北师大版八年级数学下册 （公式法）因式分解教学课件(第1课时)

八年级下册4.3公式法第1课时

学习目标12掌握用平方差公式分解因式的方法.能综合运用提取公因式法、平方差公式法分解因式.1.填空①25x²＝(_____)²②36a4

＝(_____)²③0.49b²＝(_____)²④64x²y²＝(_____)²⑤b²＝(_____)²5x前置学习6a²0.7b8xy2.填空：（1）（x+3）（x–3）=

；（2）（4x+y）（4x–y）=

；（3）（1+2x）（1–2x）=

；（4）（3m+2n）（3m–2n）=

．根据上面式子因式分解：（1）9m²–4n²=

；（2）16x²–y²=

；（3）x²–9=

；（4）1–4x²=

．x²–916x²–y²1–4x²9m²–4n²（3m+2n）（3m–2n）（4x+y）（4x–y）（x+3）（x–3）（1+2x）（1–2x）前置学习合作探究探究点一：问题1：观察多项式x²－25、9x²－y²、1－9a²他们有什么共同特征？解：都是平方差的特征.既：

²－□²合作探究问题2：尝试将它们分别写成两个因式的乘积.x²－25=9x²－y²=1－9a²=（x+5）（x-5）（3x+y）（3x-y）（1+3a）（1-3a）事实上，把乘法公式(平方差公式)（a+b）（a－b）=a²-b²，反过来，就得到因式分解的(平方差公式)：a²-b²=（a+b）（a－b）合作探究因式分解—平方差公式的逆用判断能否用平方差公式应过几关？三关：（1）项数关：（2）符号关：（3）平方关：2项相反每一项的绝对值都可化为某个整式的平方观察公式有何特征？合作探究例1：下列各式能否用平方差公式分解？探究点二问题1：

因式分解下列各式（1）25-16x²；（2）9a²－b²解：（1）25-16x²=（5）²－（4x）²=（5+4x）（5-4x）（2）9a²－b²=（3a）²－（b）²=（3a+b）（3a-b）合作探究问题2：下列各式能用平方差公式因式分解吗？为什么？A．m²+n² B．-m²-n² C．-m²+n² D．m²-tn²解：A．m²+n²的两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；B．-m²-n²的两平方项符号相同，不能用平方差公式进行因式分解；C．-m²+n² 符合平方差公式的特点，能用平方差公式进行因式分解；D．m²-tn²不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式进行因式分解．合作探究合作探究探究点三问题1：把下列各式分解因式:（1）9（m+n）²－（m－n）²;（2）2x³－8x.（3）x4-1解：（1）9（m+n）²－（m－n）²=（3m+3n+m-n）（3m+3n-m+n）=（4m+2n）（2m+4n）=4（2m+n）（m+2n）（2）2x³－8x=2x（x²-4）=2x（x+2）（x-2）

（3）x4-1=（x²+1）（x²-1）=（x²+1）（x+1）（x-1）当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因式分解，直至不能再分解为止.合作探究探究点三问题2：已知n是整数，证明：（2n+1）²-1能被8整除.证明：∵（2n+1）²-1=(2n+1+1)(2n+1-1)=4n(n+1)又∵n、n+1是两个连续整数,∴必定能被2整除,∴4n(n+1)是8的倍数,即（2n+1）²-1能被8整除.强化训练1.已知a、b、c是∆ABC的三边，且满足a²c²－b²c²＝a4-b4，是判断∆ABC的形状.解：a²c²-b²c²=a4-b4，a²c²-b²c²-a4+b4=0，c²(a²-b²)-(a²+b²)(a²-b²)=0(a²-b²)(c²-a²-b²)=0(a＋b)(a-b)(c²-a²-b²)=0其中a＋b≠0，∴a-b=0或c²-a²-b²=0∴a²＋b²=c²或a＝b.∆ABC是直角三角形,或∆ABC是等腰直角三角形.强化训练2.证明：任意两奇数的平方差能被8整除.证明：设任何奇数为2m＋1,2n＋1(m,n是整数）则(2m＋1)²-(2n＋1)²＝（2m＋1＋2n+1）（2m-2n）＝4(m-n)(m+n＋1)可见只要证明(m-n)(m+n-1)是偶数即可，若m,n都是奇数或偶数，则m-n为偶数,4(m-n)(m+n＋1)能被8整除，若m,n都为一奇一偶，则m+n+1为偶数,4(m-n)(m+n＋1)也能被8整除，所以，任意的两个奇数的平方差能被8整除.随堂检测1．判断正误（1）x²+y²=（x+y）（x－y）; （

）（2）x²－y²=（x+y）（x－y）; （）（3）－x²+y²=（－x+y）（－x－y）; （

）（4）－x²－y²=－（x+y）（x－y）. （

）✘✔✘✘随堂检测2.某同学粗心大意，分解因式时，把等式x4－■=（x²+4）（x+2）（x－▲）中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是（）

A．8，1B．16，2C．24，3D．64，83.填空题（1）分解因式：a³－4a=___________________．（2）已知x²－y²=69，x+y=3，则y－x=________．Ba（a+2）（a－2）-23随堂检测4.a,b,c为∆ABC的三条边长，且b²+2ab=c²+2ac,试用因式分解的有关知识判断三角形ABC的形状.解：∵b²+2ab=c²+2ac，∴b²－c²+2ab－2ac=0，∴（b+c）（b－c）+2a（b－c）=0，（b－c）（b+c+2a）=0．∵a，b，c为三角形三边，所以b+c+2a＞0，∴b－c=0，即b=c．所以△ABC为等腰三角形．课堂小结1.平方差公式运用的条件：（1）二项式（2）两项的符号相反（3）每项都能化成平方的形式2.公式中的a和b可以是单项式，也可以是多项式3.各项都有公因式，一般先提公因式，再进一步分解，直至不能再分解为止.课后作业1．对于任意整数n，多项式(n＋7)²－(n－3)²的值都能()A．被20整除B．被7整除C．被21整除D．被(n＋4)整除2．已知多项式x2＋a能用平方差公式在有理数范围内因式分解，那么在下列四个数中a可以等于()A．9B．4C．－1D．－23．把多项式(x－1)²－9因式分解的结果是()A．(x＋8)(x＋1)B．(x＋2)(x－4)C．(x－2)(x＋4)D．(x－10)(x＋8)4．对a²b－b³因式分解，结果正确的是()A．b(a＋b)(a－b)B．b(a－b)²C．b(a²－b²)D．b(a＋b)²ACBA课后作业5.把下列各式因式分解：(1)9m²－4n²；解：原式＝(3m＋2n)(3m－2n)．(2)a³b－16ab；解：原式＝ab(a²－16)＝ab(a＋4)(a－4)．

(3)－9x²＋(x－y)²；解：原式＝(x－y＋3x)(x－y－3x)＝－(4x－y)(2x＋y)．再见八年级下册4.3公式法第2课时

学习目标12掌握完完全平方式、全完全平方公式的特点，会用完全平方公式分解因式.逆用乘法公式的过程中发展逆向思维的意识和能力.1.下列各式是完全平方式的是（

）A．x²-x+ B．1+x² C．x+xy+1 D．x²+2a-12.对照完全平方公式a²±2ab＋b²=（a±b）²填表：前置学习Aa²±2ab＋b²ab（a±b）²16x²＋24x+94x3（4x+3）²－x＋x²½x（½－x）²a²＋4－4aa2（a－2）²4a²＋25b²－20ab2a5b（2a－5b）²合作探究探究点一：问题1：事实上，把乘法公式的(完全平方公式)：(a+b)²=a²+2ab+b²，(a-b)²=a²-2ab+b²反过来，就得到因式分解的(完全平方公式)a²+2ab+b²=(a+b)²，a²-2ab+b²=(a-b)²；形如

的式子称为完全平方式.根据因式分解与整式乘法的关系，把乘法的公式反过来，我们就可以用乘法公式把某些多项式因式分解，这种因式分解的方法叫做

.（a²±2ab+b²）公式法合作探究问题2：把下列完全平方式因式分解：（1）x²＋14x＋49；（2）（m＋n）²－6（m+n）＋9解：(1)x²＋14x＋49=x²+2×7x+7²=(x+7)²(2)（m＋n）²－6（m+n）＋9=[(m+n)-3]²=(m+n-3)²探究点二问题1：

因式分解下列各式（1）3ax²+6axy+3ay²；（2）－x²－4y²+4xy.解：（1）3ax²+6axy+3ay²

=3a(x²+2xy+y²)=3a(x+y)²（2）－x²－4y²+4xy

=-(x²+4y²-4xy)=-(x²-4xy+4y²)=-[(x²-2•x•2y+(2y)²]=-(x-2y)²合作探究合作探究当多项式的各项含有公因式时，通常先提出这个公因式，然后再进一步因式分解，直至不能再分解为止.首项系数是负数时，应先提出“－”号或整个负数.因式分解的一般步骤：（1）“提”，先看多项式各项，有就提出来；（2）“套”，尝试用乘法公式来分解；（3）“查”，因式分解必须进行到不能再分解为止.问题2：已知a、b、c是∆ABC的三边，且满足a²+b²+c²=ab+ac+bc，是说明∆ABC是等边三角形.解：∵a²+b²+c²=ab+bc+ac,∴a²+b²+c²-ab-bc-ac=0等式两边同乘以2，得2a²+2b²+2c²-2ab-2bc-2ac=0（a²-2ab＋b²）＋（b²-2bc＋c²）＋（c²-2ac＋a²）=0∴(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²=0，a=b=c即∆ABC为等边三角形合作探究合作探究探究点三问题：阅读材料我们知道对于二次三项式x²＋2ax＋a²这样的完全平方式，可以用公式将它分解成（x+a）²的形式，但是对于二次三项式x²+2ax-3a²就不能直接应用完全平方公式了，我们可以采用如下的办法：x²+2ax-3a²=x²+2ax+a²-a²-3a²=（x+a）²-（2a）²=(x+3a)(x-a)像这样把二次三项式因式分解的数学方法叫配方法。（1）这种方法的关键是

；（2）用上述方法把a²－8a+15因式分解.

凑成完全平方式合作探究问题：阅读材料我们知道对于二次三项式x²＋2ax＋a²这样的完全平方式，可以用公式将它分解成（x+a）²的形式，但是对于二次三项式x²+2ax-3a²就不能直接应用完全平方公式了，我们可以采用如下的办法：x²+2ax-3a²=x²+2ax+a²-a²-3a²=（x+a）²-（2a）²=(x+3a)(x-a)（2）用上述方法把a²－8a+15因式分解.

解：（2）a²-8a+15=a²-8a+16-16+15=（a-4）²-1=（a-3）（a-5）举一反三1.若x²+2（a+4）x+25是完全平方式，求a的值．解：∵x²+2（a+4）x+25是完全平方式，∴2（a+4）=±2×5，解得a=1或a=-9．故a的值是1或-9．举一反三2.

已知二次三项式x²﹣4x+m有一个因式是（x+3），求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为（x+n），得x2﹣4x+m=（x+3）（x+n）则x²﹣4x+m=x²+（n+3）x+3n∴n＋3=-4，m=3n．解得：n=﹣7，m=﹣21∴另一个因式为（x﹣7），m的值为﹣21.随堂检测1．下列式子中是完全平方式的是()A．a²＋ab＋b²B．a²＋2a＋2C．a²－2b＋b²D．a²＋2a＋1².2．下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是()A．x²＋x＋1B．x²＋2x－1C．x²－1D．x²－6x＋9DD随堂检测3．多项式mx²－m和多项式x²－2x＋1的公因式是()A．x－1B．x＋1C．x²－1D．(x－1)²4．对(x－1)²－2(x－1)＋1因式分解的结果是()A．(x－1)(x－2)B．x²C．(x＋1)²D．(x－2)²DA随堂检测随堂检测5.把下列各式因式分解(1)16x²－(x²＋4)²；解：原式＝(4x＋x²＋4)(4x－x²－4)＝－(x＋2)²(x－2)².(2)(x²－2xy＋y²)＋(－2x＋2y)＋1.解：原式＝(x－y)²－2(x－y)＋1＝(x－y－1)².课堂小结1.要想运用完全平方公式分解因式，必须紧扣完全平方公式的特点.（1）左边是三项式，其中首末两项分别是两个数(或两个式子)的完全平方.这两个项的符号相同，中间一项是这两个数(或两个式子)的积的2倍，符号正负均可.（2）右边是两个数(或两个式子)的和(或者差)的平方.当中间的乘积项与首末两项符号相同时，是和的平方；反之，则是差的平方.2.因式分解的一般步骤：（1）“提”，先看多项式各项，有就提出来；（2）“套”，尝试用乘法公式来分解；（3）“查”，因式分解必须进行到不能再分解为止.课后作业1．把下列多项式因式分解，结果正确的是()A．4a²＋4a＋1＝(2a＋1)²B．a²－4b²＝(a－4