条直线：y=A-e

y=A+e

的d邻域内，曲线y=f(x)就会落在这两条直线之间.几何意义第18页，课件共134页，创作于2023年2月当自变量x从不同方向趋于x0时，函数f(x)趋向于A的极限，此时称A是函数f(x)的单侧限。-----------右极限-----------左极限极限存在定理左右极限第19页，课件共134页，创作于2023年2月例1试求函数≤≤解:

函数f(x)在x=0

处左、右极限存在但不相等，所以不存在.第20页，课件共134页，创作于2023年2月

函数f(x)在x=1

处左、右极限存在而且相等，所以有第21页，课件共134页，创作于2023年2月例2解例

3解第22页，课件共134页，创作于2023年2月解例

4设函数求第23页，课件共134页，创作于2023年2月例2,3和4说明了下列几种重要现象：

(1)函数f(x)在x0处极限存在，但函数f(x)在x0处可以没有定义(如例2).

(2)函数f(x)在x0处虽然有定义，且在x0处有极限，但两者不等，

(3)函数f(x)在x0处有定义，也有极限且两者相等.第24页，课件共134页，创作于2023年2月

若

x→x0(或

x→∞

)时，函数f(

x

)的极限存在,则函数

f(

x

)在

x0的一个空心小邻域内(或|x|充分大范围内)有界.定理第25页，课件共134页，创作于2023年2月设变量在变化过程中无限地趋于一个常数A，就称该变量以A为极限，记作三、变量的极限变量y若为具体函数，则不能使用通用记号，必须在极限符号下面要写明所研究的变量的自变量的变化过程.

第一张幻灯片第26页，课件共134页，创作于2023年2月第27页，课件共134页，创作于2023年2月①②

③

④

返回本章目录第28页，课件共134页，创作于2023年2月四、无穷小量与无穷大量第一张幻灯片第29页，课件共134页，创作于2023年2月无穷大量如果，则称变量是在该变化过程中的无穷大量，简称无穷大。第30页，课件共134页，创作于2023年2月无穷小量以零为极限的变量称为无穷小量，简称无穷小．即，常用等表示。零是唯一可以作为无穷小量的常数第31页，课件共134页，创作于2023年2月

如果变量以A为极限的充分必要条件是变量可以表示为A与无穷小量之和，即

定理第32页，课件共134页，创作于2023年2月在相同的变化趋势下有界变量与无穷小量之积仍是无穷小量（常数与无穷小量之积仍是无穷小量）。②两个无穷小量的代数和仍是无穷小量（可推广）。③两个无穷小量之积仍是无穷小量（可推广）定理第33页，课件共134页，创作于2023年2月例第34页，课件共134页，创作于2023年2月

为有界函数，证例第35页，课件共134页，创作于2023年2月无穷大量与无穷小量的关系在变量的变化过程中，如果是无穷大量，则是无穷小量；是无穷小量，则是无穷大量。①②第36页，课件共134页，创作于2023年2月无穷小量阶的比较定义：第37页，课件共134页，创作于2023年2月例第38页，课件共134页，创作于2023年2月极限的运算法则

定理:在某一变化过程中，若幻灯片1第39页，课件共134页，创作于2023年2月故由无穷小量的定理可推得

lim(x

y

)=A

B=limx

limy

证第40页，课件共134页，创作于2023年2月(2)因为x

y=(A

a

)(B

b)

=AB

(Ab

Ba

a

b)因为Ab,Ba，a

b

均为无穷小量，所以商的极限运算法则的证明从略.lim(x

y

)=AB=limx

limy第41页，课件共134页，创作于2023年2月推论1

limcy

=climy推论2

第42页，课件共134页，创作于2023年2月求极限

例第43页，课件共134页，创作于2023年2月第44页，课件共134页，创作于2023年2月第45页，课件共134页，创作于2023年2月第46页，课件共134页，创作于2023年2月第47页，课件共134页，创作于2023年2月第48页，课件共134页，创作于2023年2月m、n为正整数。为常数第49页，课件共134页，创作于2023年2月

证

第50页，课件共134页，创作于2023年2月求极限

第51页，课件共134页，创作于2023年2月第52页，课件共134页，创作于2023年2月第53页，课件共134页，创作于2023年2月

第54页，课件共134页，创作于2023年2月

第55页，课件共134页，创作于2023年2月第56页，课件共134页，创作于2023年2月例分别讨论当时，的极限是否存在，并求第57页，课件共134页，创作于2023年2月

第58页，课件共134页，创作于2023年2月练习第59页，课件共134页，创作于2023年2月第60页，课件共134页，创作于2023年2月解：

练习即所以当x

1时为无穷大量，第61页，课件共134页，创作于2023年2月解练习第62页，课件共134页，创作于2023年2月

解

练习第63页，课件共134页，创作于2023年2月练习求极限第64页，课件共134页，创作于2023年2月

（无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量）第65页，课件共134页，创作于2023年2月例第66页，课件共134页，创作于2023年2月极限存在准则第67页，课件共134页，创作于2023年2月在某个变化过程中，三个变量总有关系，且准则1：夹值定理第68页，课件共134页，创作于2023年2月证明证明：第69页，课件共134页，创作于2023年2月准则2：单调有界定理单调有界数列一定有极限定义第70页，课件共134页，创作于2023年2月(1)是单调增加数列，且，所以有(2)是单调减少数列，且，所以有例幻灯片1第71页，课件共134页，创作于2023年2月两个重要极限幻灯片1第72页，课件共134页，创作于2023年2月

AOB面积<扇形AOB面积<AOD面积证明：因为，所以当改变符号时，的值不变，故只讨论当的情形即可。作单位圆OxABDC设圆心角∠则第73页，课件共134页，创作于2023年2月所以即同除得即由于所以第74页，课件共134页，创作于2023年2月第75页，课件共134页，创作于2023年2月例第76页，课件共134页，创作于2023年2月第77页，课件共134页，创作于2023年2月第78页，课件共134页，创作于2023年2月第79页，课件共134页，创作于2023年2月幻灯片1第80页，课件共134页，创作于2023年2月例第81页，课件共134页，创作于2023年2月第82页，课件共134页，创作于2023年2月第83页，课件共134页，创作于2023年2月第84页，课件共134页，创作于2023年2月例幻灯片1第85页，课件共134页，创作于2023年2月利用无穷小量等价代换求极限等价无穷小量代换只能用于乘除运算，对于加减项的无穷小量不能随意代换。

幻灯片1第86页，课件共134页，创作于2023年2月常用的等价无穷销量第87页，课件共134页，创作于2023年2月利用无穷小量等价代换法求极限例幻灯片89幻灯片90幻灯片91幻灯片92幻灯片93幻灯片94幻灯片87第88页，课件共134页，创作于2023年2月幻灯片87第89页，课件共134页，创作于2023年2月幻灯片87第90页，课件共134页，创作于2023年2月幻灯片87第91页，课件共134页，创作于2023年2月幻灯片87第92页，课件共134页，创作于2023年2月幻灯片87第93页，课件共134页，创作于2023年2月幻灯片87第94页，课件共134页，创作于2023年2月函数的连续性幻灯片1第95页，课件共134页，创作于2023年2月函数的改变量（函数的增量）

0xy改变量：终值与初始值之差。第96页，课件共134页，创作于2023年2月设正方形边长为，若边长由变到时，面积改变了多少。例解：（1）若边长由2米变到2.05米时，（2）若边长由2米变到1.95米时，第97页，课件共134页，创作于2023年2月函数连续的概念第98页，课件共134页，创作于2023年2月定义1设函数y=f(x)在x0

点及其的某邻域内有定义，若则称函数y=f(x)在x0

处连续.第99页，课件共134页，创作于2023年2月定义2设函数y=f(x)在x0

点及其某邻域内有定义，则称函数y=f(x)在x0

点处连续。若第100页，课件共134页，创作于2023年2月总结：第101页，课件共134页，创作于2023年2月3.定义(1)如果函数在开区间上每一点处都连续，则称在区间上连续。在开区间上每一点处都连续，且有

则称在闭区间上连续。(2)如果函数第102页，课件共134页，创作于2023年2月例证明函数在处连续。在处有定义，且又即

所以在处连续。证明：因为第103页，课件共134页，创作于2023年2月例

证明函数y=sinx在其定义域内连续.证：任取x0(-

,

+

)，则因

y=

f(x0

+

x)-

f(x0)=sin(x0

+

x)-sinx0这表明y=sinx在x0处连续，由于

x0的任意性可知它在定义域内连续.≤≤≤第104页，课件共134页，创作于2023年2月解因为所以f(x)在x=0处连续.第105页，课件共134页，创作于2023年2月例

证：因为即f(x)在x=0点处连续。第106页，课件共134页，创作于2023年2月如果在点处连续，则即连续函数极限符号和函数符号可以交换。因为在处连续，所以注意第107页，课件共134页，创作于2023年2月函数间断点及其分类间断点：使函数y=f(x)不连续的点称为y=f(x)的间断点。判断间断点的方法第108页，课件共134页，创作于2023年2月讨论函数在处是否连续。例解：幻灯片113第109页，课件共134页，创作于2023年2月

讨论函数在处的连续性。

例

因为故点不连续，也称函数的间断点。但所以在在1-10xy幻灯片112第110页，课件共134页，创作于2023年2月讨论函数在处的连续性。例解：幻灯片112第111页，课件共134页，创作于2023年2月第一类间断点（可去间断点或跳跃间断点）

间断点的分类幻灯片111幻灯片110幻灯片114幻灯片115第112页，课件共134页，创作于2023年2月第二类间断点（若在点处至少有一侧是的第二类间断点）的极限值不存在，则称幻灯片109第113页，课件共134页，创作于2023年2月

例

证明x=0为函数的第一类间断点.

证:因为该函数在x=0处没有定义,所以x=0是它的间断点，又因为所以x=0为该函数的第一类间断点.yxO幻灯片112第114页，课件共134页，创作于2023年2月例

证明函数在x=0处是第一类间断点.因此x=0是该函数的第一类间断点

.也为可去间断点.证:即该函数在x=0处的左、右极限存在，但是由于1xyOp2p-p-2p幻灯片112第115页，课件共134页，创作于2023年2月因为，如果修改定义f(0)=1，所以，左、右极限存在且相等的间断点称为可去间断点.在x=0连续.则函数1xyOp2p-p-2p第116页，课件共134页，创作于2023年2月例

证明x=1是的第二类间断点.

证：所给函数在x=1处没有定义，因此x=1是它的间断点，又因为因此，x=1为所给函数的第二类间断点

．幻灯片113第117页，课件共134页，创作于2023年2月例

设讨论f(x)的连续性.解：当x

0时，函数表达式为初等函数所以f(x)在x

0处是连续的。因此f(x)在x=0处连续.故函数f(x)在(，)内是连续的.第118页，课件共134页，创作于2023年2月例解：第119页，课件共134页，创作于2023年2月连续函数的基本性质（2）基本初等函数在其定义域内都是连续的。（3）初等函数在其定义域上都是连续的。第120页，课件共134页，创作于2023年2月故由极限的运算法则可得因此f(x)·

g(x)在x0处连续

.证：仅证明f(x)·

g(x)的情形.因为f(x)