杭州市七校高二下期中考试数学试题及答案(新课标人教版)

2015学年第二学期期中杭州地区七校联考高二年级数学学科试题一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）1.抛物线的焦点坐标是(▲)A（—2，0）B（0，—2）C（2，0）D（0，2）2、已知点，则点关于原点对称的点的坐标为(▲)A．B．C．D．3、椭圆的焦距是(▲)A．4B．2eq\r(2)C．8 D．与m有关4、下列有关命题的说法正确的是(▲)A．命题“若”的否命题为：“若”；B．“”是“”的必要不充分条件；C．命题“若，则”的逆否命题为假命题；D．命题“若，则不全为零”的否命题为真命题.5、设双曲线的左、右焦点分别是、，过点的直线交双曲线右支于不同的两点、．若△为正三角形，则该双曲线的离心率为(▲)A．B．C．D．6、不等式成立的一个必要而不充分条件是(▲)A．B． C．D．7、正方体中，是棱的中点，则与所成角的余弦值(▲)A．B．C．D．8、如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(▲)A. B. C. D.（第8题）（第9题）9、如图，正方体的棱长为2，点是平面上的动点，点在棱上，且，且动点到直线的距离与点到点的距离的平方差为4，则动点的轨迹是(▲)A．圆 B．抛物线 C．双曲线 D．直线10、过M(－2,0)的直线m与椭圆eq\f(x2,2)＋y2＝1交于P1，P2两点，线段P1P2的中点为P，设直线m的斜率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2，则k1k2的值为(▲)A．－eq\f(1,2)B．－2C.eq\f(1,2) D．2二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分）11、命题“存在实数，使QUOTE”的否定是.12、已知点P到点的距离比它到直线的距离大1，则点P满足的方程为.13、是椭圆上的点，、是椭圆的两个焦点，，则的面积等于．14、已知椭圆C：，斜率为1的直线与椭圆C交于两点，且，则直线的方程为.15、在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若AB=2，AA1=1，则点A到平面A1BC的距离为.16、已知向量，，且，则=.17、抛物线上两点、关于直线对称，且，则等于三、解答题（本题共5小题，共52分）18、(本题满分8分)已知双曲线与椭圆共焦点，且以为渐近线，求双曲线方程．19、(本题满分10分)设命题“对任意的”，命题“存在，使”。如果命题为真，命题为假，求实数的取值范围。20、(本题满分10分)已知，求实数m的值，使得（1）（2）21、（本题满分10分）已知抛物线C：的焦点F(1,0)， O为坐标原点，A、B是抛物线C上异于O的两点。求抛物线C的方程；（2）若,求证直线AB过定点。22、（本题满分14分）如图所示，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD,AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．(1)证明：BE⊥DC；(2)求直线BE与平面PBD所成角的正弦值；(3)若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F­AB­P的余弦值．

2015学年第二学期期中杭州地区七校联考高二年级数学学科参考答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分）题号12345678910答案CACDBABDBA二、填空题（本题共7小题，每小题4分，共28分）11、对任意的，都有12、13、14、15、16、317、1三、解答题（本题共5小题，共52分）18、(本题满分8分)解：由椭圆．…………2＇设双曲线方程为，…………………3＇由渐近线为，则又……………5＇得……………7＇故所求双曲线方程为……………8＇19、(本题满分10分)解：P：对任意的恒成立，令………2＇…………………3＇……………5＇………………7＇…………………8＇或…………………9＇………………10＇20、（本题满分10分）解：（1）………………2＇……4＇……6＇………………………7＇（2）………………9＇…………10＇21、（本题满分10分）解：（1）依题意知，………………4＇，……………5＇由，则…………………6＇，………7＇……………………8＇……………9＇……………10＇22、解：方法一：依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图所示)，可得B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)．C由E为棱PC的中点，得E(1，1，1)．(1)证明：向量＝(0，1，1)，＝(2，0，0)，故＝0，所以BE⊥DC.………………4＇(2)向量＝(－1，2，0)，＝(1，0，－2)．设n＝(x，y，z)为平面PBD的法向量，则不妨令y＝1，可得n＝(2，1，1)为平面PBD的一个法向量．于是有＝＝eq\f(2,\r(6)×\r(2))＝eq\f(\r(3),3)，所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为eq\f(\r(3),3).………8＇(3)向量＝(1，2，0)，＝(－2，－2，2)，＝(2，2，0)，＝(1，0，0)．由点F在棱PC上，设＝λeq\o(CP,\s\up6(→))，0≤λ≤1.故＝＋＝＋λeq\o(CP,\s\up6(→))＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．由BF⊥AC，得＝0，因此2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝eq\f(3,4)，即＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)，\f(3,2))).设n1＝(x，y，z)为平面FAB的法向量，即不妨令z＝1，可得n1＝(0，－3，1)为平面FAB的一个法向量．取平面ABP的法向量n2＝(0，1，0)，则cos〈n1，n2〉＝eq\f(n1·n2,|n1|·|n2|)＝eq\f(－3,\r(10)×1)＝－eq\f(3\r(10),10).易知二面角F­AB­P是锐角，所以其余弦值为eq\f(3\r(10),10).……14＇方法二：(1)证明：如图所示，取PD中点M，连接EM，AM.由于E，M分别为PC，PD的中点，故EM∥DC，且EM＝eq\f(1,2)DC.又由已知，可得EM∥AB且EM＝AB，故四边形ABEM为平行四边形，所以BE∥AM.因为PA⊥底面ABCD，故PA⊥CD，而CD⊥DA，从而CD⊥平面PAD.因为AM⊂平面PAD，所以CD⊥AM.又BE∥AM，所以BE⊥CD.…………4＇(2)连接BM，由(1)有CD⊥平面PAD，得CD⊥PD.而EM∥CD，故PD⊥EM.又因为AD＝AP，M为PD的中点，所以PD⊥AM，可得PD⊥BE，所以PD⊥平面BEM，故平面BEM⊥平面PBD，所以直线BE在平面PBD内的射影为直线BM.而BE⊥EM，可得∠EBM为锐角，故∠EBM为直线BE与平面PBD所成的角．依题意，有PD＝2eq\r(2)，而M为PD中点，可得AM＝eq\r(2)，进而BE＝eq\r(2).故在直角三角形BEM中，tan∠EBM＝eq\f(EM,BE)＝eq\f(AB,BE)＝eq\f(1,\r(2))，因此sin∠EBM＝eq\f(\r(3),3)，所以直线BE与平面PBD所成角的正弦值为eq\f(\r(3),3).…………8＇(3)如图所示，在△PAC中，过点F作FH∥PA交AC于点H.因为PA⊥底面ABCD，所以FH⊥底面ABCD，从而FH⊥AC.又BF⊥AC，得AC⊥平面FHB，因此AC⊥BH.在底面ABCD内，可得CH＝3HA，从而CF＝3FP.在平面PDC内，作FG∥DC交PD于点G，于是DG＝3GP.由于DC∥AB，故GF∥A