基础数学（第10章）

第9章充要条件第10章第11章第12章第13章度的余弦值、正弦值、正切值?化的事物?长来计算得到其他的角度和边长?一些角度来计算距离?1.掌握和角与差角公式.2.掌握二倍角公式.像和性质.4.掌握正弦定理及其应用.5.掌握余弦定理及其应用.10.1和角与差角公式10.3正弦型函数和角与差角公式>10.1.1利用不同的条件都可以计算出如图1所示，在平面直角坐标系中，以Ox为始边，分别作角α,β,角α的终边与单位圆相交于点A,角β的终边与单位圆相交于点B,则点A头脑风暴 因为尝试用证明C(a-p)的方法来证明C(a+)此公式给出了任意角α,β的正弦、余弦与角α-β的余弦又因为又因为=cosαcos(-β)+sinαsin(所以 学以致用=cos45°cos30°-sinsin学以致用例2解已知,求cos(α+β)的值.又因为c因此即cos(α+β)的值为求下列各式的值.生活中的数学来证明S(a-p):来证明S(a-p):间的转化，因此Oc,此公式给出了任意角α,β的正弦、余弦与角α+β的正弦之间的关系，因此，式(10-3)称为和角的正弦公式，简记作S例3例3解求sin75°,sin15°的值.学以致用解因为,所,又因为,所以因此即sina的值为求下列各式的值.的值有什么关系?此公式给出了任意角α,β的正切与角α+β的正切之间的关系，因此，式(10-5)称为和角的正切公式，简记作Ta+)将式(10-5)中的β用-β代替，可得此公式给出了任意角α,β的正切与角α-β的正切之间的关系，因此，式(10-6)称为差角的正切公式，简记作Ta+n,和Ta-n)统称为和角与差角的正切公式，也可称为两角和与差的正切公式，简记作Tα±β)*有了式(10-1)～式(10-6),就可以求得任意两角和与差的正弦、余弦和正切值.求下列各式的值.正切公式.二倍角公式生活中的数学强很困惑，小明是怎么做到的?,,学以致用因此的值分别为-,学以致用已知,α∈(π,2π),求sinα的值.因此正弦型函数>10.3.1正弦型函数与正弦函数的关系>10.3.2正弦型函数的图像和性质y=Asin(x+4)=Asinz.最小正周期为2π,因此函数求函数y=sinxcos2x+cosxsin2x的最小正周期.解由式(10-3)可知，利用公式将函数变换为正弦型函数的形式，是确定函数最小正周期的关键.学以致用求函数的最小正周期，并指出当x为何值时，函数取得最大值和最小值.,则(由此可见，当u从0变化到2π,即成一个周期变化到(由此可见，当u从0变化到2π,即成一个周期变化到下面用“五点法”作出函数下面用“五点法”作出函数在一个周期内的图像.首先，我们知道常数3不影响这个函数的周期；其次，为了求出图像上五个关键点的横坐标，可设,分别令u=0,,2π,求出对应的x的值,分别令u=0,0~其x00的变化过程的变化过程学以致用(1)定义域.定义域为R,即(-~,+~).(3)周期性.由于正弦型函数y=Asin(ax+φ)(A>0,m>0)的定义域为R,对于任意的x∈R,都有R(k∈Z),并且成立，因此正弦型函数y=Asin(wx+φ)学以致用(4)奇偶性.(5)单调性到-A.学以致用已知某正弦型函数y=Asin(wx+φ)(A>0,w>0)一个周期的图像如图所示，求该正弦型曲线对应的函数解析式yy2222220,所以函数的周期为4π,因此已知该图像经过点,将坐标代入,得因此函数解析式为器.她测量了三个角的角度，便计算出了对应三边的相对大小.她是怎么做到的呢?在△ABC中，已知ZA所对的边长为a,∠B所对的边长为b,∠C所对的边长为c.下面我们研究∠A,∠B,∠C,a,b,c之间的关系.三角形可分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形，因此，可以分三种情况讨论.(1)△ABC为直角三角形，∠C=90°,如图所示.根据正弦函数的定义，可知,所以(2)△ABC为锐角三角形，如图所示.过点A作AD⊥BC于点D,在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据正弦函数的定义，可知,则AD=csinB=bsinC,即同理，可得因此，当△ABC为锐角三角形时，等式仍然成立.(3)△ABC为钝角三角形，如图所示.过点A作AD⊥BC,交BC的延长线于点D,在Rt△ABD和Rt△ACD中，根据正弦函数的定义，同理，可得.因此，当△ABC为钝角三角形时，等式仍然成立.于是，可以得到正弦定理，即在一个三角形中各边和它所对角的正弦的比相等，可用下式表示.一般地，我们将三角形的三个角∠A,∠B,∠C和它们的对边a,b,c称为三角形的元素.已知三角形的几个元素，求其他元素的过程称为解三角形.在△ABC中，已知b=2,∠B=30°,∠C=135°,则a=().生活中的数学在解决三角形相关的实际问题时，由于条件有限，有时候我们只能得到有限的信息.例如，已知一个角的角度大小，和组成该角的两边的长度，该怎么计算另外一边的长度呢?以A为原点，以线段AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，如图所示.这时，点A,B,C的坐标分别为A(0,0),B(ccosA,csinA),C(b,0).由平面内两点间距离公式可得两边平方，得a²=b²+c²-2bccosA.同理，可得c²=a²+b²-2abcosC.由余弦定理，还可以得到以下推论,由余弦定理，还可以得到以下推论,于是，我们可以得到余弦定理，即三角形任意一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角余弦的积的二倍.余弦定理可用式(10-12)表示.学以致用在△ABC在△ABC中，已知b=8,c=3,∠A=60°,决以下两类解三角形的问题.解得a=7解得a=7或a=-7(舍).(2)已知三角形的三边，求三个角.边长为5,7,8的三角形的最大角与最小角的和是().弦定理与余弦定理.三角计算的应用在航海过程中，需要根据船只的航行方向、航行速度，当时的风向、水速，停泊点或障碍物的位置，指南针的方向及天体的位置等信息，来判断船只能否安全到达停泊点，或者是否有触礁、撞船等危险.想一想，在这个判断过程中都运用了哪些三角计算相关的知识?AA解决一些与三角形有关的几何运算或实际问题时，经常会用到这两个定理.在A处看到一灯塔M在北偏东60°方向，行驶4h后，船到达为多少?解解由题意得在△AMB中，由正弦定理得学以致用建筑道路过山时需要挖掘隧道，山的两侧是隧道口A和B,如图所示.在平地上选择适合测量的点C,测得AC=350m,BC=450m,∠ACB=60°,试计算隧道AB的长度.(精确到1m)解解在△ABC中，由余弦定理得即AB≈409m.因此，隧道AB的长度约为409m.学以致用某公园有一块三角形的池塘，现为便于游客观赏池中景物，准备修一架小桥，桥的两端要分别架在A点和BC边的中点D上，如图所示.已知AB=60m,BC=70m,AC=50m,试求桥AD的长度.(精确到0.01m)即AD≈42.72m.因此，桥AD的长度约为42.72m.某地出土一块类似三角形的古代玉佩，其一角已破损，如图所示.现测得如下数据：BC=2.57cm,∠B=45°,∠C=120°,为了复原玉佩，求原玉佩两边的长.(精确到c