几何中线段的最值问题

..几何中线段的最值问题一条线段的最值问题一〔1〕借助旋转求最值2013通州一模24．：，，以AB为一边作等边三角形ABC.使C、D两点落在直线AB的两侧.〔1〕如图，当∠ADB=60°时，求AB及CD的长；〔2〕当∠ADB变化，且其它条件不变时，求CD的最大值，及相应∠ADB的大小.AAD BC2011丰台一模25.:在△ABC中，BC=a，AC=b，以AB为边作等边三角形ABD.探究以下问题:〔1〕如图1，当点D与点C位于直线AB的两侧时，a=b=3，且∠ACB=60°，那么CD=；〔2〕如图2，当点D与点C位于直线AB的同侧时，a=b=6，且∠ACB=90°，那么CD=；〔3〕如图3，当∠ACB变化,且点D与点C位于直线AB的两侧时，求CD的最大值及相应的∠ACB的度数.图1图2图3〔2〕借助直角三角形性质求最值勾股定理直角三角形斜边中线等于斜边一半直角三角形斜边的两条重要的线段，一是斜边上的高，另一个是斜边上的中线，直角三角形斜边上的高是直角顶点到斜边上所有点之中距离最短的，其长度可以用两直角边乘积除以斜边求得．如图，在ΔABC中，∠C=90°，AC=2,BC=1,点A、C分别在x轴、y轴上，当点A在x轴上运动时，点C随之在y轴上运动，在运动过程中，点B到原点的最大距离是如图，△ABC是边长为定值m的正三角形，C点与原点重合，点B在第一象限点，点A在x轴上。求出AC边上的高线BD的长度；当点C在y轴的正半轴滑动时，试求出点O到CA距离的最大值；点P是△ABC切圆的圆心，请求出OP的最大值。2011海淀一模25．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=.点D在边AC上〔不与A，C重合〕，连结BD，F为BD中点.〔1〕假设过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1．设，那么k=；〔2〕假设将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．求证：BE-DE=2CF；〔3〕假设BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．2010海淀一模25.：中，，中，,.连接、，点、、分别为、、的中点.图1图2(1)如图1，假设、、三点在同一直线上，且，那么的形状是________________，此时________；(2)如图2，假设、、三点在同一直线上，且，证明，并计算的值〔用含的式子表示〕；(3)在图2中，固定，将绕点旋转，直接写出的最大值.28．正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在射线DC，DA上运动，且DE=DF．连接BF，作EH⊥BF所在直线于点H，连接CH.〔1〕如图1，假设点E是DC的中点，CH与AB之间的数量关系是；〔2〕如图2，当点E在DC边上且不是DC的中点时，〔1〕中的结论是否成立？假设成立给出证明；假设不成立，说明理由；〔3〕如图3，当点E，F分别在射线DC，DA上运动时，连接DH，过点D作直线DH的垂线，交直线BF于点K，连接CK，请直接写出线段CK长的最大值．〔3〕与圆相关2014燕山24.如图1，是等腰直角三角形，,点是的中点．作正方形，使点、分别在和上，连接，．〔1〕试猜测线段和的数量关系是；〔2〕将正方形绕点逆时针方向旋转，①判断〔1〕中的结论是否仍然成立？请利用图2证明你的结论；②假设，当取最大值时，求的值．2013昌平一模24．在△ABC中，AB=4，BC=6，∠ACB=30°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．〔1〕如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1〔2〕如图2，连接AA1，CC1．假设△CBC1的面积为3，求△ABA1的面积；〔3〕如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转的过程中，点P的对应点是点P1，直接写出线段EP1长度的最大值与最小值．2015房山一模28．如图1，线段BC=2，点B关于直线AC的对称点是点D，点E为射线CA上一点，且ED=BD，连接DE，BE.依题意补全图1，并证明：△BDE为等边三角形；假设∠ACB=45°，点C关于直线BD的对称点为点F，连接FD、FB.将△CDE绕点D顺时针旋转α度〔0°＜α＜360°〕得到△，点E的对应点为E′，点C的对应点为点C′.①如图2，当α=30°时，连接．证明：=；②如图3，点M为DC中点，点P为线段上的任意一点，试探究：在此旋转过程中，线段PM长度的取值围？图1图1图2图图2图33.如图，△是等腰直角三角形，，点是的中点．作正方形，使点分别在和上，连接．〔1〕试猜测线段和的数量关系，请直接写出你得到的结论．〔2〕将正方形绕点逆时针方向旋转一定角度后〔旋转角度大于，小于或等于360°〕，如图，通过观察或测量等方法判断〔1〕中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由．ACBFDEG图25-1ACACBFDEG图25-1ACBFDEG图25-211．以平面上一点O为直角顶点，分别画出两个直角三角形，记作△AOB和△COD，其中∠ABO=∠DCO=30°．〔1〕点E、F、M分别是AC、CD、DB的中点，连接FM、EM．①如图1，当点D、C分别在AO、BO的延长线上时，=_______；②如图2，将图1中的△AOB绕点O沿顺时针方向旋转角〔〕，其他条件不变，判断的值是否发生变化，并对你的结论进展证明；〔2〕如图3，假设BO=，点N在线段OD上，且NO=2.点P是线段AB上的一个动点，在将△AOB绕点O旋转的过程中，线段PN长度的最小值为_______，最大值为_______．图2图1图2图1〔4〕其他2011海淀一模24．平面直角坐标系xOy中,抛物线与直线的一个公共点为.〔1〕求此抛物线和直线的解析式；〔2〕假设点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交〔1〕中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值；〔3〕记〔1〕中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，假设四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积.25．如图，二次函数y=ax2+2ax+4的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，∠CBO的正切值是2．(1)求此二次函数的解析式．(2)动直线l从与直线AC重合的位置出发，绕点A顺时针旋转，与直线AB重合时终止运动，直线l与BC交于点D，P是线段AD的中点．①直接写出点P所经过的路线长．②点D与B、C不重合时，过点D作DE⊥AC于点E、作DF⊥AB于点F，连接PE、PF，在旋转过程中，∠EPF的大小是否发生变化？假设不变，求∠EPF的度数；假设变化，请说明理由．③在②的条件下，连接EF，求EF的最小值．二、多线段的最值问题2013一模海淀25.在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为.求点的坐标〔用含的代数式表示〕；直线与抛物线交于、两点，点在抛物线的对称轴左侧.假设为直线上一动点，求△的面积；②抛物线的对称轴与直线交于点，作点关于直线的对称点.以为圆心，为半径的圆上存在一点，使得的值最小，那么这个最小值为.2012二模25.在平面直角坐标系中，抛物线经过A〔－3,0〕、B〔4,0〕两点，且与y轴交于点C，点D在x轴的负半轴上，且BD＝BC，有一动点P从点A出发，沿线段AB以每秒1个单位长度的速度向点B移动，同时另一个动点Q从点C出发，沿线段CA以某一速度向点A移动.〔1〕求该抛物线的解析式；〔2〕假设经过t秒的移动，线段PQ被CD垂直平分，求此时t的值；〔3〕该抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ＋MA的值最小？假设存在，求出点M的坐标；假设不存在，请说明理由.2012东城一模25.如图，在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图象与轴交于〔-1,0〕、〔3,0〕两点,顶点为.(1)求此二次函数解析式；(2)点为点关于x轴的对称点，过点作直线：交BD于点E，过点作直线∥交直线于点.问：在四边形ABKD的部是否存在点P，使得它到四边形ABKD四边的距离都相等，假设存在，请求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由；(3)在〔2〕的条件下，假设、分别为直线和直线上的两个动点，连结、、，求和的最小值.2012海淀二模24.如图,在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴负半轴交于点A,顶点为B,且对称轴与x轴交于点C.〔1〕求点B的坐标(用含m的代数式表示)；〔2〕D为BO中点，直线AD交y轴于E，假设点E的坐标为(0,2),求抛物线的解析式；〔3〕在〔2〕的条件下，点M在直线BO上，且使得△AMC的周长最小，P在抛物线上，Q在直线BC上，假设以A、M、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点P的坐CAOBCAOBxyCAOBxy备用图2010海淀二模25.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴的正半轴上，，为△的中线，过、两点的抛物线与轴相交于、两点〔在的左侧〕.〔1〕求抛物线的解析式；〔2〕等边△的顶点、在线段上，求及的长；〔3〕点为△的一个动点，设，请直接写出的最小值,以及取得最小值时，线段的长.〔备用图〕2012丰台一模25．：如图，在平面直角坐标系xOy中，以点P〔2，〕为圆心的圆与y轴相切于

点A，与x轴相交于B、C两点〔点B在点C的左边〕．〔1〕求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；〔2〕在〔1〕中的抛物线上是否存在点M，使△MBP的面积是菱形ABCP面积的．如果

存在，请直接写出所有满足条件的M点的坐标；如果假设不存在，请说明理由；〔3〕如果一个动点D自点P出发，先到达y轴上的某点，再到达x轴上某点，最后运动到〔1〕中抛物线的顶点Q处，求使点D运动的总路径最短的路径的长．.25.在平面直角坐标系