初三数学圆的综合复习

.."圆"复习课教学设计一、本章知识框架与圆有关的位置关系二、本章重点1．圆的定义：(1)线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆．(2)圆是到定点的距离等于定长的点的集合．2．与圆有关的角(1)圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角．圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数．(2)圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的性质：①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半．②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角．④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．⑤圆接四边形的对角互补；外角等于它的对角．(3)弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角．弦切角的性质：弦切角等于它夹的弧所对的圆周角．弦切角的度数等于它夹的弧的度数的一半．【经典例题精讲】例1以下命题正确的选项是()A．相等的圆周角对的弧相等B．等弧所对的弦相等C．三点确定一个圆D．平分弦的直径垂直于弦．练习1.：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB，CD的延长线交于E，假设AB=2DE，∠E=18°，求∠C及∠AOC的度数．2．：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．(1)求证：∠AOC=∠BOD；(2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论．3．：如图，△ABC接于⊙O，AM平分∠BAC交⊙O于点M，AD⊥BC于D．求证：∠MAO=∠MAD．4．：如图，AB是⊙O的直径，CD为弦，且AB⊥CD于E，F为DC延长线上一点，连结AF交⊙O于M．求证：∠AMD=∠FMC．3．圆的性质：(1)旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心．在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等．(2)轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴．4垂径定理及推论：(1)垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．(2)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．(3)弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧．(4)平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦．(5)平行弦夹的弧相等．【经典例题精讲】1：如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于E点，BE=1，AE=5，∠AEC=30°，求CD的长．2．：如图，A，B是半圆O上的两点，CD是⊙O的直径，∠AOD=80°，B是的中点．(1)在CD上求作一点P，使得AP＋PB最短；(2)假设CD=4cm，求AP＋PB的最小值．3.如图，有一圆弧形的拱桥，桥下水面宽度为7.2m，拱顶高出水面2.4m，现有一竹排运送一货箱从桥下经过，货箱长10m，宽3m，高2m(竹排与水面持平)．问：该货箱能否顺利通过该桥"5．三角形的心、外心、重心、垂心(1)三角形的心：是三角形三个角平分线的交点，它是三角形切圆的圆心，在三角形部，它到三角形三边的距离相等，通常用"I〞表示．(2)三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示．(3)三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示．(4)垂心：是三角形三边高线的交点．6．圆接四边形和外切四边形(1)四个点都在圆上的四边形叫圆的接四边形，圆接四边形对角互补，外角等于对角．(2)各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等．【经典例题精讲】1.四边形ABCD接于⊙O，∠A︰∠B︰∠C＝1︰2︰3，求∠D．7．判定一个点P是否在⊙O上．设⊙O的半径为R，OP＝d，那么有d>r点P在⊙O外；d＝r点P在⊙O上；d<r点P在⊙O．8．直线和圆的位置关系：设⊙O半径为R，点O到直线l的距离为d．(1)直线和圆没有公共点直线和圆相离d>R．(2)直线和⊙O有唯一公共点直线l和⊙O相切d＝R．(3)直线l和⊙O有两个公共点直线l和⊙O相交d<R．9．切线的判定、性质：(1)切线的判定：①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．②到圆心的距离d等于圆的半径的直线是圆的切线．(2)切线的性质：①圆的切线垂直于过切点的半径．②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点．③经过切点作切线的垂线经过圆心．(3)切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长．(4)切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．【经典例题精讲】1.〔2011中考20题〕如图，在中，，以为直径的分别交、于点、，点在的延长线上，且.⑴求证：直线是的切线；⑵假设，，求和的长.2．〔2011西城一模21题〕如图，D是⊙O的直径CA延长线上一点，点B在⊙O上，且AB＝AD＝AO．〔1〕求证：BD是⊙O的切线；〔2〕假设E是劣弧BC上一点，AE与BC相交于点F，△BEF的面积为8，且cos∠BFA＝，求△ACF的面积．3．：如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的半圆O交AB于F，E是BC的中点．求证：直线EF是半圆O的切线．4：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E点，直线EF⊥AC于F．求证：EF与⊙O相切．5：如图，以△ABC的一边BC为直径作半圆，交AB于E，过E点作半圆O的切线恰与AC垂直，试确定边BC与AC的大小关系，并证明你的结论．6．：如图，PA切⊙O于A点，PO∥AC，BC是⊙O的直径．请问：直线PB是否与⊙O相切"说明你的理由．7．：如图，PA，PB，DC分别切⊙O于A，B，E点．(1)假设∠P=40°，求∠COD；(2)假设PA=10cm，求△PCD的周长．8.：如图，⊙O切于△ABC，∠BOC=105°，∠ACB=90°，AB=20cm．求BC、AC的长．ABCDEO(2011东城二模20题).如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O经过点D，E是⊙O上一点，且ABCDEO(1)试判断CD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；(2)假设⊙O的半径为3，sinADE=，求AE的值．〔2011丰台一模20题〕．在Rt中，∠F=90°，点B、C分别在AD、FD上，以AB为直径的半圆O过点C，联结AC，将△AFC沿AC翻折得，且点E恰好落在直径AB上.〔1〕判断：直线FC与半圆O的位置关系是_______________；并证明你的结论.〔2〕假设OB=BD=2,求CE的长．〔2011丰台二模20题〕.：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E在斜边AB上，以AE为直径的⊙O与BC边相切于点D，联结AD.〔1〕求证：AD是∠BAC的平分线；〔2〕假设AC=3，tanB=，求⊙O的半径.〔2011石景山一模20题〕．：如图，在矩形中，点在对角线上，以的长为半径的⊙与，分别交于点E、点F，且∠=∠．〔1〕判断直线与⊙的位置关系，并证明你的结论；〔2〕假设，，求⊙的半径．〔2011石景山二模20题〕．：如图，的角平分线，以为直径的圆与边交于点为弧的中点，联结交于，．〔1〕求证：与⊙相切；〔2〕假设，，求的长．〔2011大兴二模20题〕．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的半圆O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E．〔1〕判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；〔2〕如果⊙O的直径为9，cosB＝EQ\F(1,3)，求DE的长10．圆和圆的位置关系：图形名称性质和判定交点个数外离d＞R+r0外切d＝R+r(R＞r)1相交R-r＜d＜R+r2切d＝R-r(R＞r)1含d＜R-r(R＞r)011．两圆的性质：(1)两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线．(2)相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点．【经典例题精讲】相交于A、B两点，的半径是10，的半径是17，公共弦AB＝16，求两圆的圆心距．12．圆中有关计算：圆的面积公式：，周长C＝2πR．圆心角为n°、半径为R的弧长．圆心角为n°，半径为R，弧长为l的扇形的面积．弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算．圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为l的圆柱的体积为，侧面积为2πRl，全面积为．圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为R，母线长为l，高为h的圆锥的侧面积为πRl，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有．【经典例题精讲】1．假设圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，那么它的侧面积为()．A．2cm2 B．3cm2 C．6cm2 D．12cm22．假设圆锥的底面积为16cm2，母线长为12cm，那么它的侧面展开图的圆心角为()．A．240° B．120° C．180° D．90°3．底面直径为6cm的圆锥的侧面展开图的圆心角为216°，那么这个圆锥的高为()．A．5cm B．3cm C．8cm D．4cm4．假设一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，那么圆锥侧面展开图扇形的圆心角为()．A．120° B．180° C．240°D.300°5.：如图，在边长为a的正△ABC中，分别以A，B，C点为圆心，长为半径作，，，求阴影局部的面积．6．：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A点为圆心，AC长为半径作，求∠B与围成的阴影局部的面积．三、相关定理：1.相交弦定理圆的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。〔经过圆一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等〕说明：几何语言：假设弦AB、CD交于点P，那么PA·PB=PC·PD〔相交弦定理〕例1．P为⊙O一点，，⊙O半径为，过P任作一弦AB，设，，那么关于的函数关系式为。例2．PT切⊙O于T，PBA为割线，交OC于D，CT为直径，假设OC=BD=4cm，AD=3cm，求PB长。四、辅助线总结1.圆中常见的辅助线1〕．作半径，利用同圆或等圆的半径相等．2〕．作弦心距，利用垂径定理进展证明或计算，或利用"圆心、弧、弦、弦心距〞间的关系进展证明．3〕．作半径和弦心距，构造由"半径、半弦和弦心距〞组成的直角三角形进展计算．4〕．作弦构造同弧或等弧所对的圆周角．5)．作弦、直径等构造直径所对的圆周角——直角．6)．遇到切线，作过切点的弦，构造弦切角．7)．遇到切线，作过切点的半径，构造直角．8)．欲证直线为圆的切线时，分两种情况：(1)假设知道直线和圆有公共点时，常连结公共点和圆心证明直线垂直；(2)不知道直线和圆有公共点时，常过圆心向直线作垂线，证明垂线段的长等于圆的半径．9)．遇到三角形的外心常连结外心和三角形的各顶点．10)．遇到三